《常微分方程》(王高雄)第三版課后答案

1、常微分方程習(xí)題2.11千=2xv,并求滿足初始條件：x=O,v=l的特解.ax解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得丄心=2xdx,兩邊同時(shí)積分得：hi|y|=277兩邊積分得一In1+y=InxIn1+Inc(c工0),即(1+y)(1+x)=cX2故原方程的解為(1+J?)(1+X)=c4：(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：由y=0r=0是方程的解，當(dāng)廠工0時(shí)，變量分離dx=dy=0 xy兩邊積分In忖+x+ln|y|-y=c,即1中+x-y=c,故原方程的解為ln|xy|=a-y=c;y=0,x=0.5:(y+x)dy+(y_x)dx=0解:空=口,令上十，空TOC o 1-5 h zdxy+

2、xxdxdx則“+X半=匕丄,變量分離，得:一上二如=丄dxdxM+1比+x兩邊枳分得：arctgu+*誠(chéng)1+U)=一ln|x|+c。6：畔+解:令=“,），=血,4+學(xué),則原方程化為:xdxdx半=m丿，分離變量得:如=sgg丄dxdxxRx兩邊積分得:arcsinw=sgnxLn|x|+c代回原來(lái)變量,得arcsin=sgnxInlxl+cx11另外,y2=兀2也是方程的解。7：tgydx-ctgxdy=0解：變最分離，得：ctgydy=tgxdx兩邊枳分得：ln|smy=-ln|cosx+c.dxy解：變量分離，得dy=-e3x+cy3e9:x(lnx-Iny)dy-ydx=0解:方程可

3、變?yōu)椋?lnJy-v=0AX令=二則有丄去=一In”dhi”xx1+Inu代回原變最得：cy=l+ln2ox解：變帚:分離dy=dx兩邊枳分A=/+cdy_x-yL解：變量分離,eydy=exdx兩邊積分得:+c務(wù)E)解：令x+)T,則字=f+ldxdx原方程可變?yōu)?纟=丄+1dxf變量分離得:d/=dx,兩邊積分arctgt=x+c廠+1代回變量得：arctg(x+y)=x+c12.字=L_dx(x+yy令x+)T,則羋=羋_1,原方程可變?yōu)殒?丄+1dxdxaxr變量分離-Jj-Jr=dx.兩邊積-arctgt=x+cf代回變量x+y一circtg(x+y)=x+c13=2x-2-1dxx

4、一2y+1解：方程組2x-y-l=0,x-2y+l=0,的解為兀=*令乳=X-,y=丫+壬,則有dY2X-YdXX-2Y令L=Uf則方程可化為:A/U2-2+2/dX1-2(/變量分離XX14=a-v+5dxx_y_2解:X-y=5=t,則其1一纟,axax原方程化為：1-=丄，變量分離(/-7)d/-7dxax/-7兩邊積分lf-7r=-7x+c12代回變量(xy+5)-7(X-y+5)=-7x+c.15務(wù)(x+l)?+(4y+l)2+8E+lW：方程化為空=x2+2x+l+16y2+8y+1+8穢+1=(x+4y+l)2+2ax令l+x+4)i,則關(guān)丁求導(dǎo)得1+4坐=半，所以丄半+?,ax

5、ax4ax4i77o分離變量一du=dx,ix!larctg(-+x+-y)=6x+c,是原方程的解。16.dy_)e_2Xdx2xy5+x2y2解：字=）匚2=孚=3（、）；-2r,令才=，則原方程化為dx）l（2廠+xaxzxy+x*du_3_6x2_dx2xu+x1這是齊次方程，令mIimdudz亦I、3z-6dzdzZ-Z-6一=乙貝J=Z+x,所以_=+x,x=_,(1)xaxax20故c=0所以x(t)=tgxX0)t02411黃罕鱗(41)甘代祥(42)習(xí)題2.2求下列方程的解解：y=e-dx(jsinxe-dx+c)1.ax=ever(sinx+cosx)+c2=cev-(si

6、nx+cosx)是原方程的解。22.+3x=ez,dt解：原方程可化為：=-3x+e2/dt所以：x=e(Je2/e-dt+c)=e3z(le5/+c)5=ce-3,+|ez,是原方程的解。=-scost+sin2tdt2解：s=e(jsin2redt+c)=esmz(jsinZcosresm/J/+c)=esin-e+c)=ce/+suir-l是原方程的解。4.孚一藝y=，n為常數(shù).axn解:原方程可化為:-=-y+exxndxny=*(JexxneBYdx+c)=xex+c)是原方程的解.匚dy,1-2xA5子+_y_l=Oax解：原方程可化為：羋=-匕2歹+1dxy=er(0廣dx+c)

7、(ln.r-K-)(-ln.v2-l2(jwvdr+c)=x2(l+ce7)是原方程的解.6.dy_x+xdxxy2解：字dxx4+x3)ry=uxdydu石石xIT1iru2du=dx13M=X+C3(*)w3-3x=x+c將2=w帶入(*)中得：中一3疋=川是原方程的解.解:雲(yún)=22_+(X+l)32p（x）=,e（x）=（x+i）3x+l=eJ=（x+1）2方程的通解為：7*(x+l)3dx+c)(X+廳=(x+l)2(j*(x+l)dx+c)二仗+1）2（吐1十）2即：2y=c(x+l)2+(x+l)4為方程的通解。8空二ydxx+y3(n)dxx+y31解：-=-%+rdyy?則P(

8、y)=-,e(y)=ryP(y)dyf7rfve=e=y方程的通解為：即X二尤+cy是方程的通解,且y二0也是方程的解。9字亠+叫為常數(shù)axxx解：p(x)=-,e(x)=XXex)dx=片=中方程的通解為：y=ePvy3xre+ce=x2i3vx+xe=c2665虬1*dxxy+dx33=yX+yXay這是時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以亡_L=4+/xdyx厶-zdzc-3dxdydy矢-鴛-2/=-2yz-2/r(y)=-2yQ(y)=-2/dyx由一階線性方程的求解公式Z=*ty(J-2y3e-_2dy+c)=ey(-J*2yieydy+c)=-y2+1+ceyx2(-y2+l+ceyi)=

