高考模擬：江蘇省南京市2021屆高三上學期期初學情調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

1、江蘇省南京市2021屆高三上學期期初學情調(diào)研數(shù)學試題20209一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1已知集合A，B，則AB A B C D2已知(34i)z1i，其中i為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)z對應的點位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量，滿足1，2，且，則與的夾角為 A B C D4在平面直角坐標系xOy中，若點P(，0)到雙曲線C：的一條漸近線的距離為6，則雙曲線C的離心率為 A2 B4 C D5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若2bcosC2ac，

2、則角B的取值范圍是 A(0， B(0， C，) D，)6設，則 Aabc Bbac Cacb Dcab7在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：，點B(3，0)，過動點P引圓A的切線，切點為T若PTPB，則動點P的軌跡方程為 A B C D8已知奇函數(shù)的定義域為R，且若當x(0，1時，則的值是A3 B2 C2 D3二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）95G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關聯(lián)效應，間接

3、帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)岀做出預測 由上圖提供的信息可知A運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加B設備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩C設備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領先地位D信息服務商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)岀的差距有逐步拉大的趨勢10將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則A函數(shù)的圖象關于直線對稱B函數(shù)的圖象關于點(，0)對稱C函數(shù)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增D函數(shù)在區(qū)間(0，)上有兩個零點11已知，則A的值為2 B的值為16C的值為5 D的值為12012記函數(shù)與的定義域的交集為I若存在I，使得對任意I，不等式 恒成立，則稱

4、(，)構(gòu)成“M函數(shù)對”下列所給的兩個函數(shù)能構(gòu)成“M函數(shù)對”的有 A， B， C， D，三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分請把答案填寫在答題卡相應位置上）13如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個半徑為r的實心鐵球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，則 14被譽為“數(shù)學之神”之稱的阿基米德（前287前212），是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學 第13題家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基

5、米德三角形在平面直角坐標系心中，已知直線l：y4與拋物線C：交于A，B兩點，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為 15已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且，n，則 ；若2，則 （本題第一空2分，第二空3分）16若不等式對一切xR恒成立，其中a，bR，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的取值范圍是 四、解答題（本大題共6小題，共計70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，設函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值18（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)

6、列，其前n項和為，（1）在，這三個條件中任選一個，補充到上述題干中求數(shù)列的通項公式，并判斷此時數(shù)列是否滿足條件P：任意m，n，均為數(shù)列中的項，說明理由；（2）設數(shù)列滿足，n，求數(shù)列的前n項和注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分19（本小題滿分12分）為調(diào)查某校學生的課外閱讀情況，隨機抽取了該校100名學生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計了他們的課外閱讀達標情況（一個學期中課外閱讀是否達到規(guī)定時間），結(jié)果如下： 是否達標性別不達標達標男生3624女生1030（1）是否有99%的把握認為課外閱讀達標與性別有關?附：P(k)0.0500.0250.0100.0050.001

7、k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用這100名學生中男生和女生課外閱讀“達標”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達標”的概率，且每位學生是否“達標”相互獨立現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人（2男1女），設隨機變量X表示“3人中課外閱讀達標的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學期望20（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，點E在棱PC上，設CECP（1）求證：CDAE；（2）記二面角CAED的平面角為，且，求實數(shù)的值21（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（1）設橢圓C

8、的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，T是橢圓C上的一個動點，求的取值范圍；（2）設A(0，1)，與坐標軸不垂直的直線l交橢圓C于B，D兩點，若ABD是以A為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程22（本小題滿分12分）已知函數(shù)，kR（1）當k2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當0 x1時，恒成立，求k的取值范圍；（3）設n，求證：江蘇省南京市2021屆高三上學期期初考試數(shù)學試題20209一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1已知集合A，B，則AB A B C D答案：C解析：集合A，集合A， 又B，A

9、B，故選C2已知(34i)z1i，其中i為虛數(shù)單位，則在復平面內(nèi)z對應的點位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：B解析：，故在復平面內(nèi)z對應的點為(，)，在第二象限，故選B3已知向量，滿足1，2，且，則與的夾角為 A B C D答案：D解析：， ，故與的夾角為，故選D4在平面直角坐標系xOy中，若點P(，0)到雙曲線C：的一條漸近線的距離為6，則雙曲線C的離心率為 A2 B4 C D答案：A解析：雙曲線C：的一條漸近線為， 則，解得，故選A5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若2bcosC2ac，則角B的取值范圍是 A(0， B(0， C，) D，)答案：A解析

