新必修二 8.4.1 平面 (教案+習(xí)題)含答案

1、 8.4.1平面(含答案)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述；理解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.重點(diǎn)掌握平面的基本性質(zhì).能利用平面的性質(zhì)解決有關(guān)問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平面的基本概念平面的概念：“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的.要點(diǎn)詮釋：“平面”是平的(這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù))；“平面”無厚薄之分；“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù).平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面.要點(diǎn)詮釋：表示平面的平行四

2、邊形，通常把它的銳角畫成45，橫邊長是其鄰邊的兩倍；(2)兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3.平面的表示法:用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面a、平面0、平面Y等；用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD；(3)用表示平面的平行四邊形的相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面AC或者平面BD；點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形語言符號(hào)語言文字語言(讀法)AaAea點(diǎn)A在直線a上AaA纟a點(diǎn)A不在直線a上*Aea點(diǎn)A在平面a內(nèi)*A*/7A電a點(diǎn)A不在平面a內(nèi).：aaHb=A直線a、b交于A點(diǎn)，/

3、aua直線a在平面a內(nèi)*a，血/ana=0直線a與平面a無公共點(diǎn)*a込Aana=A直線a與平面a父于點(diǎn)A*anB=l平面a、B相交于直線l要點(diǎn)二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)基本事實(shí)1:文字語言表述：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；也可以簡單說成：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。符號(hào)語言表述：A、B、C三點(diǎn)不共線=有且只有一個(gè)平面a，使得Aea，Bea，Cea；圖形語言表述：要點(diǎn)詮釋：基本事實(shí)1的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù).它還可用來證明“兩個(gè)平面重合”特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件.“有且只有

4、一個(gè)”的含義可以分開來理解.“有”是說明“存在”，“只有一個(gè)”說明“唯一”所以“有且只有一個(gè)”也可以說成“存在”并且“唯一”與確定同義.基本事實(shí)2：文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；符號(hào)語言表述：Ael，Bel，Aea，Beanlua；圖形語言表述：要點(diǎn)詮釋：基本事實(shí)2是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”基本事實(shí)3：文字語言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線；符號(hào)語言表述：！三二一工=二一F=且二(

5、3)圖形語言表述:要點(diǎn)詮釋：基本事實(shí)3的作用是判定兩個(gè)平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù).推論：利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可以得到以下三個(gè)結(jié)論：過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.(2)作用：確定一個(gè)平面的依據(jù).要點(diǎn)三、證明點(diǎn)線共面所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題.證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：(1)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(基本事實(shí)2)；經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(基本事實(shí)1及推論).證明點(diǎn)線共面的常用方法：(1

6、)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面B,最后證明平面a、B重合；(3)反證法.具體操作方法：證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)(不共線的三點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；證明空間幾條直線共面問題可先取兩條(相交或平行)直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi).要點(diǎn)四、證明三點(diǎn)共線問題所謂點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上.證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線也就說一個(gè)點(diǎn)若

7、是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上.對(duì)于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上.證明三點(diǎn)共線的常用方法方法1：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).根據(jù)基本事實(shí)3知，這些點(diǎn)都在交線上.方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上.要點(diǎn)五、證明三線共點(diǎn)問題所謂線共點(diǎn)問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)1證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是基本事實(shí)32證明三線共點(diǎn)的思路：先證兩條直線交于一

8、點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題【經(jīng)典例題】類型一、平面的概念及其表示例1下面的說法中正確的是（）平行四邊形是一個(gè)平面B.任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面C.平靜的太平洋面就是一個(gè)平面D.圓和平行四邊形都可以表示平面【總結(jié)升華】平面與平面圖形既有區(qū)別又有聯(lián)系平面沒有角度、絕對(duì)平展、無邊界，是一種理想的圖形平面可以用三角形、正方形、梯形、圓等平面圖形來表示但平面圖形如三角形、正方形、梯形等，它們是有大小之分的，不能說三角形、正方形、梯形等是平面舉一反三：【變式1】下列命題：（1）書桌面是平面；（2）8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚；（3）有一個(gè)平面的長是50m,寬

