2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷保溫?cái)?shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 22 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 22 頁(yè)2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷保溫?cái)?shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若復(fù)數(shù)z滿足其中i為虛數(shù)單位，則z=A1+2iB12iCD【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，則，故，則，選B.【解析】注意共軛復(fù)數(shù)的概念【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，復(fù)數(shù)題目往往不難，有時(shí)對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等進(jìn)行綜合考查，也是考生必定得分的題目之一.2已知集合，則集合的元素個(gè)

2、數(shù)為ABCD【答案】B【詳解】由題意得,所以集合共7個(gè)元素.故選B.3在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）ABCD【答案】B【分析】計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 ，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直

3、線上有三個(gè)不同的點(diǎn)， ，其中點(diǎn) ，在拋物線上，點(diǎn) 在軸上，則 與的面積之比是ABCD【答案】A【詳解】，故選A.【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)5北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A26%B34%C42%D50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和

4、球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.6在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為ABCD【答案】C【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過(guò)點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化7若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的

5、幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.8設(shè)函數(shù)，其中，.若，且的最小正周期大于，則A，B，C，D，【答案】A【詳解】由題意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故選A【解析】求三角函數(shù)的解析式【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問(wèn)題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用

6、最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫(huà)出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.9(+)(2-)5的展開(kāi)式中33的系數(shù)為A-80B-40C40D80【答案】C【詳解】， 由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)

7、為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解.10已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF=90，則球O的體積為ABCD【答案】D【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，又，分別為、中點(diǎn)，又，平面，平面，為正方體一部分，即 ，故選D解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，為中點(diǎn)，

8、又，兩兩垂直，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決11已知雙曲線的焦點(diǎn)在，過(guò)點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為MN兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過(guò)點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（）ABCD【答案】C【分析】由題意知，即中，進(jìn)而求出，又中可求，可得漸近線的傾斜角大小，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題意，可得如下示意圖：其中，知：，又，即且，中，有，得，在中，若與x軸夾角為，即，由，即可得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用線段的比例關(guān)系，以及垂直關(guān)系求兩漸近線的夾角大小，進(jìn)

9、而根據(jù)漸近線的斜率求參數(shù)a、b的數(shù)量關(guān)系，即可求離心率.12已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為ABCD【答案】A【分析】設(shè)，得，變形為，令，求導(dǎo)求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設(shè)，則，令，(m)=m0,m1,(m)0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，,故x+y=2故選A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值問(wèn)題，換元思想，將題目轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題是關(guān)鍵，是難題二、填空題13已知， 是互相垂直的單位向量，若與的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_【答案】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出的值【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（

10、0，1），則（，1），（1，）；又夾角為60，（）（）2cos60，即，解得【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題14若x，y滿足約束條件則z=x2y的最小值為_(kāi).【答案】【詳解】試題分析：由得，記為點(diǎn)；由得，記為點(diǎn)；由得，記為點(diǎn).分別將A，B，C的坐標(biāo)代入，得，所以的最小值為【解析】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；（2）考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；（3）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值

11、15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則PAB面積的最大值是_【答案】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令（負(fù)值舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、雙空題16甲、乙兩人在每次猜謎語(yǔ)活動(dòng)中，各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)一方獲勝，否則本次平局.已知每次活動(dòng)中，甲乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲，乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為

12、_三次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為_(kāi).【答案】 【分析】根據(jù)甲猜對(duì)乙沒(méi)有猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率；在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.【詳解】由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.四、解答題17為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺

13、寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.（）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，.【答案】（1），（2）（）見(jiàn)詳解；

14、（）需要. ,【分析】（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.【詳解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出

15、現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬中檔題.18已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E

16、，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn) （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）方法一：幾何法因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以平面又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則又因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以平面又因?yàn)槠矫妫?方法二 【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵?/p>

17、三棱柱，底面，又，平面所以兩兩垂直以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由題設(shè)（）因?yàn)?，所以，所?方法三：因?yàn)?，所以，故，所以，所以?）方法一【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為所以，此時(shí) 方法二 ：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G由得又，即，所以又，即，所以所以則，所以，當(dāng)時(shí)，方法三：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則設(shè)，在

18、中，在中，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q在中，在中，由余弦定理得，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所

19、成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維19已知等比數(shù)列的公比，且.是的等差中項(xiàng).數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，整理結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求解；（2）根據(jù)可得，利用累加法和錯(cuò)位相減法計(jì)算整理【詳解】(1)由題意可得，可得，即解得，即(2)由（1）可得：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則令，則兩式相減得：，則20已知橢圓一個(gè)頂 點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同

20、的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|15時(shí)，求k的取值范圍【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.21已知函數(shù).(1)求證：；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）的最大值為，的最小值為1.【詳解】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價(jià)于“”，“”等價(jià)于“”，令，則，對(duì)分；進(jìn)行討論，用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)的最大值與的最小值.（1）由得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)