10、：2bcosC2ac，2sinBcosC2sinAsinC，故cosB，0B，故選A6設，則 Aabc Bbac Cacb Dcab答案：C解析：98，3，故，從而有，故選C7在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：，點B(3，0)，過動點P引圓A的切線，切點為T若PTPB，則動點P的軌跡方程為 A B C D答案：C解析：設P(x，y)，PTPB，PT22PB2， ，整理得：，故選C8已知奇函數(shù)的定義域為R，且若當x(0，1時，則的值是A3 B2 C2 D3答案：B解析：根據(jù)奇函數(shù)，滿足，可知函數(shù)的周期為4， ，故選B二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分在每小題給出的四個選項中

11、，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）95G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進而對GDP增長產(chǎn)生直接貢獻，并通過產(chǎn)業(yè)間的關聯(lián)效應，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)岀做出預測 由上圖提供的信息可知A運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加B設備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩C設備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領先地位D信息服務商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)岀的差距有逐步拉大的趨勢答案：ABD解析：從圖表中可以看出2029年、2030年信息服務商在總經(jīng)濟產(chǎn)出中處于領先地位

12、，C錯誤，故選ABD10將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則A函數(shù)的圖象關于直線對稱B函數(shù)的圖象關于點(，0)對稱C函數(shù)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增D函數(shù)在區(qū)間(0，)上有兩個零點答案：ACD解析：可得，當，故A正確；當，故B錯誤；當(，)，(，0)，故C正確；當(0，)，(，)，故D正確故選ACD11已知，則A的值為2 B的值為16C的值為5 D的值為120答案：ABC解析：令x0，得，故A正確；，故，B正確；令x1，得，又，故C正確；令x1，得，由得：，D錯誤故選ABC12記函數(shù)與的定義域的交集為I若存在I，使得對任意I，不等式 恒成立，則稱(，)構(gòu)成“M函數(shù)對”下列所給的兩個函數(shù)能

13、構(gòu)成“M函數(shù)對”的有 A， B， C， D，答案：AC解析：選項B滿足，故不成立；選項D，存在兩個非零的零點，故不成立故選AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分請把答案填寫在答題卡相應位置上）13如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個半徑為r的實心鐵球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，則 答案：2解析：14被譽為“數(shù)學之神”之稱的阿基米德（前287前212），是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二這個結(jié)論就

14、是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形在平面直角坐標系心中，已知直線l：y4與拋物線C：交于A，B兩點，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為 答案：解析：首先得到弦的兩個端點的坐標分別為(4，4)，(4，4)，其次得在該兩點處的拋物線的切線方程分別為y2x4，y2x4，從而拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積為，故弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為15已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為，且，n，則 ；若2，則 （本題第一空2分，第二空3分）答案：4；220解析：根據(jù)，得，得，故；當2，可得該數(shù)列滿足，且與均為公差為2的等差數(shù)列，即可求得22016若不等式對

15、一切xR恒成立，其中a，bR，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的取值范圍是 答案：(，1解析：令，恒成立，顯然a0， ，則，當a0時，在(，0)遞增，(0，)遞減，符合題意，a0時，在(，)遞減，(，0)遞增，(0，)遞減x，故符合題意，綜上，a0，b1，因此ab(，1四、解答題（本大題共6小題，共計70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分10分）已知向量(2cosx，1)，(sinx，2cos2x)，xR，設函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若a，且，求cos2a的值解：因為 m(2cosx，1)，n(eq r(3)sinx，2cos2x)，所以f

16、(x)mn12eq r(3)sinxcosx2cos2x1 eq r(3)sin2xcos2x2sin(2xeq sdo1(f(,6) （1）Teq F(2,2) （2）由f()eq sdo1(f(8,5)，得sin(2eq sdo1(f(,6)eq F(4,5)由eq sdo1(f(,3)，eq sdo1(f(7,12)，得eq sdo1(f(,2)2eq sdo1(f(,6)，所以cos(2eq sdo1(f(,6)eq R(,1sin2(2eq sdo1(f(,6)eq r(1(eq F(4,5)2)eq sdo1(f(3,5)， 從而 cos2cos(2eq sdo1(f(,6)eq