9、lx2ey(-y2+1+cey)=eyey(1-x2+x2y2)=ex2r（x）=iq（x）=由一階線性方程的求解公式y(tǒng)=e-s(Jexe-+c)=ex(exexdx+c)=ex+c)ex(x+c)=er+ex(x+c)dxc=ly=e(A+c)17設(shè)函數(shù)0(t)于一cot0/20傾f)(做山)一1)傾+0)-傾0)_lmi石_lim強(qiáng)/)ZA/e-0ZXf=0(0)呦于是學(xué)=0(0)刃)變量分離得血=0(O)df積分(P=ce2at(p由于傾0)=1,即t=O時(shí)0=1l=ce=c=l故(p(t)=嚴(yán)20試證：一階非齊線性方程(2.28)的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程(2.3)之解；若y=y

10、(x)是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解，則方程(2.28)的通解可表為y=cy(x)+y(x),其中c為任意常數(shù).方程(2.3)任一解的常數(shù)倍或任兩解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.(2.28)(2.3)dy證明：亍=P(x)y+O(x)ax頭py(1)設(shè)兒，兒是(2.28)的任意兩個(gè)解則牛=p(x)+O(x)(1)ax4=P(x)”+0(x)(2)ax(1)-(2)得憐山咖(yr)即y=)i-兒是滿足方程(2.3)所以，命題成立。由題意得：字(6ax警1*(小+W)1)先證y=cy+y是(2.28)的一個(gè)解。于是(3)+(4)得務(wù)船c/W+P(訃g)憐jg+y)+g)dx故y=

11、cy+y是(2.28)的一個(gè)解。2)現(xiàn)證方程(4)的任一解部可寫成cy+y的形式設(shè)片是(2.28)的一個(gè)解PW孕=P(x)x+0(x)(4)dx于是(4)-(4)得dx從而Jiy=P(x)dx=cy即=y+cy所以，命題成立。(3)設(shè)兒，兒是(2.3)的任意兩個(gè)解則學(xué)=p(x)，3(5)dx今=P(x)兒(6)dx于是(5)xc得學(xué)之中兒ax即嶺l=p(x)(c),)其中C為任意常數(shù)dx也就是y=cy3滿足方程(2.3)(5)(6)得與1學(xué)=戸(對(duì)兒土P(x)兒dxdx即()=P(X)(土兒)dx也就是)兒土兒滿足方程(2.3)所以命題成立。22試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的徽分方程并求

12、解。曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)；解：設(shè)(兀刃為曲線上的任一點(diǎn)，則過(guò)卩點(diǎn)曲線的切線方程為Y-y=yX-x)從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x-丄,0),(0,y-q)即橫截距為縱截距為由題意得：方程變形為dy,x-=y-xaxdy1axx_-口|丄d.i|(-丄皿于是y=ex(J(-x)xdx+c)=el(j(-x)e-Wx-+c)=|x|(J(x)|x|dx+c)=x(-x+c)所以，方程的通解為y=-x2+Oo(6)y=方程變形為方程變形為3_yTOC o 1-5 h zdx22dy11=y)dxdx2x2于是y

13、=e(J(-A)e*(lx，dx+c)制(J(_*)W%+C)=卜卡（-訓(xùn)九+。）=x(-xI+c)所以，方程的通解為y=-x+ex1o求解下列方程。(1)(x=/a-2-1/7J-Y)yxy+=0方程變形為方程變形為方程變形為方程變形為方程變形為方程變形為dxf1Ir-v(Jp方程變形為方程變形為方程變形為方程變形為=/宀1/知一x厶/x2-I/2方程變形為方程變形為dx-+c/x2-l/2方程變形為方程變形為方程變形為方程變形為CJ/1-疋/+X(2)ysuixcosx-y-sin3x=0dy_ysin2x=+dxsmxcosxcosxr(x)=-q(x)=sinxcosxcosx由一階線

14、性方程的求解公式cin.vcoc.vCOSXdxdx+c)SinA(fsin.xzA+c)COSXJSillXz、(-COSX+c)cosx=tgxc一SillXO題231、驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1(亍+y)dx+(x2y)dy=0解：如“，更二1.dydx則塑=更dvdx所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分、x2dx-2ydy+(ydx+xdy)=02y+3X1-32(y-3廠)dx-(4y-x)dy=0解:dMON云則巴=更dydx9r所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分、ydx+xdy-4ydy=0得x3-xy+2v2=C3-丄dx+-dy=0(x-yYxy(x-y)-鯉.OM_2)Q

15、_y)，_2)，2住_刃(_1)=2xyWU-y)4_U-y)30N_2x(x_y)2_2x2(x_y)_2卩&(x-y)4U-y)3則型.dxdy因此此方程是恰當(dāng)方程。(1)du_y21dx(x-y)2xdu1(1)(3)做兀的積分,貝Ij“=J、dx-1-dx+傾y)y二_lnx+(p(y)(2)(3)做y的積分,貝I竺=_(_1)于+(刃2$|d傾y)、勿(xy)，dy二_2q+)d沁)(x-y)，dy丄7U-y)2y2-2xy1x2-2xy+y11(=jdyyU-y)2U-y)2)U-y)2)J(y-l)y=lny-yx-yxx-yxx-y故此方程的通解為1芒+旦=cxx-y4、2(3

