高中數(shù)學(xué)必修4配人教A版-課后習(xí)題Word版第二章測評(píng)

1、第二章測評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.如圖所示,A,B,C是圓O上的三點(diǎn),且三等分圓周,若OC=xOA+yOB,則()A.x=y=-1B.x=y=1C.x=y=12D.x=y=-12解析以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OBDA,已知OC+OD=0,所以O(shè)A+OB=OD=-OC,因此x=y=-1.答案A2.(2018全國高考)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案B3.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則a+b在a上的

2、投影為()A.1B.2C.277D.77解析a+b在a上的投影為(a+b)a|a|=|a|2+ab|a|=1+11=2.答案B4.已知ABD是邊長為2的等邊三角形,且AB+12AD=AC,則|CD|等于()A.32B.3C.323D.23解析設(shè)AD的中點(diǎn)為E,則ABCE是平行四邊形,連接BE,因?yàn)锳BD是邊長為2的等邊三角形,所以|CD|=|BE|=322=3,故選B.答案B5.(2018全國高考)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC解析如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12A

3、B14BC=12AB14(ACAB)=34AB14AC.答案A6.如圖,過點(diǎn)M(1,0)的直線與函數(shù)y=sin x(0 x2)的圖象交于A,B兩點(diǎn),則OM(OA+OB)等于()A.1B.2C.3D.4解析設(shè)N(2,0),由題意知OA+OB=ON,OM(OA+OB)=OMON=(1,0)(2,0)=2.答案B7.設(shè)向量a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值是()A.-2B.-1C.1D.2解析BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三點(diǎn)共線,AB,BD共線.設(shè)AB=BD,則2a+pb=(2a-b).即2=2,

4、p=-.解得=1,p=-1.答案B8.已知ABC是正三角形,若a=AC-AB與向量AC的夾角大于90,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.12B.12D.2解析由已知可得aAC0,即(AC-AB)AC0,因此|AC|2-ABAC0,若設(shè)正三角形ABC邊長為m,則有m2-12m22.答案D9.在ABC中,AB=3,AC=2,若O為ABC內(nèi)部的一點(diǎn),且滿足OA+OB+OC=0,則AOBC=()A.12B.25C.13D.14解析由OA+OB+OC=0可知O為ABC的重心,于是AOBC=13(AB+AC)(ACAB)=13(AC2AB2)=13.答案C10.在ABC中,點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn),M是線段AD的

5、中點(diǎn),若存在實(shí)數(shù)和,使得BM=AB+AC,則+=()A.2B.-2C.12D.-12解析如圖所示,點(diǎn)D在線段BC上,存在tR,使得BD=tBC=t(ACAB),由M是線段AD的中點(diǎn),BM=12(BA+BD)=12(-AB+tAC-tAB)=-12(t+1)AB+13tAC,又BM=AB+AC,所以=-12(t+1),=12t,所以+=-12.答案D11.在ABC中,設(shè)AC2AB2=2AMBC,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過ABC的()A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心解析假設(shè)BC的中點(diǎn)是O,則AC2AB2=(AC+AB)(ACAB)=2AOBC=2AMBC,即(AOAM)BC=MOBC=0,所以MOBC

6、,所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過ABC的外心.答案C12.設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()A.23B.3C.6D.0解析設(shè)S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,若S的表達(dá)式中有0個(gè)ab,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達(dá)式中有2個(gè)ab,則S=a2+b2+2ab,記為S2;若S的表達(dá)式中有4個(gè)ab,則S=4ab,記為S3.又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a

7、b=2(a-b)20,S1-S2=a2+b2-2ab=(a-b)20,S2-S3=(a-b)20,所以S3S2S1,故Smin=S3=4ab.設(shè)a,b的夾角為,則Smin=4ab=8|a|2cos =4|a|2,即cos =12,又0,所以=3.答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量a+b與c共線,則實(shí)數(shù)的值為.解析由題可知a+b=(+2,2),又a+b與c共線,所以-2(+2)-2=0,所以=-1.答案-114.已知向量a=(1,m),b=(3,3),若向量a,b的夾角為3,則實(shí)數(shù)m的值為.解析因?yàn)閍b=

8、3+3m,且ab=231+m2cos3=3(1+m2),所以(3+3m)2=3(1+m2)2,解得m=-33.答案-3315.已知菱形ABCD的邊長為a,DAB=60,EC=2DE,則AEDB的值為.解析EC=2DE,DE=13DC.菱形ABCD的邊長為a,DAB=60,|DA|=|DC|=a,DADC=|DA|DC|cos 120=-12a2.DB=DA+DC,AEDB=(AD+DE)(DA+DC)=AD+13DC(DA+DC)=-DA2+13DC223DADC=-a2+13a2+13a2=-a23.答案-a2316.在四邊形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|BC|BC

9、=3|BD|BD,則四邊形ABCD的面積為.解析由AB=DC=(1,1),可知四邊形ABCD為平行四邊形,且|AB|=|DC|=2,因?yàn)?|AB|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,所以可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分ABC,四邊形ABCD為菱形,其邊長為2,且對(duì)角線BD長等于邊長的3倍,即BD=32=6,則CE2=(2)2-622=12,即CE=22,所以三角形BCD的面積為12622=32,所以四邊形ABCD的面積為232=3.答案3三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)設(shè)a,b的夾角為,求c

10、os 的值;(3)若向量a+kb與a-kb互相垂直,求k的值.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cos =ab|a|b|=1(-3)+211+(-3)222+1=-210.(3)因?yàn)橄蛄縜+kb與a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因?yàn)閍2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=22.18.(本小題滿分12分)設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線.證明AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b

11、+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共線.又它們有公共點(diǎn)B,A,B,D三點(diǎn)共線.19.(本小題滿分12分)設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=7.(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.解(1)設(shè)a與b的夾角為.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,因此9+4-12cos =7,于是cos =12,故 =3,即a與b的夾角為3.(2)|2a+3b|=|2a+3b|2=4|a|2+12ab+9|b|2=4+1212+9=19.20.(本小題滿分12分)如圖,在OAB中,已知P為線段AB上的一點(diǎn),OP

12、=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA與OB的夾角為60時(shí),求OPAB的值.解(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OB+OA,OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,OP=34OA+14OB.x=34,y=14.OPAB=34OA+14OB(OBOA)=14OBOB34OAOA+12OAOB=1422-3442+124212=-9.21.(本小題滿分12分)如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn),AC與BM交于點(diǎn)N,BN=23BM

13、.(1)求證:M是CD的中點(diǎn);(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點(diǎn)B的一動(dòng)點(diǎn),求AHHB的最小值.(1)證明設(shè)CM=mCD,CN=nCA,由題意知BN=23BM=23(BC+CM)=23(BC+mCD)=23BC+23mCD,又BN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)=(1-n)BC+nCD,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.CM=mCD=12CD,即M是CD的中點(diǎn).(2)解AB=2,BC=1,M是CD的中點(diǎn),MB=2,ABM=45,AHHB=(AB+BH)HB=-(AB+BH)BH=-ABBH-|BH|2=-|AB|BH|cos(180-ABH)-|BH|2=|AB|BH|cos 45-|BH|2=2|BH|-|BH|2=-|BH|-222+12,又0|BH|2,當(dāng)|BH|=2,即H與M重合時(shí),AHHB取得最小值,且最小值為0.22.(本小題滿分12分)已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證:(1)BECF;(2)AP=AB.證明如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=OEOB=(1