坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考綜合試題(含答案)

1、 # 4/2X = m + t 2坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.【全國I卷2019屆高三五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為(/為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極釉建立極坐標(biāo)系，橢圓。的極坐標(biāo)方程為p2cos2+ 30也全=48,其左焦點(diǎn)/在直線/上.(1)若直線/與橢圓C交于4 B兩點(diǎn),求|4| 十 |所|的值:(2)求橢圓C的內(nèi)接矩形而積的最大值.【答案】(1) 4喬；(2) 3273 .X = OCQS0【解析】(1)將代入夕2cos汨+30對屋6=48,y = psin8得 F + 3y2 = 48,即土+ 二=1, 48 16因?yàn)?=4816=32,所以E

2、的坐標(biāo)為(一4 J5, 0),又因?yàn)镋在直線/上，所以機(jī)=-4&.五把直線/的參數(shù)方程代入必+3=48,x = -472+ r 2，2化簡得戶一4f-8=0,所以八十/2=4，也=-8,所以|4| +1尸刎=,一川=儲+，2)2_4仙=716 + 4x8 = 4百.(2)由橢圓C的方程三十二=1 ,可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4jJcos6 , 48 167F4sin6) ( 08 v )，2所以內(nèi)接矩形的面積S = 8JJcose. 8sin e = 32JJsin 26 ,當(dāng)。=時，而積S取得最大值32JI.【名師點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式” 二 c

3、os，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直 y = psinO22）0一二廠+）廣角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式4V ,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形，盡量產(chǎn)生夕 pcosB ,tan 0 =, xpsinC以便轉(zhuǎn)化.另一方面，當(dāng)動點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動變化時，我們可以用一個參數(shù)8來表示動點(diǎn)坐標(biāo),從而利用一元函數(shù)求與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題.2.【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為x = -l + /cosa.（f為參數(shù)，OV2V7C）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸正半軸為極軸，取相同的長度 y = 1 + / sin a4單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為02=彳總.（1）

4、當(dāng)。=色時，寫出直線/的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程: 6（2）己知點(diǎn)（一1,1）,設(shè)直線/與曲線C交于A, B兩點(diǎn),試確定歸山歸3的取值范圍.【答案】（1）x-揚(yáng)，+ 1 + 6 = 0,亍+5=1： （2）“一1+與2,1y = 1 + /2【解析】（1）當(dāng)=!時，直線/的參數(shù)方程為 6.兀x = -l+/cos ,6=,兀y = 1 + fsm 6消去參數(shù)，得x 6.V + l + g = 0.由曲線C的極坐標(biāo)方程為p2 = 一土=，得p1 + （2sin6=4 , 1+siiT。將x2 + y2=p2,及），= 0sin6代入得爐+2），2 =4,即:+ f_ = l： 乙（2）由直

5、線/的參數(shù)方程為x = -l + /cosa,V = l + /sinz一（/為參數(shù)，0 V。V7T ）,可知直線/是過點(diǎn)尸（-1, 1）且傾斜角為。的直線, 35 又由（1）知曲線。為橢圓上+上=1 ,所以易知點(diǎn)P （T, 1）在橢圓。內(nèi)， 42-x = -l+fcosa, , X1 V2將代入一+ 2_ = i中，整理得y = + t sin a 42（l + sin2a）r +2（2sina-cosa）/-l = 0,設(shè)A, 8兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，心，則/心=二一，1 -1 + sin-a所以|PA|.|P回寸業(yè)=總分，因?yàn)?2O）；直線.2 +叵/的參數(shù)方程為 L （/為參數(shù)）.直線

6、/與曲線。分別交于M, N兩點(diǎn).，憶? 2（1）寫出曲線。的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程；（2）若點(diǎn)尸的極坐標(biāo)為（2, n）,PM+PN=5y/2 ,求a的值.【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（X 4）-+（），一1）-=/+1，直線/的普通方程為y = x + 2.（2） a = 2.【解析】（1）由2=2sin8 + 2cose（4 0）,得夕？ =2psin6+2xxose（。0）,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為/ + y2 = 2y + 2ax,即（x a+（y - l=/ + ,直線/的普通方程為y = x + 2.x = 2 +立人（2）將直線/的參數(shù)方程,- 2 代入/ +

7、/=2，+ 26并化簡、整理，也y =tI 2得產(chǎn)卜夜+展,/ + 4。+ 4 = 0.因?yàn)橹本€/與曲線。交于M, N兩點(diǎn).所以4 =（3點(diǎn)+”一4（4 + 4）0,解得awl.由根與系數(shù)的關(guān)系，得乙+/2=3& +展/, f/2=/+4.因?yàn)辄c(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為（一2,0），在直線/上.所以歸M + |/W| = ,+3 = 3J5+J2，= 5J5，解得 =2,此時滿足0.且W1,故“ = 2.【名師點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者己知恒等式（如cos2a+sin22 = l等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式 ） ，x = pcosOy