16、x)F+2x)dx+3(2x2y+y2)dy=0解：=12.,=12xy.労dxdM_dNdydx9r則此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，6xy2dx+6x2ydy+iy2dy=03d(&)+d(x4)+d(x)=0得:x4+3x2y2+y3=Csin+r)dv=0y)r5.(丄sin-cos+1)dx+(cos)r解：卜1=丄sin-Vcos+1yyvxdM1xxxsincos莎：ryyyN=-cos2.XsinA+XX:rIy-cos+2sinz2XXXy.yycos+sinxxx.XXX1sin-cosyyy對(duì)所以，,故原方程為恰當(dāng)方程dyox因?yàn)閬Asindx-丄cosdx+dx+cosdv-二

17、sindv+丄dy=0yyxxxxy-yyd(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0yxy所以，d(sin-cos+x丄)=0 xyy故所求的解為sin-cos_+x-=Cxy?求下列方程的解：62x(vexZ-1)dx+exdv=0解：L=2xexZ,=2xexZdx9r所以，,故原方程為恰當(dāng)方程dyox又2xyerdxJxdx+ydv=0所以，d(ve?-x2)=O故所求的解為y/xC(er+3y2)dx+2xvdv=0解：evdx+3y2dx+2xydy=0evx2dx+3x2v2dx+2x3ydy=O所以，dex(x2-2x+2)+d(x3y2)=0即dev(x2-2x+2)+x

18、3y2=0故方程的解為ev(x2-2x+2)+x3y2=C2xydx+(xUl)dy=0解：2xydx+x2dy+dy=0d(x2v)+dy=0即d(x2v+v)=0故方程的解為x2v+v=C9、ydx-xdy=(x2+y2)dx解：兩邊同除以x2+r得沁7嘰dxx+/、即,darctg=dxIy)故方程的通解為a】g/g=x+c10、ydx-(x+y3)dy=0解：方程可化為：ydAXCly=ydy即，d4=ydy故方程的通解為：=y2+c即：2x=y(y2+c)同時(shí)，y=0也是方程的解。11、(y-1-xy)dx+xdy=0解：方程可化為：ydx+xdy=(1+xy)dxd(a)?)=(1

19、+xylx即：=dx1+xy故方程的通解為：li中+xy=x+c12、(y-x2)dx-xdy=0解：方程可化為：曲xdy=dx故方程的通解為：=c_x即：y=x(c-x)X13(x+2y)dx+xdy=0的中小a,6N解：這里Af=X4-2y,N=x,工dydxdMdN6心=丄方程有積分因子“=xNx兩邊乘以“得：方程x(x+2y)dx+x2dy=0是恰當(dāng)方程故方程的通解為：|(x2+2xylx+Jx2-j(x2+2xy)dxdy=cX33+xy=c3即：P+3，y=c14xcos(x+y)+sin(x+y)dx+xcos(x+y)dy=0解：這里M=xcos(x+y)+sin(x+yN=x

20、cos(x+y)xsui(x+y)b斗OM6N(、因yy=cos(x+y)一dydx9r故方程的通解為:jxcos(x+y)+sinin(x+yx+1xcos(x+y)-詈|*acos(a+y)+sin(x+y)t/x即：xsin(x+y)=c15、解:ycosx+xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=ohi4a卩QMQN込里M=ycosx-xsinx.N=ysinx+xcosxhdMdydx5/V紅上=1方程有積分因子：“=%=/兩邊乘以“得:一M方程ey(ycosx-xsmx0 x+ev(ysinx+xcosx)dy=0為恰當(dāng)方程故通解為：Jo(ycosx-xsmxMx+j*、

21、jev(ycosx-xsmx)dxdy=c7即：eysinx(y-1)+eycosx=c16、x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5xdy)=0解：兩邊同乘以得：(4x3y2dx+2x4ydy)+(3x2y5dx+5x3ydy)=0d(y2)+d(&)=0故方程的通解為：F)，+x3y5=cQI17、試導(dǎo)出方程M(X,Y)dx+N(X,Y)dy=0具有形為/z(xy)和/z(x+y)的積分因子的充要條件。解：若方程具有“(兀+y)為積分因子，嘩1=哮(gx+)，)是連續(xù)可導(dǎo))oyoxdM“dndNM+/=N+/dydydxdxTOC o 1-5 h zM竺一N輿=“(-坐+更)dydxdy

22、dx(1)令Z=x+yd/id“dzdjLL6d“=,=dxdzdxdzdydzd“dN6MM_-=/(),dzdzdxdy7牛噲馬clzoxdydNdMdz=(p(x+y)dzd/t_dx6萬(wàn)一M-NdN6Mx+y的函數(shù),方程有積分因子“（x+刃的充要條件是：t?是MN此時(shí)，積分因子為應(yīng)+滬畀曲(2)令z=xy6“djLLdzdjLL6“cljLLdzddxdzdxdzdydzdydz冰半一Ny半（型一坐）dzdzdxdy（仏W）字（需一勢(shì)dzoxdydNdMd/i_dxdy/Mx-NydN_dMI喬藥4此時(shí)的積分因子為(心)FjQjl8.設(shè)/(和)及彩連續(xù)，試證方程dy-f(x,y)dx=

23、0為線性方程的充要條件是它有僅依賴于x的積分因子.證:必要性若該方程為線性方程，則有字(仍+g),dx此方程有積分因子“以仆皿，(龍)只與X有關(guān)充分性若該方程有只與X有關(guān)的積分因子“.則“(x)dy-zz(a)/(x,y)dx=0為恰當(dāng)方程,從而。(-“(兀)/(兀刃)_d“(x),功_),勿dx/z(x)f=-JZ7TJv+e(v)=一字)+0(x)=py+0(x)J(x)aW其中P(x)=_4D.于是方程可化為dy-(P(x)y+Q(x)dx=O(x)即方程為一階線性方程.設(shè)函數(shù)f(u),g(u)連續(xù)、可微且f(u)hg(u),試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=O有積分因子u=(

