函數(shù)的零點優(yōu)秀教案詳細(xì)(孔祥武)

1、 / 10函數(shù)的零點教學(xué)設(shè)計常州市第一中學(xué)孔祥武一 . 設(shè)計思想與理念本課的教學(xué)設(shè)計是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線 ”的原則而設(shè)計的教師在充分分析學(xué)生已有知識水平和思維能力的基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索的情境，通過問題串，指引探索的途徑，通過環(huán)環(huán)相扣問題鏈激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索欲，引導(dǎo)學(xué)生不斷地提出新問題，解決新問題二教材分析：內(nèi)容分析函數(shù) f (x) 的零點 , 是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念, 從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看, 就是使函數(shù)值為 0 的實數(shù) x ; 從方程的角度看, 即為相應(yīng)方程f (x) 0 的實數(shù)根；從函數(shù)的圖像角度看, 函數(shù)的零點就是函數(shù)f (x) 與 x 軸交點的橫坐標(biāo)

2、. 函數(shù)的零點從不同的角度, 將函數(shù)與方程，數(shù)與形有機(jī)的聯(lián)系在一起，體現(xiàn)的是函數(shù)知識的應(yīng)用學(xué)習(xí)函數(shù)零點存在性定理可為二次函數(shù)實根分布打下基礎(chǔ)，并為下一節(jié)內(nèi)容二分法求方程近似解提供理論支持在講授本節(jié)內(nèi)容時更多要滲透函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法.學(xué)情分析：初學(xué)者大多不清楚為什么要研究函數(shù)的零點，因為在此之前他們都能用公式法直接求方程的根 教學(xué)時可通過舉例讓學(xué)生知道，有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數(shù)，轉(zhuǎn)化為考察相應(yīng)函數(shù)的零點問題，從動態(tài)的角度來研究，借助形的角度來研究數(shù)的問題本人執(zhí)教的班級是一中的教改班，學(xué)生層次較高，簡單引用教材上的例題學(xué)生會覺得提不起興趣，因

3、此嘗試在立足教材的基礎(chǔ)上提出一些有挑戰(zhàn)性的問題，調(diào)動學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，自我建構(gòu)知識教材處理本節(jié)課從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，借助對圖象的觀察獲得二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的關(guān)系，并將這種關(guān)系推廣到了一般情形體會函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系對于函數(shù)零點判斷定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特例中發(fā)現(xiàn)感悟這一定理，在給出這個定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的剖析，引導(dǎo)學(xué)生多畫圖，討論定理逆命題的真假，加深對定理的理解及應(yīng)用重點：函數(shù)的零點存在性定理的理解及運用.難點：體會函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系；三教學(xué)目標(biāo)設(shè)計1知識與技能（ 1 ）理解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點的概念（ 2）理解零

4、點存在性定理的判定條件，會判斷函數(shù)在某區(qū)間上是否存在零點.過程與方法能夠理解函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系，能夠結(jié)合反例找到不間斷函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法情感、態(tài)度與價值觀在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價值，發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識， 體會函數(shù)知識的核心作用體驗數(shù)學(xué)內(nèi)在美, 激發(fā)學(xué)習(xí)熱情, 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和科學(xué)精神四 教學(xué)過程設(shè)計1 情境問題：y： 函數(shù) y x2 2x 3 圖象與 x軸交點坐標(biāo)是什么？【生】：（-1 ， 0）（3，0）【師】：你是怎樣得到的，【生】：令y0 解出來的.： 方程x2 2x30的根與函數(shù)【生】：從圖象上看，方程的根就是函數(shù)圖象與【

5、師】： 很好，方程x2 2x 3函數(shù)與方程之間似乎有某種聯(lián)系，-1O3 x2y x2 2x 3之間有什么聯(lián)系？x 軸交點的橫坐標(biāo).20可看作函數(shù)y x2 2x 3 函數(shù)值為0時特殊情形，21,3 是方程x2 2x 3 0的兩根，那么是函數(shù)y x2 2x 3 的什么呢？為了表述方便，我們給它一個名稱，把 1,3稱為函數(shù)y x2 2x 3的零點 .( 板書課題)設(shè)計意圖：單刀直入，從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)與二次方程入手，通過對圖象的觀察獲得二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的關(guān)系，給學(xué)生搭自然類比引出概念零點知識是陳述性知識，關(guān)鍵不在于讓學(xué)生提出這個概念，而在于理解提出零點概念的作用溝通函數(shù)與方程的關(guān)系引

