數(shù)學(xué)建模 初級(jí)

1、第一章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模1.7 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到

2、乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x =20y =5求解航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全

3、過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳

4、連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ;

5、對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本

6、質(zhì) 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和 f(), g()的確定1.3.2商人們?cè)鯓影踩^(guò)河 3名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河呢？問(wèn)題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成

7、xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過(guò)程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型求解xy332211

8、0 窮舉法 編程上機(jī) 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2練習(xí) 人帶著貓、雞、米過(guò)河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)貓要吃雞，雞要吃米。試設(shè)計(jì)一個(gè)安全過(guò)河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10

9、20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計(jì)算公式x(t) 時(shí)刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用

10、于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作

11、擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4 (百萬(wàn))模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0練習(xí) 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理

12、分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究 (Case Studies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問(wèn)題模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比

13、法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性

14、模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài) 數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì) 表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策 建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門技術(shù)，不如說(shuō)是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型 親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.7 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1985年美國(guó)出現(xiàn)了一種叫MCM(Mathematical Contest in Modeling)的一年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建

15、模競(jìng)賽。考題由工業(yè)或政府部門工作的數(shù)學(xué)家提出，從中選擇沒(méi)有固定范圍的實(shí)際問(wèn)題。比賽時(shí)間3天，要求在3天的持續(xù)時(shí)間內(nèi)參賽隊(duì)要以有清楚定義的格式寫出解法論文。參賽隊(duì)可以使用包括計(jì)算機(jī)、軟件包、書、雜志等一切外部資源。我國(guó)大學(xué)生1989年開(kāi)始參加美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。 我國(guó)高校1990年，上海舉辦上海市大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽；西安1992年4月舉辦西安市第一界大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；1992年11月舉行全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽；以后每年舉辦一次。我院從1994年開(kāi)始參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。 1、某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？看誰(shuí)答得快2、