24、xyf(xy)-g(xy)-1證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得:i】yf(xy)dx+i】xg(xy)dy=Odyoy_oxydydxydy”O(jiān)gde6fdxyxf-xg-dxydxdxydx,fds-gdfdxydxy(f-g)故啦=警，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子dyox(八”而讐步咗地驚機(jī)+站汽-x2yf-g)2假設(shè)方程(2.43)中得函數(shù)M(x,y)N(x,y)滿足關(guān)系嬰-譽(yù)=dyoxNf(x)-Mg(v),其中f(x),g(v)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程(2.43)有積分因子u=exp(J/(x)dx+Jg(y)dy)證明：M(x,y)dx+N(x,

25、y)dy=O口仃r)d(uN)dM.fdudN.du即證=on+M=11+NOdydxdydydxdxU(坐更尸N竺M程ou(坐更尸曲九呵山、f(x)dydxdxdydydx-MeTwg(y)ou(坐更月e呵(Nf(x)-Mg(y)dydx由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：字*小+0(曲工。；ax兩邊同乘以X”，令(1一)P(x+(1-說(shuō),線性方程有積分因子:axA=戶TW=尸比,故原方程的積分因子為：/i=e=e，證畢!23、設(shè)“（x,y）是方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0的積分因子，從而求得可微函數(shù)U（x,y）,使得dU=“

26、（Mdx+Ndy試證（x,y）也是方程M（x,y）clx+N（x,y）dy=0的積分因子的充要條件是沁,y）0（）,其中曲）是油勺可微函數(shù)。沁=。（“曲冊(cè)）=沁處）+沏0（“）更TOC o 1-5 h z證明：若g泌），則?勿勿勿迦=。鹼）N）=業(yè)巴處）+側(cè)0（“加yydxdxdx=曲（）+=贊）dy內(nèi)即“為M（x,y）dx+N（x,y）cfy=0的一個(gè)積分因子。24、設(shè)是方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0的兩個(gè)積分因子，且均/“2工常數(shù)求證“i/“2=c（任意常數(shù)）是方程M（x,yLx+N（x,y）dy=0的通解。證明：因?yàn)椤癐,“2是方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0的積分

27、因子=/A伽ON、莎兀所以”,Mdx+UiNdy=o（/=1,2）為恰當(dāng)方程即N坐-M坐Oxdy9rF面只需證4的全微分沿方程恒為零“2事實(shí)上:即當(dāng)且豐C時(shí)，是方程的解。證畢!“2Az求解卜列方程習(xí)題2.4解：令礬yp丄則dxt3=r3+Inxyz=1+yfx=l1+7/從ifljy=Jpdx+c=j*d(/+尸)+c=J(引+2lt+c=t2+2t+ct2于是求得方程參數(shù)形式得通解為x=t3+t2T+2W2、y3-x3(i-y)=odx解：令學(xué)=y=p=a,貝O(rx)3-x3(i-/x)=o,從而y=J*pdx+c=1A2/+dt+c廣丿2/4-f-+cx=t1于是求得方程參數(shù)形式得通解為

28、2門1門1y=tV+c52/3、y=yr2ev解：令紗“則尸p從而x=j-d(p2ep)+c=(i+pk+c,于是求得方程參數(shù)形式的通解為：卩0+cy=y2ep另外，y=0也是方程的解.4、y(l+y，2)=2a,為常數(shù)角*:令學(xué)=$=tg(p,貝ljy=2J-=+xaxax即字+占=斗axax1一y/u得到=(cInlyI),u2另外y=0也是方程的解。6.(xy+l)ydx-xdy=0解：ydx一xdy+xydx=0另外y=0也是方程的解。另外y=0也是方程的解。解：令丄=X則-心_y丄y2十dxxx3dydu1=z/+x=w+irdxdxxdu1,dxxe丁.dudx得到r=JT-1-1

29、故=+CUX即丄=+丄yx對(duì)另外y=0也是方程的解。10.宀十伴dxdxdy解：令牛=pax即“立P而纟=故兩邊積分得到axy=/?-In/?+c因此原方程的解為2于j制212.e-y(+=xex(dx丿解：2+1嚴(yán)dx令x+y=udxdxdxdx即=xdx故方程的解為14.=x+y+1dx解：令x+y+1=udxdxdu.=axw+1求得：ln(+1)=x-c故方程的解為InU+y+l)=x+c或可寫為x+y+1=cex解：令ey=u則y=-Inuudx!du=dxm(2m-1)x+1即方程的解為ey(x+y)=2x+c184亍才厶+2(xy-1協(xié)=0解：將方程變形后得dy_4x2y2忑一2

30、小-1dx_2xy-1x1dy4x2y22y4x2y2TOC o 1-5 h zz/yy|同除燈得：，礦莎喬令則車=矣一丄dy2y4y3=-Z=y2+2即原方程的解為x5=-y2+cy219,x(-)2-2)(-)+4x=0dxdx解：方程可化為)2+4x空則y=歸竺=送卩+蘭,兩邊對(duì)X求導(dǎo)得p=匕上咀+J算収dx2p2p22dxppdx(4_)=(呂一4)字，(斗一勻心+=0,(p_4p)dx+(_心+4x)dp=02p2p*ax2p2pp(p一4)dx一x(p2一4)dp=0.p2=4或pdx-xdp=0,當(dāng)=4時(shí)y=2x,當(dāng)pdx一xdp=0時(shí),xp=-y=crx+4x2xTc2x2+4

31、.尸1一(少=1解：令空=_smQ,則才1-(sm=l,尸丄,de變=止=丄竺2麗=上-dxcosdpsindsindcos-dcos-cXJ*1d+cJsec2ddd+c=tgd+c所以方程的解為y2=(x+c)2+1,另外由p=0得)，=11(1+ey)dx+ey(1-)dy=0ydx_(z-l)ezdy1+ez解：令=Z則x=yz,-=Z+y爭(zhēng)方程為(1+e:)dx=(z-l)e:dy,yayay土=“y冬土衣一1+e*1+dyz+eyVInz+ez=-ln|y|,y(z+e:)=c,y(+ey)=c所以方程的解為x+yey=c竽必+亡豐d0yy解tlxydx+(y2-3x2)dy=0d