6、入函數(shù)的零點的概念一是突出這一轉(zhuǎn)化的思想，二是表述起來更方便2建構(gòu)數(shù)學(xué)問題三：類似的，函數(shù)y f (x) 的零點又該怎樣定義？【生】 ：令 y 0 ，解出f (x) 0 的根便是函數(shù)的零點.函數(shù)的零點：1 、 定義：一般地，我們把使函數(shù)y f (x) 的值為 0 的實數(shù) x稱為函數(shù)y f (x)的零點 .【師】：函數(shù)的零點從本質(zhì)上來說是什么呢？一張紙還是一支筆??？【生】：零點是一個實數(shù) TOC o 1-5 h z 【師】：很好，去掉修飾語，實數(shù)x 稱為零點我們不妨這么記憶，零點不是點，海馬不是馬.2、說明：( 1 )函數(shù)的零點不是點，是個實數(shù).( 2)函數(shù)的零點就是相應(yīng)方程的根，也是函數(shù)圖象與

7、x 軸交點的橫坐標(biāo).函數(shù)的零點問題方程的根的問題圖象與x 軸的交點問題設(shè)計意圖： 圍繞零點概念的剖析，幫助學(xué)生理解零點的本質(zhì)，體會函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根以及函數(shù)圖像之間的相互轉(zhuǎn)化的思想問題四： 方程3456x2 3458x 1 0 有沒有實數(shù)根？【生】 ：有，用D = 34582 - 4? 34560計算，可以估算【師】 ：很好，還有別的做法嗎？2【 生 】 ： 設(shè) f (x) 3456x2 3458x 1 ， f (1)1 0 ， 因 圖 像 開 口 向 上 ， 所 以2f (x) 3456 x3458x 1 的圖像和x軸必有兩個交點：成功的關(guān)鍵在于把方程交給了函數(shù)，從函數(shù)角度來看問題變化

8、： 在區(qū)間 (1,2) 上有根嗎？【生】： f (1)1, f(2) 0，二次函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(1,2)上有一個根變化： 在區(qū)間 (0,1) 上有根嗎？【生】： f (1)1, f(0) 1 ，函數(shù)圖像必定穿越x軸，在區(qū)間(0,1) 上有一個根設(shè)計意圖：有意設(shè)計了一個不便于從代數(shù)角度求根的一元二次方程， “逼迫”學(xué)生另辟蹊徑，把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從 “形” 的角度，來考察二次方程在區(qū)間上是否有根，滲透函數(shù)與方程思想，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想. 同時讓學(xué)生感受端點函數(shù)值異號，圖像連續(xù)，函數(shù)有零點，這便是零點存在性定理的“雛形”，為下面引出零點存在性定理埋下伏筆.問題五：若函數(shù) y f(x)在區(qū)間

9、 a,b 上滿足 f(a) f(b) 0 , 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上一定有零點嗎？試舉例說明.教師學(xué)生自己畫圖論證1【生 1】 ：不一定，y 在區(qū)間 ( 1,1)上滿足條件，卻沒有零點 .【師】： 加一個怎樣的條件就能保證上述函數(shù)y f (x) 在區(qū)間(a,b)上一定有零點？【生】 ：感覺只要函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a, b上連在一起，不間斷就可以了引出零點存在性定理設(shè)計意圖：通過問題四學(xué)生感覺似乎函數(shù)在區(qū)間上端點函數(shù)值異好，就有零點，教師適時地提出問題五，順其自然把問題推向縱深，引導(dǎo)學(xué)生畫圖論證，自我探究，尋找反例，接下來定理的引出便是自然的，水到渠成的零點存在定理