17、sdo1(f(,6)cos(2eq sdo1(f(,6)coseq sdo1(f(,6)sin(2eq sdo1(f(,6)sineq sdo1(f(,6)eq sdo1(f(3,5)eq sdo1(f(r(3),2)eq sdo1(f(4,5)eq sdo1(f(1,2)eq sdo1(f(43r(3),10)18（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為，（1）在，這三個條件中任選一個，補充到上述題干中求數(shù)列的通項公式，并判斷此時數(shù)列是否滿足條件P：任意m，n，均為數(shù)列中的項，說明理由；（2）設數(shù)列滿足，n，求數(shù)列的前n項和注：在第（1）問中，如果選擇多個條件分別解答，

18、按第一個解答計分解：（1）選 = 1 * GB3 ， 因為S1S32S22， 所以S3S2S2S12，即a3a22， 又數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以4a12a12，解得a11， 因此an12n12n1 此時任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是數(shù)列an的第mn1項， 因此數(shù)列an滿足條件P 選 = 2 * GB3 ， 因為S3eq F(7,3)，即a1a2a3eq F(7,3)， 又數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以a12a14a1eq F(7,3)，解得a1eq F(1,3)， 因此aneq F(1,3)2n1 此時a1a2eq F(2,9)a

19、1an，即a1a2不為數(shù)列an中的項， 因此數(shù)列an不滿足條件P 選 = 3 * GB3 ， 因為a2a34a4， 又數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以2a14a148a1，又a10，故a14， 因此an42n12n1 此時任意m，nN*，aman2m12n12mn2，由于mn1N*，所以aman是為數(shù)列an的第mn1項， 因此數(shù)列an滿足條件P （2）因為數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列， 所以eq F(an1,an)2，因此bnn2n1 所以Tn120221322n2 EQ sup4(n1)，則2Tn121222(n1)2 EQ sup4(n1)n2 EQ sup4(n)，兩式相減得Tn12

20、1222 EQ sup4(n1)n2 EQ sup4(n) EQ F(12n,12)n2 EQ sup4(n) (1n)2 EQ sup4(n)1， 所以Tn(n1)2 EQ sup4(n)119（本小題滿分12分）為調(diào)查某校學生的課外閱讀情況，隨機抽取了該校100名學生（男生60人，女生40人），統(tǒng)計了他們的課外閱讀達標情況（一個學期中課外閱讀是否達到規(guī)定時間），結(jié)果如下： 是否達標性別不達標達標男生3624女生1030（1）是否有99%的把握認為課外閱讀達標與性別有關?附：P(k)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）

21、如果用這100名學生中男生和女生課外閱讀“達標”的頻率分別代替該校男生和女生課外閱讀“達標”的概率，且每位學生是否“達標”相互獨立現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人（2男1女），設隨機變量X表示“3人中課外閱讀達標的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學期望解：（1）假設H0：課外閱讀達標與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表，求得2 eq sdo1(f(100(36302410)2,(3624)(1030)(3610)(2430)eq f(2450,207)11.8366.635，因為當H0成立時，26.635的概率約為0.01，所以有99%以上的把握認為課外閱讀達標與性別有關 （2）記事件A為：從該校男生中隨機抽取1人，課

22、外閱讀達標；事件B為：從該校女生中隨機抽取1人，課外閱讀達標由題意知：P(A)eq f(24,60)eq sdo1(f(2,5)，P(B)eq f(30,40)eq sdo1(f(3,4)隨機變量X的取值可能為0，1，2，3P(X0)(1eq sdo1(f(2,5)2(1eq sdo1(f(3,4)eq sdo1(f(9,100)，P(X1)C eq o(sup 5(1),2)eq sdo1(f(2,5)(1eq sdo1(f(2,5)(1eq sdo1(f(3,4)eq sdo1(f(3,4)(1eq sdo1(f(2,5)2eq sdo1(f(39,100)，P(X2)(eq sdo1(f

