高考數(shù)學(xué)(理)：1-1集合及其運算+1-2命題及其關(guān)系、充要條件+1-3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

1、第1講集合及其運算知 識 梳 理1集合與元素(1)集合中元素的三個特征： 、 、無序性(2)元素與集合的關(guān)系為 或 關(guān)系，分別用符號 或 表示 (3)集合的表示法： 、 、圖示法、區(qū)間法(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N*(或N)、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R.(5)集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分 為 、無限集、空集確定性 互異性 屬于 不屬于 列舉法 描述法 有限集 AB 子集 2n 2n1 3集合的運算及其性質(zhì)(1)集合的并、交、補運算并集：ABx|xA，或xB；交集：AB ；補集：UA U為全集，UA表示A相對于全集U的補集(2)集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：AA；AAA

2、；ABABA.交集的性質(zhì)：A；AAA；ABAAB.補集的性質(zhì)：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.x|xA，且xB x|xU，且xA 辨 析 感 悟1元素與集合的辨別(1)若x2,10,1，則x0,1.()(2)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n1，非空真子集的個數(shù)是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，則ABx|xR()感悟提升1一點提醒求集合的基本運算時，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點集2兩個防范一是忽視元素的互異性，如(1)；二是運算不準(zhǔn)確，尤其是運用數(shù)軸圖

3、示法時要特別注意端點是實心還是空心，如(6).考點一集合的基本概念【例1】 (1)(2013江西卷改編)若集合AxR|ax2ax10中只有一個元素，則a_.(2)(2013山東卷改編)已知集合A0,1,2，則集合Bxy|xA，yA中元素的個數(shù)是_解析(1)由ax2ax10只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)a0時，方程無實數(shù)解；當(dāng)a0時，則a24a0，解得a4.(a0不合題意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)4(2)5規(guī)律方法 集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性答案1 考點二集合間的基本關(guān)系【例2】 (1)已知

4、集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求實數(shù)m的取值范圍(2)設(shè)UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值解(1)當(dāng)B時，有m12m1，則m2.當(dāng)B時，若BA，如圖(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判別式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，則m1；若B2，則應(yīng)有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，這兩式不能同時成立，B2；若B1，2，則應(yīng)有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由這兩式得m2.經(jīng)檢驗知m1和m2符合條件m1或2.規(guī)律方法 (1)已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中

5、的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解(2)在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行討論【訓(xùn)練2】 (1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為_(2)(2014鄭州模擬)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為_考點三集合的基本運算【例3】 (1)(2013山東卷改編)已知集合A，B均為全集U1,2，3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，則AUB_.(2)(2014唐山模擬)若集合My|y3x，集合Sx|ylg

6、(x1)，則下列各式正確的是_MSM；MSS；MS；MS解析(1)由U(AB)4知AB1,2,3又B1,2，3A，UB3,4，AUB3(2)My|y0，Sx|x1，故只有正確答案(1)3(2)規(guī)律方法 一般來講，集合中的元素離散時，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)時，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為_(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，則A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0 x22,2x4，所以Bx|2x4故

7、UBx|x2，或x4，從而A(UB)x|1x2答案(1)0,2,4(2)x|1x2數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進行集合交、并、補運算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決 創(chuàng)新突破1與集合有關(guān)的新概念問題【典例】 已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個數(shù)為_解析法一(列表法)因為xA，yA，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示：由題意xyA，故xy只

8、能取1,2,3,4，由表可知實數(shù)對(x，y)的取值滿足條件的共有10個，即B中的元素個數(shù)為10.y xyx12345101234210123321012432101543210法二(直接法)因為A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若xyA，則必有xy0，xy.當(dāng)y1時，x可取2,3,4,5，共有4個數(shù)；當(dāng)y2時，x可取3,4,5，共有3個數(shù)；當(dāng)y3時，x可取4,5，共有2個數(shù)；當(dāng)y4時，x只能取5，共有1個數(shù)；當(dāng)y5時，x不能取任何值綜上，滿足條件的實數(shù)對(x，y)的個數(shù)為432110.答案10反思感悟 (1)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論

9、證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運算(2)以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力【自主體驗】設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A，且k1A，那么稱k是A的一個“好元素”給定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_個解析依題，可知由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”，則這3個元素一定是相連的3個數(shù)故這樣的集合共有6個答案6第2講命題及其關(guān)系、充要條件知 識 梳 理1命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達

10、的，可以 的語句叫做命題，其中判斷為 的語句叫真命題，判斷為 的語句叫假命題判斷真假 真 假 2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有 的真假性；兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的 ，q是p的 ；(2)如果pq，qp，則p是q的 充分條件 必要條件 充要條件 相同 感悟提升1一個區(qū)別否命題與命題的否定是兩個不同的概念否命題同時否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)，如(1)把否命題錯看成是命題的否定考點一命題及其相互關(guān)系【例1】 已知：命

11、題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”，則否命題是“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)，則m1”，是真命題；逆命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)”，是假命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是減函數(shù)”，是真命題；逆否命題是“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增函數(shù)”，是真命題以上四個結(jié)論正確的是_(填序號)解析由f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則f(x)exm0恒成立，m1.命題“若函數(shù)f(x)exmx在(0，)上是增函數(shù)，則m1”是真命題，所以其逆否命題“若m1，則函數(shù)f(x)exmx在(0，)上不是增