10、：一般地，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線，且f (a) f (b) 0, 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b) 上有零點( 剖析概念系列問) ：學(xué)習(xí)了這個定理，你有哪些不明白的地方(設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題)：區(qū)間從a,b 變化為(a,b)，為什么？：使零點位置更精確！第一個區(qū)間a,b 能改為區(qū)間(a,b)嗎？1x 11)：不可以，如函數(shù) f (x) ,x ,)，1,x 1：至少有一個零點(能逆向嗎？)一般地，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線，若函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a, b)上有零點，則f (a) f(b)

11、 0？能舉例嗎？【生】 ：二次函數(shù)f (x) x2 4在區(qū)間 4,4 上有零點卻不滿足【師】 ：不間斷的單調(diào)函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b上有f(a) f (b) 0, 則函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上有幾個零點？： 1個 .：變式：二次函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 a,b上有 f (a) f(b) 0, 則函數(shù)y f(x) 在區(qū)間(a ,b)上有幾個零點？【生】： 1 個(這是由二次函數(shù)自身的形狀決定，引導(dǎo)學(xué)生畫圖感受)設(shè)計意圖：在給出這個定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的剖析，諸如：滿足定理的條件就有零點，不滿足定理的條件是否就沒有零點， 函數(shù)在區(qū)間上有零點是否一定有f(a

12、) f (b) 0，引導(dǎo)學(xué)生多畫圖，結(jié)合我們熟悉的二次函數(shù)的零點討論定理逆命題的真假，加深對定理的理解，為靈活運用奠定基礎(chǔ)這樣達(dá)到完成本節(jié)課的知識與技能目標(biāo)的目的，同時也5 / 10突出了重點，3、典型例題：例題1：求證：函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1) 存在零點解答： f ( 2) f( 1) 0 ,函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1)上不間斷.強(qiáng)調(diào)：函數(shù)f (x) x3 x2 1 在區(qū)間 ( 2, 1)上不間斷.注重解題規(guī)范3變式1：求證：方程x 4x 2 在區(qū)間 ( 2,0) 上至少有兩個實根.解：令 f (x) x3 4x 2 ，f( 2)8 8

13、20， f(0)20，f( 1) 1 0，又函數(shù) f (x) x3 4x 2在區(qū)間 ( 2,0) 上連續(xù)不間斷，f(x) x34x2在區(qū)間 ( 2,1),(1,0) 上都至少有一個根，所以得證教師點評：把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象的零點問題處理設(shè)計意圖：例題 1 設(shè)計了一個三次函數(shù)的例子，不能像通常二次函數(shù)那樣從代數(shù)角度直接求解函數(shù)零點，需要結(jié)合零點存在性定理解題，屬于淺層次的模仿運用，讓學(xué)生感悟零點存在性定理是判斷函數(shù)有無零點的又一種方法變式訓(xùn)練把問題推向高潮，首先要把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，訓(xùn)練學(xué)生函數(shù)與方程思想當(dāng)然變式1 有一定難度，可根據(jù)學(xué)生層次選擇例題2：函數(shù)f (x

14、) ln x x 4有零點的區(qū)間為(k,k 1) k Z ，求 k 的值分析 1：嘗試直接應(yīng)用定理解題函數(shù) f (x) ln x x 4， f (2) ln 2 2 0， f (3) ln3 1 0， 函數(shù) f(x) ln x x 4在區(qū)間 (k,k 1) k Z 上單調(diào)增，故k 2 / 10 TOC o 1-5 h z 要把問題交給代數(shù)，考查(1,4) 中的整點2,3 .x2 時，y12 ，y2ln 21 ，x3時，y11 ，y2ln31，通過精確比較，根位于區(qū)間(2,3) 要進(jìn)行細(xì)化糾正學(xué)生的常見誤區(qū)：直接f (k) f (k 1) (ln k k 4)(ln( k 1) (k 1) 4

15、0的做法不對，屬于認(rèn)為有零點，便有端點值異好，若看出單調(diào)增，便可以這樣使用. 逐一檢驗整數(shù)點。歸納： 函數(shù)零點的求解與個數(shù)的判斷：( 1 ) (代數(shù)法)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的實數(shù)根問題；( 能求則求) ，2) (幾何法)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題；3)利用零點存在性定理解決設(shè)計意圖：設(shè)計一個入口較寬的，有一定挑戰(zhàn)性的，一題多解的例題，讓學(xué)生正確理解零點存在性定理使用誤區(qū)和注意事項，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，當(dāng)依靠形說不清時再次把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)，感受數(shù)學(xué)解題其實就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程、當(dāng)堂訓(xùn)練：(備用)x1 TOC o 1-5 h z 1 、設(shè)函數(shù)