9、是20m；（4）平面是絕對(duì)的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4例2.平面a內(nèi)的直線a、b相交于點(diǎn)P,用符號(hào)語言概述為“anb=P，且Pa”，是否正確？【總結(jié)升華】用符號(hào)語言來敘述時(shí)，必須交代清楚所有元素的位置關(guān)系，不能有半點(diǎn)遺漏立體幾何中的三種語言（文字語言、符號(hào)語言、圖形語言組成立體幾何語言，我們必須準(zhǔn)確地把握它們.其中文字語言比較自然、生動(dòng)，能將問題研究的對(duì)象的含義更明確地?cái)⑹龀鰜?圖形語言給人以清晰的視覺形象，有助于空間想象力的培養(yǎng)；而符號(hào)語言更精練、簡潔.三種語言的互譯有助于我們?cè)诟鼜V闊的思維領(lǐng)域里尋找解決問題的途徑，有利于對(duì)思維廣闊性的

10、培養(yǎng).舉一反三：【變式1】根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：（1）Aa,Ba；（2）lua,mna=A,A電l；（3）PGl,P纟a,qgl,qga.類型二、平面的確定例3判斷下列說法是否正確,并說明理由：（1）一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面；（2）經(jīng)過一點(diǎn)的兩條相交直線確定一個(gè)平面（3）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；（4）首尾依次相接的4條線段在同一平面內(nèi)【總結(jié)升華】基本事實(shí)1及3個(gè)推論都是確定平面的依據(jù)，對(duì)涉及這方面的應(yīng)用問題，務(wù)必分清它們的條件.立體幾何研究的對(duì)象是空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，要有一定的空間想象能力.對(duì)于問題中的點(diǎn)、線，要注意它們各種不

11、同的位置關(guān)系，以及由此產(chǎn)生的不同結(jié)果.例4.在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的是()兩兩相交的三條直線B.三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C.三個(gè)點(diǎn)D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)【總結(jié)升華】要準(zhǔn)確理解“確定”的含義，即為“有且只有”其包含存在性和唯一性兩個(gè)方面.解題時(shí)結(jié)合空間幾何體來考慮會(huì)更直觀、快速.類型三、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用例5.如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；設(shè)正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O、O,則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO；由點(diǎn)A、O、C可以確定一

12、個(gè)平面；由點(diǎn)A、B1確定的平面為ADC1B1；由點(diǎn)A、CB1確定的平面與由點(diǎn)A、CD確定的平面是同一個(gè)平面.例6.已知直線ab,直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個(gè)平面.【總結(jié)升華】在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來證明：納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)確定一個(gè)平面的方法：直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條平行線確定一個(gè)平面；兩條相交直線確定一個(gè)平面.重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.舉一反三：【變式】(1)空間兩兩相交的四條直線能確定幾個(gè)平面？證明空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).例7.

13、如下圖，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面a內(nèi)，它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面a于點(diǎn)P、Q、R.求證：P、Q、R在同一條直線上.求證:【總結(jié)升華】多點(diǎn)共線中的這條線一定是兩個(gè)平面的交線，因此這類問題實(shí)際為兩平面的相交問題.舉一反三:【變式1】已知E,F,G,H分別是空間四邊形各邊AB,AD,BC,CD上的點(diǎn),P.求證：B,D,P在同一直線上.例&如下圖，在三棱錐S-ABC的邊SA、SC、AB、EF、GH、AC三條直線交于一點(diǎn).舉一反三:【變式1】如下圖，已知空間四邊形ABCD（即四個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形）中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且CFCB

14、CGCD求證：直線EF、GH、AC相交于一點(diǎn).【鞏固練習(xí)】1.“直線a經(jīng)過平面a外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為（）A.Pea,a/aB.aHa=pC.Pea,PgaD.Pea,aua經(jīng)過同一條直線上的3個(gè)點(diǎn)的平面（）.A.有且只有一個(gè)B.有且只有3個(gè)C.有無數(shù)個(gè)D.不存在下列說法正確的是（）空間四邊形的對(duì)角線可能相交四個(gè)角都是直角的四邊形一定是平面圖形兩兩相交的三條直線一定共面在空間的四點(diǎn)，若無三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)一定不共面空間四點(diǎn)A，B，C，D共面而不共線，那么這四點(diǎn)中（）.A.必有三點(diǎn)共線B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線D.不可能有三點(diǎn)共線若三個(gè)平面把空間分成6個(gè)部分，那么這三個(gè)平面的位置關(guān)系是

