高中數(shù)學(xué)選修1-2配人教A版-課后習(xí)題Word版第二章測(cè)評(píng)

1、第二章測(cè)評(píng)(時(shí)間120分鐘,滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí),下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B.假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù)D.假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù)解析根據(jù)反證法的概念,假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定,所以用反證法證明命題:“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí),假設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)”,故選B.答案B2.在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形

2、ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則S1S2=14,推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則V1V2=()A.18B.19C.164D.127解析正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13,故V1V2=127.故選D.答案D3.觀察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,則52 020的末四位數(shù)字是()A.3125B.5625C.8125D.0625解析55=3 125的末四位數(shù)字為3125;56=15 625的末四位數(shù)字為5625;57=78 125的末四位數(shù)字為8125;58=390 625的末四位數(shù)字為

3、0625;59=1 953 125的末四位數(shù)字為3125根據(jù)末四位數(shù)字的變化,3125,5625,8125,0625即末四位的數(shù)字是以4為周期變化的,2 020是4的倍數(shù),即末四位數(shù)為0625.則52 020的末四位數(shù)字為0625.答案D4.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制,采用數(shù)字09和字母AF共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào),這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:16進(jìn)制0123456789ABCDEF10進(jìn)制0123456789101112131415例如,用十六進(jìn)制表示E+D=1B,則AB等于()A.6EB.72C.5FD.B0解析AB=110=616+14=6E.答案A5.正四面體ABCD

4、的棱AD與平面所成角為,其中00,所以ex1,01ex0,即f(x)0.所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.使用的證明方法是()A.綜合法B.分析法C.反證法D.以上都不是解析從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論,是綜合法.故選A.答案A7.若有一段演繹推理:“大前提:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,都有(na)n=a,小前提:已知a=-2為實(shí)數(shù),結(jié)論:(4-2)4=-2.”這個(gè)結(jié)論顯然錯(cuò)誤,是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤解析對(duì)任意實(shí)數(shù)a,都有(na)n=a,a0,n為偶數(shù)時(shí),顯然不成立,故大前提錯(cuò)誤.故選A.答案A8.已知a是三角形一邊的邊長(zhǎng),h是該邊上的高,則三角形的面

5、積是12ah,如果把扇形的弧長(zhǎng)l,半徑r分別看作三角形的底邊長(zhǎng)和高,可得到扇形的面積為12lr;由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+2n-1=n2,則、兩個(gè)推理依次是()A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理解析由三角形性質(zhì)得到圓的性質(zhì)有相似之處,故推理為類比推理;由特殊到一般,故推理為歸納推理.故選A.答案A9.無(wú)限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù),如:0.1=19,0.2=29,0.3=13,則可歸納出0.45=()A.12B.5110C.120D.511解析由題意,得0.45=0.45+0.004 5+=0.451-0.01=5

6、11.答案D10.莊子天下篇中記述了一個(gè)著名命題:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是()A.1+12+122+12n=2-12nB.1+12+122+12n2C.12+122+12n=1D.12+122+12n1解析據(jù)已知可得,每次截取的長(zhǎng)度構(gòu)成一個(gè)以12為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列,12+122+12n=1-12n1.故反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是12+122+12n1,這與已知a+b+c=1矛盾.假設(shè)a,b,c都小于13,則a+b+c1,這與已知a+b+c=1矛盾,故a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)不小于13.答案1314.在ABC中,若D為BC的中點(diǎn),則有AD=12(AB+A

7、C),將此結(jié)論類比到四面體中,在四面體A-BCD中,若G為BCD的重心,則可得一個(gè)類比結(jié)論:.解析由“ABC”類比“四面體A-BCD”,“中點(diǎn)”類比“重心”,由此可得在四面體A-BCD中,G為BCD的重心,則有AG=13(AB+AC+AD).答案AG=13(AB+AC+AD)15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事, 他們各自都說(shuō)了一句話,而且其中只有一句真話.甲說(shuō):是乙做的.乙說(shuō):不是我做的.丙說(shuō):不是我做的.則做好事的是.(選填“甲”“乙”或“ 丙”)解析假設(shè)甲說(shuō)的是真話,則乙說(shuō)了假話,丙說(shuō)的是真話,與條件不符;假設(shè)乙說(shuō)的是真話,則甲說(shuō)的是假話,丙說(shuō)的也是假話,符合條件;假設(shè)丙說(shuō)的是真話,則

8、甲、乙二人中必有一人說(shuō)的是真話,與條件不符,所以乙說(shuō)的是真話,做好事的是丙.答案丙16.a1=12;a2=13(1-a1)=16;a3=14(1-a1-a2)=112;a4=15(1-a1-a2-a3)=120;照此規(guī)律,當(dāng)nN*時(shí),an=.解析a1=12=112,a2=16=123,a3=112=134,a4=120=145,所以歸納可得an=1n(n+1).答案1n(n+1)三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an2+an(nN*).(1)求a2,a3,a4的值,猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)運(yùn)用(1)中的猜想,寫(xiě)出用三段論