16、f (x)2 x 1 ，則函數(shù)g(x) f (x) 1 的零點為log81 x x 14答： 3 可以直接求根，也可以作圖像！ HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 2、函數(shù)f(x) xlg x 1 有零點的區(qū)間為(k, k 1) k Z ，則 k的值為 21lg x x , 轉(zhuǎn)化為熟知的圖像的交點，最后細(xì)化！13、方程3x log2 x 0在區(qū)間 1內(nèi)實數(shù)根的個數(shù)為 14法一、轉(zhuǎn)化為兩個圖像的交點個數(shù)法二、函數(shù)單調(diào)增，用f(a) f (b) 0設(shè)計意圖：爭對課上的重點難點內(nèi)容，當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練，變式訓(xùn)練，課內(nèi)時間可能來不及，看情況 備用 .5、課堂小

17、結(jié)：(引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，自我建構(gòu))函數(shù)的零點概念是什么？函數(shù)的零點問題方程的根的問題圖像與 x 軸交點問題.函數(shù)的零點個數(shù)的判斷方法有哪些？( 1 ) 求出相應(yīng)方程的實數(shù)根；( 2) 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題；( 3) 利用零點存在性定理本節(jié)課運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.設(shè)計意圖在學(xué)生談收獲，談體驗的過程中，教師將本節(jié)課的內(nèi)容回顧總結(jié)，概況升華，進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把課堂所學(xué)的知識與方法較快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)，也更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力6、課外作業(yè)：一中配套課時訓(xùn)練第33 課時函數(shù)的零點開課反思常州市第一中學(xué)孔祥武本節(jié)課好的地方：以問題串組織

18、教學(xué)，一步步引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)概念，6 個大問題把整節(jié)課知識點串了起來這樣的課堂是高效的，學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)，在探究中感悟因為學(xué)生層次很好，(一中教改班)，這節(jié)課我設(shè)計時立足放手讓學(xué)生來說，把舞臺交給學(xué)生 充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的新課程理念許多概念的反例都是學(xué)生自己來舉的，聽課老師都覺得學(xué)生表現(xiàn)得很讓人吃驚這里學(xué)生的主動性積極性得到調(diào)動學(xué)生的大膽質(zhì)疑，大聲回答讓人佩服，這樣的課堂正是我們老師希望看到的，這樣的學(xué)生正是我們老師希望培養(yǎng)的零點存在性定理講的比較細(xì)致入微，嚼得有滋有味，剖析得比較透徹，是本節(jié)課的亮點零點存在性問題本身是充分的，有局限性的 “剖析問題 (能逆向嗎)一般地，若函數(shù)y

19、f(x) 在區(qū)間 a,b 上的圖象是一條不間斷的曲線，若函數(shù)y f (x) 在區(qū)間 (a,b)上有零點 則 f (a) f (b) 0？能舉例嗎？”和變式 2 都在研究定理逆向方面的問題防止學(xué)生理解發(fā)生偏差定理的正向，逆向剖析，讓學(xué)生對定理加深理解，使得學(xué)生對定理理解更全面本節(jié)課教態(tài)很自然，始終面帶微笑，不慌不忙，娓娓道來，不太像自己平時嚴(yán)厲的作風(fēng)，給人以親近的感覺，學(xué)生似乎也被感染了，師生配合較好，還要堅持需要改進(jìn)的方面： 1 給出函數(shù)零點定義時提出問題：學(xué)習(xí)了零點定義要注意什么，問題太大，太空可改為：學(xué) 習(xí)了零點，你能告訴人家零點是什么嗎？可能更具體一些.零點不是點，黑馬不一定是馬說法不準(zhǔn)確改為零點不是點，海馬不是馬可能較好. 零點存在性定理的生成亦可以設(shè)計一些活動讓學(xué)生動手探究，揭示定理(10 分鐘)y f x 的圖象是