15、（）三個(gè)平面共線有兩個(gè)平面平行且都與第三個(gè)平面相交三個(gè)平面共線，或兩個(gè)平面平行且都與第三個(gè)平面相交三個(gè)平面兩兩相交.平面a與平面0相交于直線l，直線aua，直線bu0，aHb=M，則Ml.8.在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,BC,CD,DA上，若直線EH與FG相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P與直線BD的關(guān)系是.經(jīng)過一點(diǎn)可作個(gè)平面，經(jīng)過兩點(diǎn)可作個(gè)平面，經(jīng)過三點(diǎn)可作個(gè)平面.有不共面的四點(diǎn)，經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)可作個(gè)平面.三個(gè)平面把空間分成7部分時(shí)它們的交線有條.畫一個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1，再畫出平面ACD1與平面BDC1的交線，并且說明理由.12.如圖，已知nP=EF,Aea面ABC分

16、別與a,卩的交線.C,Bep，BC與ef相交，在圖中畫出平13.三個(gè)平面a，P，Y兩兩相交于三條直線，即anP=c，YnP=a，Yna=b，已知直線a和b不平行.求證：a、b、c三條直線必過同一點(diǎn).8.4.1平面答案【經(jīng)典例題】類型一、平面的概念及其表示例1.【答案】D舉一反三：【變式1【答案】A(1)說桌面可以看作平面，但不是平面。只有(4)正確例2.【答案】不正確【解析】不正確.應(yīng)表示為：aua,bua,且aQb=P.相交于點(diǎn)P的直線a、b都在平面a內(nèi)，也可以說，平面a經(jīng)過相交于點(diǎn)P的直線a、b.題中的符號(hào)語言只描述了直線a、b交于點(diǎn)P,點(diǎn)P在平面a內(nèi)，而沒有描述直線a、b也都在平面內(nèi)，下

17、圖也是題中的符號(hào)語言所表示的情形.舉一反三：【變式1】根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)Awa,Ba；(2)lua，mna=A，A電l；(3)PWl，p纟a，qgl，qwa.【解析(1)點(diǎn)A在平面a內(nèi)，點(diǎn)B不在平面a內(nèi)；直線l在平面a內(nèi)，直線m與平面a相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上;直線l經(jīng)過平面a外一點(diǎn)p和平面a內(nèi)一點(diǎn)Q.圖形分別如下圖(1)、(2)、(3)所示.類型二、平面的確定例3.【答案】不正確正確不正確不正確【解析(1)不正確如果點(diǎn)在直線上，可以確定無數(shù)個(gè)平面；如果點(diǎn)不在直線上，在已知直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，由基本事實(shí)1知，有且只有一個(gè)平面，

18、或直接由公理的推論1知，有且只有一個(gè)平面.正確.經(jīng)過同一點(diǎn)的兩條直線是相交直線，由公理的推論2知，有且只有一個(gè)平面.不正確.3條直線可能交于同一點(diǎn)，也可能有三個(gè)不同交點(diǎn)，如下圖(1)、(2)所示.前者，由公理的推論2知.可以確定1個(gè)或3個(gè)平面；后者，由公理的推論2及公理1知，能確定一個(gè)平面.不正確.四邊形中三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，而第4點(diǎn)不一定在此平面內(nèi)，如上圖(3)，因此這4條線段不一定在同一平面內(nèi).例4.【答案】D【解析】A中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個(gè)點(diǎn)，也可能不交于同一個(gè)點(diǎn)，若交于同一個(gè)點(diǎn)，則三條直線不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，故排除A；B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外

19、兩條直線不共面時(shí)，則三條直線不能確定一個(gè)平面，故排除B；對(duì)于C來說，三個(gè)點(diǎn)的位置可能不在同一直線上，也可能在同一直線上，只有前者才能確定一個(gè)平面,因此排除C；只有選項(xiàng)D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，因而其三個(gè)交點(diǎn)不在同一條直線上，由公理2知其確定一個(gè)平面.所以應(yīng)選D.類型三、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用例5.【解析(1)錯(cuò)誤因?yàn)辄c(diǎn)A電平面CCBB,所以AC不在平面CCBB內(nèi).正確.因?yàn)辄c(diǎn)OW直線AC,直線ACu平面AAC1C，所以點(diǎn)0丘平面AACC.同理，點(diǎn)O占平面AAC1C，所以直線OOu平面AAC1C.同理，直線OOu平面BBDD.故OO為平面AACC與平面BB1D1D的交線.錯(cuò)誤.因