23、(2,5)2(1eq sdo1(f(3,4)C eq o(sup 5(1),2)eq sdo1(f(2,5)(1eq sdo1(f(2,5)eq sdo1(f(3,4)eq sdo1(f(2,5)，P(X3)(eq sdo1(f(2,5)2eq sdo1(f(3,4)eq sdo1(f(3,25) 所以隨機變量X的分布列為：X0123Peq sdo1(f(9,100)eq sdo1(f(39,100)eq sdo1(f(2,5)eq sdo1(f(3,25) 期望E(X)0eq sdo1(f(9,100)1eq sdo1(f(39,100)2eq sdo1(f(2,5)3eq sdo1(f(3

24、,25)1.5520（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ADBC，ABBCPA1，AD2，PADDAB90，點E在棱PC上，設CECP（1）求證：CDAE；（2）記二面角CAED的平面角為，且，求實數(shù)的值（1）證明：因為PAD90，所以PAAD因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PA平面PAD，所以PA平面ABCD 又CD平面ABCD，所以CDPA 在四邊形ABCD中，AD/BC，DAB90，所以ABC90，又ABBC1，所以ABC是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC EQ r( ,2)在CAD中，CAD45，AC EQ r( ,2

25、)，AD2，所以CD EQ r( , AC2AD22ACADcosCAD) EQ r( ,2)，從而AC2CD24AD2所以CDAC 又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以CD平面PAC 又AE平面PAC，所以CDAE （2）解：因為PA平面ABCD，BAAD，zxPABCDEy 故以 EQ o(sup7(),AB)， EQ o(sup7(),AD)， EQ o(sup7(),AP)為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系因為ABBCPA1，AD2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，則 EQ o(sup7(),CD)(1，1，0)， EQ o(su

26、p7(),AD)(0，2，0)因為點E在棱PC上，且CECP，所以 EQ o(sup7(),CE) EQ o(sup7(),CP)，設E(x，y，z)，則(x1，y1，z)(1，1，1)，故E(1，1，)，所以 EQ o(sup7(),AE)(1，1，) 由（1）知，CD平面PAC，所以平面ACE的一個法向量為n EQ o(sup7(),CD)(1，1，0)設平面AED的法向量為m(x1，y1，z1)，由 EQ blc(aal (m EQ o(sup7(),AE)0，,m EQ o(sup7(),AD)0，)得 EQ blc(aal (1)x1(1)y1z10，,y10，)令z11，所以平面A

27、ED的一個法向量為m(，0，1)因此 |cos|cos| EQ F(mn,|m|n|)| EQ F(, EQ r( ,2) EQ r( , EQ sup4(2)(1) EQ sup4(2)| EQ F( EQ r( ,10),5)，化簡得3 EQ sup4(2)840，解得 EQ F(2,3)或2因為E在棱PC上，所以0，1，所以 EQ F(2,3)所以當|cos| EQ F( EQ r( ,10),5)時，實數(shù)的值為 EQ F(2,3)21（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（1）設橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，T是橢圓C上的一個動點，求的取值范圍；（2）設A(0

28、，1)，與坐標軸不垂直的直線l交橢圓C于B，D兩點，若ABD是以A為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程解：（1）因為橢圓C：eq f(x2,4)y21，所以F1(eq r(3)，0)，F(xiàn)2(eq r(3)，0)設T(x0，y0)，則 eq o(TF1,dfo1()sup7()eq o(TF2,dfo1()sup7()(eq r(3)x0，y0)(eq r(3)x0，y0)x02y023因為點T(x0，y0)在橢圓C上，即eq f(x02,4)y021，所以eq o(TF1,dfo1()sup7()eq o(TF2,dfo1()sup7()eq sdo1(f(3,4)x022，且x020，

29、4，所以eq o(TF1,dfo1()sup7()eq o(TF2,dfo1()sup7()的取值范圍是2，1（2）因為直線l與坐標軸不垂直，故設直線l方程ykxm (m1，k0)設B(x1，y1)，(x2，y2)由eq blc(aal(ykxm，,eq f(x2,4)y21)得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2eq sdo1(f(8km, 14k2)，x1x2eq sdo1(f(4(m21), 14k2) 因為ABD是以A為直角頂點的等腰直角三角形，所以ABAD，即 eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()0，因此 (y11)( y21)x1x20，即(kx1m1)( kx2m1)x1x20，從而 (1k2) x1x2k(m1