32、MdNTOC o 1-5 h zdM-dN-dydx8x4心、1+工口若0八1=0它Jdy_4=2x,=-6兀=-一所以方程有積分因子幺=yOydx-2xy-2xyy3ry-1y-12礦加+(嚴(yán)一-)dy=0,d罕宀0所以方程的解為二-丄=cRPx2-y2=cy3yyyyyydx-(1+x+y2)dy=0解：ydx-xdy=(1+才)心,兩邊同除以才得人一皿=匕l(fā)d)，,d丄=匕二dy*y*Y1所以方程的解為一=+y+c即(x+1)=y(y+c),另外y=0也是解。yyy-x(x2+y2)-xdy=0解：方程可化為：一=xdx.darctg=xdx所以方程的解為arctg=+c.對(duì)+yyy2d

33、v25竺+w厶-x=0ax解：-=p=t,x=t+由dy=pdx得y=/(I+e)dt+c=+et-el+cdxJ2十-+護(hù)-x=0ax解：令牛=p=f貝=t+”由dy=pdx得y=Jf(1+e)dt+c=-+et-e+c所以方程的解為：x=t+ey=t(+e)dt+c=!-+et-e+cv3(2a)，+x2y+寸)dx+(x2+y2)dy=0dMdN解:巴=2x+y2,=2x,=1所以方程有積分因子護(hù)方程兩邊同乘護(hù)得勿OX對(duì)+yd3exx2y+dexy3=0所以方程的解為：3exx1y+exy3=c27dy2x+3y+4dx4x+6y+5解：令“=2x+3y,兩邊積分得字=2+3字=2+3出

34、，則axax2u+5du_7m+22dx2u+5如Id,7u+2214222M+791n2x+3y+y=14(3y-|x)+c即為方程的通解。另外，7w+22=0,即2x+3y+y=0也是方程的解。28.a-y=2x2y(y2-x2)ax解：兩邊同除以X,方程可化為：=+2xyy2-x2)dxxx+u=u+lux1(irx1-x1)ax即淫=2疋(宀“)，CIX嚴(yán)=2也U-M(-+J丄)du=2xdx2(m+1)2(m-1)u兩邊積分得1ce即為方程的解。)?V4_r=cye29.字+上十a(chǎn)xx解：令evv=u,則111My9Xxdu111Mdy_i(dxdxxz那么1duInuInuj+)w

35、uxdxfxcl11即=xdxir兩邊積分得即為方程的解。-x1+嚴(yán)=c2dy4x3-2.n?3+2x30.亠=dx3x2r-6/+3y2解：方程可化為(4x3-2a)?3+2x)dx-(3x2y2-6y5+3y2)dy=0d(X4+才)_(問(wèn)*+x2dy3y+d(y6_y3)=0兩邊積分得x4+X1+y6_x2y3=c即為方程的解。x4+x6+c=(x2+l)(y3-1)31.y2(xdx+ydy)+x(ydx一xdy)=0解：方程可化為y2xdx+y3dy+xydx-x2dy=0兩邊同除以：/,得加+曲+鞏皿：砂）=0d(x2+y2)+x=02dy令x=pcqsO,y=psin0則pdp+

36、pcQsOdctgO=0(*)即兩邊積分得將亠=代入得，sin0y即故32字+士匸=0dx1+xy解：方程可化為兩邊同加上1,得.dsin0八Pdp=0sindx1+xy01p=+cSlllp=-+cyp2(y+l)2=c2y2(x2+r)(y2+l)2=c2y2dy-1-xy3dx1+xyd(x+y)_aj(F-)F)再由d(,r0=xdy+ydx,可知d(Q)dx(*)將(*)/(*)得即整理得兩邊積分得即d(x+y)_xyx+y)d(巧)x2y2-1du_wvdvv1一11=cuc(x+y)=丁心2_另外，x+y=0也是方程的解。33求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等J：切點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解

37、：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在p點(diǎn)的切線/在y軸上的截距為:由題意得即也即dyy-xt=x-ydx+xdy=-dx兩邊同除以得-yclx+xdy_dx7=Ty=cx+xlnx|為方程的解。34.摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動(dòng)，全速時(shí)停止了發(fā)動(dòng)機(jī)，過(guò)了20秒鐘后，艇的速度減至v1=3米/秒。確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動(dòng)速度成正比例。解:dv=ma=rndt故得當(dāng)/=2x60=120時(shí),有3v(20)=5x()20=0.23328米/秒其中k=g,解之得mInv=kt+c又/=0時(shí)，v=5；t=2時(shí),k=In,c=1115205從而方程可化為即為所求的確定發(fā)動(dòng)

38、機(jī)停止2分鐘后艇的速度。35.質(zhì)量為加的質(zhì)點(diǎn)作宜線運(yùn)動(dòng)，從速度等丁零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比(比例系數(shù)為h)的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)乂受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為艇)。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。解：由物理知識(shí)得：竺(其中d為質(zhì)點(diǎn)的加速度，玖為質(zhì)點(diǎn)受到的合外力)m根據(jù)題意：F=klt-k1v故：dvm=k.t-kyV（人0）dt即：dv廠kkdtmm(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有dt+c）冷(角一挙角+c)k；乂當(dāng)=0時(shí)，V=0,故k因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為:36解下列的黎卡提方程)少+才一2)0=1嚴(yán)解：原方程可轉(zhuǎn)化為：)40)2+2戶y+“/蔦

39、(*)觀察得到它的一個(gè)特解為：y設(shè)它的任意一個(gè)解為“代入(*)式得到：；+：)=0+z)2+2戶0+Z)+護(hù)一嚴(yán)dx由(*)-(*)得：=-erz2dx變量分離得:纟也兩邊同時(shí)積分：-丄=-幺“+CZ即：z=e+c故原方程的解為y=er+!yf+y1-2ysinx=cosx-sin2x解：原方程可化為：yf=-y2+2ysinx+cosx-sin2x由觀察得，它的一個(gè)特解為y=siiix,設(shè)它的任意一個(gè)解為y=S111X+z故纟=(-2sinx+2sinx)z-Z2=-才ax變量分離再兩邊同時(shí)積分得：-=X+C即“一!一ZX+C故原方程的解為y=sina-+-X+Cx2yf=x2y2+xy+1

