幾何圖形的基本模型

1、第一頁共十五頁幾何圖形的基本模型模型一：雙子型(手拉手模型)一一4 (1)等邊三角形條件：AOAB, A OCD均為等邊三角形。結(jié)論： A OAC0 A OBD AC=BD d 圓上(2)等腰直角三角形，久條件：AOAB, A O3均為等腰直角三角形。結(jié)論： A OAC 9 O OBD AC=BD (3圓上(3)任意等腰三角形百4H條件：AOAB, A OCD均為等腰三角形。結(jié)論： A OAC 9 A OBD AC=BD (點(diǎn)E在A OAB的外接圓上例題：(1)如圖， ABC中，AB=AC:等D/ AEB=60 0 OE平分/ AED 點(diǎn)E在A OAB的外接D)/AEB=900OE平分/AED

2、 點(diǎn)E在 AOAB的外接|DZ AEB= / A0B OE 平分/ AED (或/ AED 的外角),在4ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個等腰三角形頁共十五頁第二頁共十五頁ABD,ACE ,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn) M、N、G,連接GM、GN,線段GM與GN數(shù)量關(guān)系是 位置關(guān)系是(2)如圖，把等腰三角形 ABC換為一般的銳角三角形，AB AC,其中，其它條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由。(3)如圖，在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究，向 ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形 ABD、ACE,其它條件不變，試判斷 GMN的形狀，并給與證明。模型二：雙子型(手拉手模型)一一相似一般

3、情況條件：CD / AB(A OCDs AOAB),將A OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置結(jié)論：右圖中A OCDsAOAB? AOACsaOBD 延長 AC交BD于點(diǎn)E,必有/ AEB= / AOB 點(diǎn)E在AOAB的外接圓上。特殊情況條件：CD / AB ( AOCDsAOAB), Z AOB= / COD=900 將 A OCD 旋轉(zhuǎn)至右圖位置結(jié)論：右圖中 AOC2 AOAB? AOA8 AOBD 延長 AC交BD于點(diǎn)E,必有/ AEB=900 (BD AC)點(diǎn)E在A OAB的外接圓上連接 AD,BC ,則 Sabcd=cx BD OD = OB = tan Z OCD 2OC OA(A,O,E,B 四

4、點(diǎn)共圓)必有 AD2+BC2=AB2+CD2例題：以平面上一點(diǎn) O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個直角三角形，記作AOB和ACOD,其中/ ABO=/ DCO=30 0(1)點(diǎn)E、F、M分別是 AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接 FM、EM. 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長線上時，EM=如圖2,將圖1中4AOB的繞點(diǎn)O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)a角(00VaV 60),其他條件不變，判斷裝?勺值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明如圖3,若B0=3v3,點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2.點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，在將AOAB繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)過程中，線段 PN長度的最小值為 ,最大值為 第四頁共十五頁I模型三：對角互補(bǔ)

5、模型 (1)全等型-900條件： / AOB= / DCE=900 OC 平分/ AOB結(jié)論： CD=CE OD+OE=，2OC 當(dāng)/ DCE的一邊交AO的延長線于點(diǎn) D時 Sa OCE -SaOCD=；OC2結(jié)論: CD=CE OE-OD= V2OC (2)全等型-120第五頁共十五頁條件： / AOB=2 /DCE = 1200 OC 平分/AOB 結(jié)論： CD=CE OD+OE=OC 例題1如圖，D為等邊 AABC外一點(diǎn)，若/ BDC=120 0,求證：AD平分/ BDC （典型例題：等邊三角形 +對角互補(bǔ)，求證角平分線 ）例題2如圖，D為等邊A ABC外一點(diǎn)，若AD 平分/ BDC ,

6、求證：/ BDC=120 0（典型例題：等邊三角形 +角平分線，求證對角互補(bǔ) ）例題3如圖，D為等邊A ABC外一點(diǎn)（BDVCD）,若/BAC=60 0,若/BDC=120AD 平分/ BDC,求證：AB=AC（典型例題：對角互補(bǔ) +角平分線，求證等邊三角形 ）第六頁共十五頁模型四：角含半角模型900 (1)角含半角模型900-1EAF= 450結(jié)論： EF= DF +BE也可以這樣:ACEF周長是正方形 ABCD周長的一半 FA平分/ DFE , EA平分/ BEF條件：正方形 ABCD EF=DF+BE結(jié)論：/ EAF=45 0(2)角含半角模型900-2條件：正方形 ABCD; /EAF

7、=45 0結(jié)論： EF= DF - BE(3 )角含半角模型900-3B D E C B D E C第七頁共十五頁條件：等腰直角 A ABC/ DAE = 450結(jié)論：BD2+CE2=DE2BD，CE2=DE2仍然成立(4)若/ DA跳轉(zhuǎn)到A ABC外部時，結(jié)論 角含半角模型900-變形條件：正方形ABCD ; / EAF=45結(jié)論：A AHE為等腰直角三角形A、B、E、H四點(diǎn)共圓 G、E、F、H四點(diǎn)共圓例題1已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC (或它們的延長線)于點(diǎn) M,N(1)當(dāng)/ MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，求證： BM+DN=