8、 = psind廠+ ）廣=p-V等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲=tan 0線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題.4.【河南省豫南九校（中原名校）2017屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評八數(shù)學(xué)】己知直線/的參數(shù)方程為T + y = 3 + 2/（，為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為02。-168$8 = 0,直線/與曲線。交于人、8兩點(diǎn)，點(diǎn)p（1,3）.1）求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程：求向贏的值.【答案】(1) y = 2x + l, y2=16x： (2).【解析】（1）直線,的參數(shù)方程為r=a為參數(shù)），y = 3 + 2/消去參數(shù)，可得直線/的

9、普通方程y = 2x + l,曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 psin28-16cos。=。，即 p2sin2 -16pcos0 = 0 ,曲線C的直角坐標(biāo)方程為V = 16%，/5 r 八fc35代入 廠=16x1 7 = 0, /+/ = J5,，八=,11 _|/1-/2|_8/n）網(wǎng)+畫=句=x = pcosO【名師點(diǎn)睛】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，y = psine ,利用這個公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo) 7（?7廠+廠=p-的相互轉(zhuǎn)化.x = 2 + 2cos0（0為參數(shù)），以。為極點(diǎn)，x軸的非 V = 2sin5.【河南省開封市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系xQv

10、中，直線/的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程是 y = / +1負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線/和曲線C的極坐標(biāo)方程：（2）已知射線。尸：？ =a （其中0 -* a =,OP = 2/2 .【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo) 方程之間的轉(zhuǎn)換，三角形而枳公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.【四川省成都rb.第七中學(xué)2019屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系X。，中，曲線。的參數(shù)標(biāo)x = e +e!方程為（其中，為參數(shù)），在以。為極點(diǎn)、“軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)y = c! -e-z系的

11、單位長度相同）中，直線/的極坐標(biāo)方程為psing ej = JI.（1）求曲線。的極坐標(biāo)方程；（2）求直線/與曲線C的公共點(diǎn)P的極坐標(biāo).【答案】（1）=（2） 看【解析】（1）消去參數(shù)小得曲線C的直角坐標(biāo)方程/一丁 =4（1之2）.將x = pcos6, y = sin6代入/ -y2 =4 ,得（cos泊一sin? 8）= 4 .所以曲線C的極坐標(biāo)方程為02cos28 = 4一28,.（2）將/與C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去。得4面2仁一。）=2/512狙8 + 1 = 0.于是方程的解為tan6 = ，即。=工 36代入psin| g e j = 可得夕=2點(diǎn)，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2親.【名師

12、點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線的極坐標(biāo)方程與曲線極坐標(biāo)方程聯(lián) 立求交點(diǎn)的問題，考查計算能力.【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系X0V中，x = 2t以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，己知直線/的參數(shù)方程為個 （/為y = 2 + t參數(shù)），曲線。的極坐標(biāo)方程為pcos2e = 8sine.（1）求曲線。的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線；（2）若直線/與曲線C的交點(diǎn)分別為M, N ,求|MV|.【答案】（1）曲線C方程為/=8y,表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,對稱軸為 軸的拋物線；（2） 10.【解析

13、】（1）因?yàn)橄?cos2 I = 8sin8 ,所以2 2cos* 6 = 8psin6 , RP x2 = 8_y ,所以曲線C表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,對稱軸為y軸的拋物線.（2）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)汽（,當(dāng)）直線I過拋物線的焦點(diǎn)（0,2）,則直線參數(shù)方程為=2 + /化為一般方程為=$ + 2 ,代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得/_4_16 = 0，所以公 +x2 =4,x,x2 =-16所以|MN| = yl（-x2）2 +（yl-y2）2 = Jl + 所一百、=J1 +J,（芯+/）2 43/= / + （；） J（4-4x（76） = 10.【名師點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)

14、方程化一般方程，弦長公式等，屬于 簡單題.【河北省石家莊市. 2018屆高中畢業(yè)班模擬考試（二）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的方程為Y+y2=4,直線/的參數(shù)方程L L （/為參數(shù)），若將曲線G上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變， y = 3V3 + R TOC o 1-5 h z 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩叮们€g. 2一（1）寫出曲線a的參數(shù)方程:（2）設(shè)點(diǎn)R 2,3。），直線/與曲線C,的兩個交點(diǎn)分別為4 B,求的值.陷x = 2cos61【答案】（1）（6為參數(shù)）：（2）-y = 3sin923【解析】（1）若將曲線G上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼亩?2則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為/ +（）,）2 = 4，整理得:- it =1，x = 2cos6，曲線G的參數(shù)方程 、八（8為參數(shù)）.（2）將直線/的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為（，為參數(shù)），22將參數(shù)方程帶入t +2 =1得49（一2 ;）2 （36+當(dāng)/）2乙