40、解:原方程可化為:yf=y2+丄y+丄XX*由觀察得到，它的一個(gè)特解為歹=-丄，設(shè)它的任一個(gè)解為)匸-丄+Z,故XX$=丄Z+F，該式是一個(gè)n=2的伯努利方程axx兩邊同除以于得到:厶車=-丄丄+1Vaxxz即：=丄丄一1,令丄axxzZ則：羋丄(一1,根據(jù)一階非齊線性方程的求解公式得:axxJ-i-J.vJ丄dxu=ex(I-eAdx+c)=x(c-enx|)故：21x(c-enx|)因此：原方程的解為：心=-1c一en|x|4x2(/-y2)=l解：原方程可化為：y=y2+4x-由觀察得到，它的一個(gè)特解為y=-,設(shè)它的任一個(gè)解為)工一丄+乙T2x2x是=-z+r,這是n=2的伯努利方程dx

41、x兩邊同除以于得到:A其丄丄+1VdxxZ即：-=1.1-1dxxzffrf.v則：_=八(-ex+c)=x(c-enIxI)ZJ即：“x(c-enxI)故：原方程的解為：2xy=1c一en|x|xyf+y2)=2解：原方程可化為：yf=-y2+;r由觀察得，它的一個(gè)特解為y=-丄，故設(shè)它的任一個(gè)解為y=-+z，于是XX=這是n=2的伯努利方程dxx兩邊同除以才得到:4=-丄-1VdxxZ即：-A=-l+ldxxzTOC o 1-5 h zhlll1卜三厶，J%1x3、貝lj：=ex(exdx+c)=(+c)ZJQ3故：原方程的解為：y=4-即卩=蘭二X+CXC+Xx2y+(xy-2)2=0.

42、44解：原方程可化為：)/=-廠+-y-XX由觀察得到它的一個(gè)特解為歹=丄，設(shè)它的任一個(gè)解為)上丄+Z，于是XX牟厶-込2,這是n=2的伯努利方程axx兩邊同除以才得到:4=-丄-1Vdxxz+c)=+c)從而:1=Z(a+c)=4(-+c)zJ對(duì)3故原方程的解為:13/4x3+cy=7+7T7=7T7J即:4x3+c/=(x-l)y2+(l-2x)y+x解：由觀察得到它的一個(gè)特解為?=1,故設(shè)它的任一個(gè)解為y=l+z,T是纟=-2+(兀-1)才，這是=2的佰努利方程,ax兩邊同除以F得:4=-+(a-1)VdxZd1即：子丄+(lx)dxz從而：丄=*(J(1-x)e-Jdx+c)=ex(x

43、e+c)=x+cexx+ce故原方程的解為：y=1+=1+-習(xí)題311求方程=x+y2通過(guò)點(diǎn)(0,0)的第三次近似解;解：取(兀)=0%(x)=兒+(兀+了曲=xdx=|x2%W=%+j+譏切心=f兀+(y)Jdx=|x2+護(hù)=Jo+L+($+-X5)2dxTOC o 1-5 h z215Is111二X+X+X+X2016044002求方程竽E通過(guò)點(diǎn)0)的第三次近似解;解：令(pQ(x)=0%(X)=0+(x)叮)dx=xdx=|x2(x)=y0+_0；(Qdx=v-(|x2)2=|x2-存5%W=兒+*-籟P)訂dxTOC o 1-5 h zXXHXX22016044003題求初值問(wèn)題:dy

44、.=XdxR：x+l|1,|y1b(-i)=oTOC o 1-5 h z的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì);解：因?yàn)镸=maxx2-y2=4貝Jh=min(a,)=丄M4則解的存在區(qū)間為|x-x0|=|x-(-1)|=|a-+1|令(X)二0;U)=yo+j(x2-0)dx=|x3+|；、寸，、rr,A31宀，13xxx11P.(x)=y0+對(duì)_(-x+-)Jdx二一x-一-_+八,333918634212=LAJ*Z211則：誤差估計(jì)為：網(wǎng)-田匕巻厶，二1(2+1)244題討論方程：半=,在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件,ax2并求通過(guò)點(diǎn)(0,0)的一

45、切解；解：因?yàn)?4二丄)汀在yHO上存在且連續(xù)；dy21而一)2在卜|IctrO上連續(xù)2由=?護(hù)有：y=(x+c)亍dx2乂因?yàn)閥(0)二0所以：|y|=x2另外y二0也是方程的解；3故方程的解為：y=x淪00 xy0或y二0；6題證明格朗瓦耳不等式:設(shè)K為非負(fù)整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間atp上的連續(xù)非負(fù)函數(shù),且滿足不等式：tf(t)k+f(s)g(s)ds,atpat則有：f(t)kexp(Jg(5)5),atPa證明：令R(t)二打g(s)ds,則/?(T)=f(t)g(t)a/?(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)R(T)-R(t)g(t)kg(t)

46、;兩邊同乘以exp(-Jg(s)d$)則有：atR.exp(-Jg(s)ds)-R(t)g(t)exp(-Jgd$)aaikg(t)exp(-Jgds)a兩邊從到t積分：jkg(s)dsexp(-jg(r)dr)dstR(t)exp(-Jg(s)ds)TOC o 1-5 h zaaatI即R(t)exp(-Jg0)d廠)dsastt乂f(t)1k+R(t)k+kjg(s)exp(-jg(r)dr)dsts)=kexp(Jg0)如即f(t)X。一側(cè)有兩個(gè)0(x),(p(x)則滿足：則滿足：X0(X)二Yo+J/Uv)dxroX0(X)二y+J7(x,0(x)dxo不妨假設(shè)0(x)A0(x),則(