12、函數(shù)”是真命題答案規(guī)律方法 (1)在判斷四種命題的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，當(dāng)確定了原命題時，要能根據(jù)四種命題的關(guān)系寫出其他三種命題(2)當(dāng)一個命題有大前提時，若要寫出其他三種命題，大前提需保持不變(3)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出反例(4)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假【訓(xùn)練1】 (2013吉林白山二模)命題“若a2b20，則a0且b0”的逆否命題是_答案若a0或b0，則a2b20考點二充分條件、必要條件的判斷【例2】 (1)(2013福建卷改編)設(shè)

13、點P(x，y)，則“x2且y1”是“點P在直線l：xy10上”的_條件(2)(2013濟南模擬)如果a(1，k)，b(k,4)，那么“ab”是“k2”的_條件解析(1)當(dāng)x2且y1時，滿足方程xy10，但方程xy10有無數(shù)多個解，不能確定x2且y1，“x2且y1”是“點P在直線l上”的充分而不必要條件(2)因為ab，所以14k20，即4k2，所以k2.所以“ab”是“k2”的必要不充分條件答案(1)充分而不必要(2)必要不充分規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)

14、雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題答案充分不必要 1當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其它三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其它三種命題時，應(yīng)把其中一個(或幾個)作為大前提2數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題與定理是有區(qū)別的；命題有真假之分，而定理都是真的3命題的充要關(guān)系的判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假(2)等價法：利用AB與綈B綈A，BA與綈A綈B，AB與綈B綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若AB，

15、則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件 反思感悟 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵【自主體驗】1(2013山東卷改編)給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的_條件答案充分不必要 2已知命題p：x22x30；命題q：xa，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是_1，)；(，1；1，)；(，3解析由x22x30，得x3或x1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可

16、知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件故a1.答案 第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 1簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞命題中的“ ”、“ ”、“ ”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)命題pq，pq，綈p的真假判斷且或非真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真綈ppqpqqp2. 全稱量詞與存在量詞(1)“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，用符號“x”表示“對任意x”，含 有 的命題，稱為全稱命題全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為： (2)“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞用符號“x”

17、表示“存在x”，含有存在量詞的命題稱為 存在性命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可以用符號簡記為： 全稱量詞 xM，p(x) 存在性命題 xM，p(x) 3含有一個量詞的命題的否定xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)命題的否定命題辨 析 感 悟1邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解與應(yīng)用(1)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個假命題()(2)命題pq為假命題的充要條件是命題p，q至少有一個假命題()2對命題的否定形式的理解(3)(2013山西四校聯(lián)考改編)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”()(4)(2013東北聯(lián)考改編)命題p：n0N,2n01

18、 000， 則綈p：n N,2n1 000. ()(5)(2013四川卷改編)設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題p：xA,2xB，則綈p：xA,2xB.()(6)已知命題p：若xy0，則x，y中至少有一個大于0，則綈p：若xy0，則x，y中至多有一個大于0.()感悟提升1一個區(qū)別邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”是有區(qū)別的，前者包括“或此、或彼、或兼”三種情形，后者僅表示“或此、或彼”兩種情形有的含有“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)詞的命題，從字面上看不一定有“且”“或”“非”等字樣，這就需要我們掌握一些詞語、符號或式子與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的關(guān)系如“并且”、“綉”的含義為“且”；

19、“或者”、“”的含義為“或”；“不是”、“”的含義為“非”2兩個防范一是混淆命題的否定與否命題的概念導(dǎo)致失誤，綈p指的是命題的否定，只需否定結(jié)論如(5)、(6)；二是否定時，有關(guān)的否定詞否定不當(dāng)，如(6)答案假假 規(guī)律方法 若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”一真即真，“且”一假即假，“非”真假相對，做出判斷即可【訓(xùn)練1】 (2013湖北卷改編)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為_(綈p)(綈q)；p(綈q)；(綈p)(綈q

20、)；pq解析命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包含以下三種情況：“甲、乙均沒有降落在指定范圍”“甲降落在指定范圍，乙沒有降落在指定范圍”“乙降落在指定范圍，甲沒有降落在指定范圍”或者，命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”等價于命題“甲、乙均降落在指定范圍”的否命題，即“pq”的否定答案規(guī)律方法 對含有存在(全稱)量詞的命題進行否定需兩步操作：(1)將存在(全稱)量詞改寫成全稱(存在)量詞；(2)將結(jié)論加以否定這類問題常見的錯誤是沒有變換量詞，或者對于結(jié)論沒給予否定有些命題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞【訓(xùn)練2】 (1)(2013江門、佛山模擬)已知命題p：x1，x210，那么

21、綈p是_(2)命題：“對任意k0，方程x2xk0有實根”的否定是_解析(1)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：x1，x210.(2)將“任意”改為“存在”，“有實根”改為“無實根”，所以原命題的否定為“存在k0，使方程x2xk0無實根”答案(1)x1，x210(2)存在k0，使方程x2xk0無實根答案p2，p4 規(guī)律方法 對于存在性命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立，對于全稱命題的判斷，必須對任意元素證明這個命題為真，而只要找到一個特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立. 答案 1邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題2正確區(qū)別命題的否定與否命題“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得的命題，它既否定其