9、證明數(shù)列1an是等差數(shù)列時(shí)的大前提、小前提和結(jié)論.解(1)數(shù)列an中,a1=1,an+1=2an2+an,a2=23,a3=12,a4=25.猜想an=2n+1.(2)在數(shù)列an中,若an+1-an=d,d是常數(shù),則an是等差數(shù)列,大前提1an+11an=12,為常數(shù),小前提所以數(shù)列1an是等差數(shù)列.結(jié)論18.(本小題滿分12分)已知a,b,cR.(1)若|a|1且|b|a+b;(2)由(1),運(yùn)用類比推理,若|a|1且|b|1且|c|a+b+c;(3)由(1)(2),運(yùn)用歸納推理,猜想出一個(gè)更一般性的結(jié)論(不要求證明).(1)證明由ab+1-a-b=(a-1)(b-1)0,得ab+1a+b;

10、(2)證明由(1)得(ab)c+1ab+c,所以abc+2=(ab)c+1+1(ab+c)+1=(ab+1)+ca+b+c;(3)解若|ai|a1+a2+a3+an.19.(本小題滿分12分)設(shè)f()=sinn+cosn,nn|n=2k,kN*(1)分別求f()在n=2,4,6時(shí)的值域;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,對(duì)n=2k(kN*)時(shí),f()的取值范圍作出一個(gè)猜想(只需寫(xiě)出猜想,不必證明).解(1)當(dāng)n=2時(shí),f()=sin2+cos2=1,所以f()的值域?yàn)?;當(dāng)n=4時(shí),f()=sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-12sin22,此時(shí)有12f()1,所以f

11、()的值域?yàn)?2,1;當(dāng)n=6時(shí),f()=sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4+cos4-sin2cos2)=1-3sin2cos2=1-34sin22,此時(shí)有14f()1,所以f()的值域?yàn)?4,1.(2)由以上結(jié)論猜想,當(dāng)n=2k(kN*)時(shí),f()的值域是12k-1,1.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2+1x(x0),若P(x1,y1),Q(x2,y2)(0 x10,使得f(x0)=f(x2)-f(x1)x2-x1,證明:x1x00).又f(x2)-f(x1)x2-x1=(x2-x1)x2+x1-1x1x2x2-x1=x2+x1-1x1x2,所以2x0-1

12、x02=x2+x1-1x1x2.若x0 x2,則2x0 x1+x2,-1x02-1x1x2,所以2x0-1x02x2+x1-1x1x2,與矛盾;若x0 x1,同理可得2x0-1x02x2+x1-1x1x2,與矛盾.綜上,有x1x01,證明:f(m),f(n)至少有一個(gè)不小于零;(2)若a,b為不相等的正實(shí)數(shù),且滿足f(a)=f(b),求證:a+b43.證明(1)假設(shè)f(m)0,f(n)0,即m3-m20,n3-n20,n0,m-10,n-10.0m1,0n1,mn1矛盾,假設(shè)不成立,即f(m),f(n)至少有一個(gè)不小于零.(2)由f(a)=f(b)得a3-a2=b3-b2,a3-b3=a2-b

13、2,(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b),ab,a2+ab+b2=a+b,(a+b)2-(a+b)=aba+b22,34(a+b)2-(a+b)0,解得a+b43.22.(本小題滿分12分)如圖,設(shè)A是由nn個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù),且aij1,-1.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于AS(n,n),記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令l(A)=i=1nri(A)+j=1ncj(A).a11a12a1na21a22a2nan1an2ann(1)對(duì)如下數(shù)表AS(4,4),

14、求l(A)的值;11-1-11-1111-1-11-1-111(2)證明:存在AS(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,n;(3)給定n為奇數(shù),對(duì)于所有的AS(n,n),證明l(A)0.(1)解r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,所以l(A)=i=14ri(A)+j=14cj(A)=0.(2)證明數(shù)表A0中aij=1(i,j=1,2,3,n),顯然l(A0)=2n.將數(shù)表A0中的a11由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A1,顯然l(A1)=2n-4.將數(shù)表A1中的a22由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A2,顯然l(A2)=2n-8.依此類推,將數(shù)表Ak-1中的akk由1變?yōu)?1,得到數(shù)表Ak.即數(shù)表Ak滿足:a11=a22=akk=-1(1kn),其余aij=1.所以r1(A)=r2(A)=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=ck(A)=-1.所以l(Ak)=2(-1)k+(n-k)=2n-4k,其中k=0,1,2,n;【注:數(shù)表Ak不唯一】(3)證明(反證法)假設(shè)存在AS(n,n),其中n為奇數(shù),使得l(A)=0.因?yàn)閞i(A)1,-1,cj(A)1,-1(1in,1jn),所以r1(A