47、x)-Ip(x)0XJ7(x(x)dx而(p(X)-kp(x)=“(x,g)dx-oX=JV(x，久x)-/(x,0(x)dx%乂因?yàn)閒(x,y)在(x0,y0)的領(lǐng)域內(nèi)是y的增函數(shù)，則:f(X,(P(x)-f(x,tp(x)0X則0(x)-tp(x)=j/(x,(p(x)-f(x,dx0o則(p(x)-中(x)X。一側(cè)最多只有一個(gè)解；習(xí)題3.4（一）、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：】、i務(wù)唯J解：令字*,貝y=2xp+X2pax兩邊對(duì)X求導(dǎo),得p=2p+2x4-2xp4+4x2/?3axax（1+22畔+=0從1+2xp=0得#工0時(shí)，x=2p4/r從2x字+p=0得x=+c2,dx

48、pp0為參數(shù)，chO為任意常數(shù).x=經(jīng)檢驗(yàn)得y=（卩工0）是方程奇解.解:令學(xué)=p,則y=x+p1,dx兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得p=l+2pdxdp_p-dx2p解之得x=2p+ln(p-l)2+c,所以y=2p+b+ln(p-l)2+c,且y=x+l也是方程的解，但不是奇解.3、尸畔+丿解：這是克萊洛方程，因此它的通解為】=CX+J1+c2,4、y=cx+J1c+c2_中消去c,7i+c2得到奇解尸V1存.解：這是克萊洛方程，因此它的通解為；：；中消去C,得到奇解y2+4y=05、（劊+2xy=0解：令g=p,則y=2xp+p2,dx兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得p=2p+2x+2pdx-x-2,pdxdp解之得

49、x=-p+cp2,所以y=-p2+cpl,可知此方程沒(méi)有奇解.60W：原方程可化為yr竽dxj這是克萊羅方程，因此其通解為y=cx-,_.1從CXc1中消去C,得奇解21x1+4y3=0.x+2c3=07、解:令冬=p,則y=x(l+p)=p,ax兩邊對(duì)X求導(dǎo),得x=cep-2p+2f所以y=c(p+l)ep-p2+2,可知此方程沒(méi)有奇解.可知此方程沒(méi)有奇解.解：令罕=p,貝Gy=2x4-p-p3ax3兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得2+字十哼axaxdp_p_2dx1-p2解之得X=-（；2）_3in|p_2|+c,所以y=PZ-P1-3p-4-61n|p-2|+c,且J=2x-|也是方程的解，但不是方程的

50、奇解.1、僚）+2）務(wù)円解:綽+字+俘dxdxdx這是克萊羅方程，因此方程的通解為CX+C+C從p*x+c+c2中消去c,x+1+2c得方程的奇解(x+1)2+4y=0.(-)求下列曲線族的包絡(luò).1y=cx+c1解:對(duì)C求導(dǎo),得x+2c=0,c=-|,代入原方程得，尸-匸+蘭一己經(jīng)檢驗(yàn)得，孚是原方程的包絡(luò).42、c2y+ex2-1=0解：對(duì)C求導(dǎo)，得2yc+x2=0,c=,2y代入原方程得-1=0,即x4+4y=0,4y2y經(jīng)檢驗(yàn)得x4y=0是原方程的包絡(luò).3、(x_c)2+(y-c)2=4解：對(duì)c求導(dǎo)，得-2(x-c)-2(y-c)=0,c=2代入原方程得(x-y)2=8.經(jīng)檢驗(yàn)，得(x-y

51、)2=8是原方程的包絡(luò).4、(x-c)2+y2=4c解：對(duì)c求導(dǎo),得-2(x-c)=4,c=x+2,代入原方程得4+r=4(x+2),y2=4(x+l),經(jīng)檢驗(yàn)，得y2=4(x+l)是原方程的包絡(luò).(三)求一曲線，使它上面的每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標(biāo)系，則曲線上任一點(diǎn)(x,y(x)的切線方程為(丫-y(x)=yxXx-x)，它與X軸、Y軸的截距分別為X十厶,r=y-xyf,y按條件有一三+)一夕+,化簡(jiǎn)得尸燈-冬，yi-y這是克萊洛方程，它的通解為一族直線y=cx-,1-Cacy=ex它的包絡(luò)是1_c,消去C后得我們所求的曲線

52、4ov=(x-y+a)1.(四)試證：就克萊洛方程來(lái)說(shuō)，P判別曲線和方程通解的C判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程y=xp+f(p)的P判別曲線就是用P消去法，從蔦：7(：)中消去p后而得的曲線；C判別曲線就是用C消去法，從通解及它對(duì)求導(dǎo)的所得的方程?=中消去C而得的曲線，0=x+/(c)顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此P判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解.習(xí)題4.1I.設(shè)x(/)和y(/)是區(qū)間aG5b上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間aG5b上有數(shù)或曲)常數(shù),則x(t)和y(f)在區(qū)間atb上線形無(wú)關(guān)。證明：假設(shè)在x(t)9)心)在區(qū)間citbk線形相關(guān)則

53、存在不全為零的常數(shù)0,使得ca(t)+t)=O那么不妨設(shè)x(f)不為零，則仃需顯然違為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立x(/),y(/)在區(qū)間atb.線形無(wú)關(guān)2.證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)“(/),兀(/)分別是非齊線形方程TOC o 1-5 h zd,lx/八麗+訕)莎L人(dHxfdf(_，=oz,則有:q(“+s(ty=o5i)+6(ty=t-i解之得：q(r)=-t+c1?c2(/)=-te+e)4-c2故所求通解為x(r)=cj+c用-(f+l)2dy5.以知方程-%=o的基本解組為y,求此方程適合初始條件d廣x(o)=1,*(0)=074x(0)=0,/(0)=1的基本解組(稱為標(biāo)