8、MN(2)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMWDN時(如圖2),則線段BM,DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是 (3)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，猜想線段 BM,DN和MN之間又有怎樣數(shù)量關(guān)系呢？ 并對你的猜想加以說明。第八頁共十五頁例題2如圖，拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，交軸于y軸點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的平行線與 拋物線的另一交點(diǎn)為 D,連接AC,BC。點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m4)。(1)求拋物線的函數(shù)解析式和的/ACB正切值。(2) 若/ACP=45 0,求 m的值模型五：倍長中線模型(1)倍長中線類模型-1條件：矩形 ABCD BD=BE

9、DF=EF結(jié)論：AFXCF(2)倍長中線類模型-2條件：平行四邊形 ABCD BC=2AB AM=DM CEL AD結(jié)論：/ EMD=3 / MEA例1已知：如圖，A ABC中，AB=4,AC=6,AD 為BC邊上的中線，則線段 AD的取值范圍是共十五例2如圖：已知A ABC中，AD是中線，AE是BD的中線，BA=BD ,求證：AC=AE模型六：(1)相似三角形模型一一基本型反A超12字身字爵)結(jié)論:ADAE DE ADE s ABC =ABAC BCDEBCDFEF=BGCG(2)相似三角形模型一一反A型條件:DE / BC第十一頁共十五頁第十頁共十五頁條件：/ADE= / B條件：/ AC

10、D= ZB結(jié)論： AACDsAABC AC2=ad。AB(2)相似三角形模型一一直角母子型(射影定理)?結(jié)論:A AD& A ABC兩?=否?=否?條件：AC BC ,CD AB結(jié)論： AC2=AD。AB BC2=BD。AB CD2=AD。BD(3)相似三角形模型一一一線三等角型(K型相似)條件：/ B=/ACE=/D結(jié)論：AABCs ACDEAB. DE=BC CD(一線三等角模型也經(jīng)常用來建立方程或 函數(shù)關(guān)系式)特別地，當(dāng)C為DB中點(diǎn)時，AABCsa CDEsA ACE(4)相似三角形模型一一圓哥定理型如圖1,相交弦定理 如圖2,切割線定理如圖3,割線定理：圖2:PA. PB=PC PD:

11、pa2=pb - PCPA, PB=PC PD例題 1 如圖，A ABC和 A DEC均為直角三角形。/ ACB= / DCE=900,AC=國,BC=v7, CD=v3CE=1.將A DEC繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為/BCD為a (00 a 3600),作直線BD ,連接AD,當(dāng)點(diǎn)B,D,E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長例題 2在 AABC和 AADE中，BA=BC,DA=DE，且/ ACE= / ADE,點(diǎn)E在 AABC的內(nèi)部,連接 EC,EB 和 BD,設(shè) EC=k , DB(k w0).(1)當(dāng)/ ACE= / ADE=60 0時，如圖1,請求出k值，并給予證明當(dāng)

12、/ ACE= / ADE=90 0 時,如圖2, (1)中的k值是否發(fā)生變化，如無變化，請給予證明；如有變化，請求出 k值，并說明理由。如圖3,當(dāng)D,E,C三點(diǎn)共線，且 E為DC中點(diǎn)時，請求出tan/EAC的值m*加模型七：十字架模型(1)正方形內(nèi)的十字架型第十二頁共十五頁條件：正方形 ABCD 結(jié)論：AE=BF (EF=GH) (3)矩形內(nèi)的十字架型 BHAE (EFXGH)條件：矩形 ABCD BDCE (EFXGH)結(jié)論:CEBD例題1如圖，在正方形 ABCD上，H在BC上，EFXAH于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)E交DC于點(diǎn)F。若AB=3 , BH=1 求 EF 的長例題2將邊長為12cm的正方形

13、ABCD折疊，使得點(diǎn) A落在邊CD上的E點(diǎn)，然后壓平得折痕 FG, 若GF的長為13cm,則線段CE的長為例題 3 如圖，若 BA=BC=6,DA=DC=8 , / BAD=90 0,DE LCF,請求出 DE:FC 的值第十四頁共十五頁第十三頁共十五頁模型八：“定邊對定角”模型 “定邊對定角”動點(diǎn)成“隱圓條件：AB為定值，點(diǎn)P為動點(diǎn)，且/APB=a （a為定角）結(jié)論：點(diǎn)P在以AB為弦的圓弧上運(yùn)動心在AB中垂線上，圓心角為 2a （a為銳角）或3600-2a （a為鈍角）例題1如圖，AC =3, BC = 5,且/BAC = 90 , D為AC上一動點(diǎn)，以 AD為直徑作圓，連 BD交 圓于E點(diǎn)，連CE,則CE的最小值為（）A. .13 2B. .13 2C. 5D. 16 9例題2如圖，RtABC中，AB，BC,AB=6,BC=4,P 是 AABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足/PAB=/PBC,則線段CP長的最小值為 ？，p例題3如圖，在邊長為 2v3的等邊 評BC中，AE=CD,連接BE,AD相較于點(diǎn)P,則CP的最小值為模型九：“12345”模型第十五頁共十五頁若用符號“ 2”表示正切值為2是銳角