20、為點(diǎn)A、O、C在同一直線上，故不能確定一個(gè)平面正確.因?yàn)辄c(diǎn)A、C、B1不共線，故可確定一個(gè)平面，又ADBC，所以點(diǎn)DW平面AB1C1，故由點(diǎn)A、q、B1確定的平面為ADC1B1.正確.因?yàn)辄c(diǎn)ACB確定的平面為平面ADC1B1，而由點(diǎn)A、C、D確定的平面也是平面ADC1B1，故它們確定的是同一個(gè)平面.【總結(jié)升華】正確地運(yùn)用三個(gè)公理和有關(guān)概念的推理是解決此類題目的依據(jù).例6.已知直線ab,直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個(gè)平面.證明：證法一：如下圖所示.由已知ab,所以過a,b有且只有一個(gè)平面a.設(shè)anl=A,bnl=B，AAG，BEa，且AGl,BEl,lua.即過a,b,l有

21、且只有一個(gè)平面.證法二：由已知可設(shè)anl=A,bnl=BVanl=A,.過l與a有且只有一個(gè)平面P.ab,.過a,b有且只有一個(gè)平面a,；.BGa,beP,aua,auP.又B纟a,平面a與P重合.即ab,anl=A,bnl=Bn過a,b,l有且只有一個(gè)平面.【總結(jié)升華】在證明多線共面時(shí)，可用下面的兩種方法來證明：納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)確定一個(gè)平面的方法：直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條平行線確定一個(gè)平面；兩條相交直線確定一個(gè)平面.重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.舉一反三：【變式】【答案】（1）1或6；（

22、2）略【解析（1）當(dāng)四條直線相交于1點(diǎn)時(shí)，有1或6個(gè)平面。當(dāng)四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交參考（2）問，有1個(gè)平面。（2）分兩種情形，有三條交于一個(gè)點(diǎn)，沒有三條交于一個(gè)點(diǎn).已知：直線AB、BC、CD、DA兩兩相交,CD、DA共面.證明：如圖（左），AB、BC、CD、DA兩兩相交，且無三條直線相交于一點(diǎn).設(shè)AD、BC交于點(diǎn)M，AB、CD交于點(diǎn)N.AB、CD確定一個(gè)平面a.又.CeCD，BeAB，DeCD，AeAB.A、B、C、DEa.由基本事實(shí)2，知AD、BCEa.故AB、BC、CD、DA四條直線共面.如圖（右），AB、BC、CD、DA兩兩相交，且有三直線交于一點(diǎn)D.ABnCD=C.AB、CD確定一個(gè)

23、平面B.又AeAB，DeCD，.A、DeB，BeAB，DeCD，:B、DeB.ADuB，BDcB（基本事實(shí)2）.AB、BC、CD、DA四直線共面.例7.如下圖，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面a內(nèi)，它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面a于點(diǎn)P、Q、R.求證：P、Q、R在同一條直線上.證明：由已知AB的延長線交平面a于點(diǎn)P，根據(jù)基本事實(shí)3,平面ABC與平面a必相交于一條直線，設(shè)為L.VPE直線AB，PE平面ABC.又ABna=p，pe平面a，P是平面ABC與平面a的公共點(diǎn).平面ABCna=l，apel，同理，QEl，REl.點(diǎn)p、Q、R在同一條直線l上.【總結(jié)升華】多點(diǎn)共線中的這條線一定是兩個(gè)平面的交線，因此這類問題實(shí)際為兩平面的相交問題.舉一反三:【變式1】已知E,F,G,H分別是空間四邊形各邊AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)，且直線EF與GH交于點(diǎn)P.求證：B，D，P在同一直線上.【解析】PeEFGHPeEFnPe平面ABDPeGHnPe平面BCDnPe平面ABDD平面BCD=BDnPeBD例8.如下圖，在三棱錐S-ABC的邊SA、SC、AB、BC上分別取點(diǎn)E、F、G、H，若EFnGH=P，求證:EF、GH、AC三條直線交于一點(diǎn).證明：VEESA，SAu平面SAC，F(xiàn)ESC，SCu平面SAC，.EFu平面SAC.VGEAB，ABu平面ABC，HEBC，BCu平面