54、準(zhǔn)基本解組,即有v(o)=1)并求出方程的適合初始條件A-(O)=xo,xf(0)=忑的解。解：d才時(shí)間方程-x=0的基本解組，故存在常數(shù)qo使得：x(t)=c/+cdrJ：是：x(/)=-c2e令t=0,則有方程適合初始條件x(O)=l,xr(O)=O,是有:又該方程適合初始條件x(O)=O,xr(O)=l,是:故心A+擴(kuò)故A顯然“(“，(/)線形無(wú)關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為:.訛)=+討，”=_討而此方程同時(shí)滿足初始條件x(O)=x,x(O)=x/，于是：c&+c,e=x0 x+xx-xciec2e=xo22故心“+遷，滿足耍求的解。6.設(shè)(/)(心12/)是齊線形方程(4.2

55、)的任意口個(gè)解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行列式記為曲)，試證明w(f)滿足一階線形方程w*(f)w=O,因而有:/-f山($加w(r)=w(r0J/o解：.M(f)=/9X】&/f+/兀fX”f%X”9心-v心）v(n-2)vSt)Gt)xi心r00XnX125)（町X1八dnx，、/f又兀（f）（心1,2,加滿足一+勺0）-atclt+%(/)兀=0必沖第k行都乘以ak（t加到最后一行（R為12-1）9Xn則：(/)=S-2)人1dA1r心)An即wr+q(/)w=0則有:齊=-勺（5址,則兩邊從/。到f積分山1(n-1)In帆“-阿0卜-恥加fw仏b）假設(shè)X）H0是二階齊線形方程占+和力+）*。

56、（*）的解，這里（f）和在區(qū)間ci.b連續(xù)，試證：（1）兀2“）是方程的解的充耍條件為：,x2+6/1vvx1,X2=0;(2)方程的通解可以表示為：x=J”、dt+c2,其中cc2為常數(shù),tQJtea,bOXtX2一Xx2+fl1X1X2一fl1X1x2=0Uf9foxtx2+f/1x1x2+aixlx1+alxlx2一alxlx2=0O旺（兀+aiX2+牛2=099fOx2+atx2+atx2=0,（兀豐0）即E為（*）的解。（2）因?yàn)閰稳霝榉匠痰慕?，則由劉維爾公式X2X2w（t0）eJ,即:xYx2r/-f5（$）d$-%1X2=w（t0）e01兩邊都乘以r則有：dtX1仏）（也neY$

57、,J是:A1乂：w(f)9從Ifli方程兀2的d匚-i(s)ds/=eJ/oHO通解可表示為%，其+c9c2為常數(shù)0,re,/?o試證n階非齊線形微分方程(4.1)存在且最多存在n+1個(gè)線形無(wú)關(guān)解。證：設(shè)兀,()為(4.1)對(duì)應(yīng)的齊線形方程的一個(gè)基本解組，R)是(4.1)的一個(gè)解，則：“(f)+兀仇兀2(/)+x(/)，,(/)+x(/)，x(f)，,均為(41)的解。同時(shí)(1)是線形無(wú)關(guān)的。事實(shí)上:假設(shè)存在常數(shù)C19c2,-,Cn+1，使得：Cg(f)+x(r)+C2(x2(r)+X(f)+c”b”(/)+x(f)+Cn+1(x(r)=0hn-HW：Sczx.(r)+x(r)Scf.=0i=

58、ii=iw-H我們說(shuō)=o1=1否則，若zc,.o,則有二(/)=_亠兀(“i=L匸1二r=l(*)的左端為非齊線形方程的解，而右端為齊線形方程的解，矛盾！從而有Xcix/(t)=0/=i又兀(4兀(/)，,X”(f)為(4.1)對(duì)應(yīng)的齊線形方程的一個(gè)基本解組，故有：c=c2=c/t=0,進(jìn)而有:c/?+1=0即(1)是線形無(wú)關(guān)的。習(xí)題4.2解下列方程(1)xW-5x+4x=0角軍：特征方程力一5才+4=0有根人=2,易=一2,人=1,24=-1故通解為X=cle2t+c2e21+cze+c4el(2)h-3axn+3a2xf-azx=0解：特征方程尤S+如2-左=0有三重根=a故通解為X=q嚴(yán)

59、+c2tea,+c.t2ea,(3)/5-4=0解：特征方程才一4才=0有二重根=0,九=2,A5=-2故通解為x=ce1+c2e21+c/2+c4t+c5(4)xn+2x+1Ox=0解：特征方程才+2兄+10=0有復(fù)數(shù)根人=-l+3i,A=-l-3i故通解為x=cecos3/+c2esin3t(5)+x+x=0解：特征方程才+兄+1=0有復(fù)數(shù)根入=土理心土斗故通解為(6)s-Cl、S=/+1解：特征方程A2-a2=0有根入=a,A=a當(dāng)心0時(shí)，齊線性方程的通解為S=c嚴(yán)+Ss=4+Bf代入原方程解得A=B=v故通解為S=Clea,+c2e-(,-t-)當(dāng)a=o時(shí),壬=尸(7+7，)代入原方程

60、解得7,=|,/2=62故通解為S=ci+c2t-tt+3)6(7)疋一4疋+5.*-2兀=2/+3解：特征方程仁4才+5兄-2=0有根爪2,兩重根41齊線性方程的通解為X=cle2+c2e+c3te又因?yàn)樾?不是特征根，故可以取特解行如A4+G代入原方程解得A=-4,B=-l故通解為X=ce2+c2e+cte-4-t(8)x(4)-2xn+x=t2-3解:特征方程才-2才+1=0有2重根2=1,2重根兄=-1故齊線性方程的通解為X=cle,+cje1+cze+c4tel取特解行如1+印+。代入原方程解得A=1,B=0,C=l故通解為X=cle,+c2te+c3e+c4te-t2+1(9)xw