2022-2023學(xué)年北京國子監(jiān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

1、2022-2023學(xué)年北京國子監(jiān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1. 已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是（ ）（A） （B）（C）2 （D）1參考答案：A略2. 對于數(shù)列an，定義H0=為an的“優(yōu)值”現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”H0=2n+1，記數(shù)列an20的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最小值為（）A64B68C70D72參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列的求和【分析】由an的“優(yōu)值”的定義可知a1+2a2+2n1?an=n?2n+1，當(dāng)n2時(shí)，a1+2a2+2n2?an1=（n1）?2n，則求得

2、an=2（n+1），則an20=2n18，由數(shù)列的單調(diào)性可知當(dāng)n=8或9時(shí)，an20的前n項(xiàng)和為Sn，取最小值【解答】解：由題意可知：H0=2n+1，則a1+2a2+2n1?an=n?2n+1，當(dāng)n2時(shí)，a1+2a2+2n2?an1=（n1）?2n，兩式相減得：2n1?an=n?2n+1（n1）?2n，an=2（n+1），當(dāng)n=1時(shí)成立，an20=2n18，當(dāng)an200時(shí)，即n9時(shí)，故當(dāng)n=8或9時(shí)，an20的前n項(xiàng)和為Sn，取最小值，最小值為S8=S9=72，故選D【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題3. 集合= ( ）A B1 C0,1,2

3、D-1,0,1,2 參考答案：C4. 拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A B1C2D3參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】利用拋物線的方程求出p即可得到結(jié)果【解答】解：拋物線y2=2x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：p=1故選：B【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題5. 已知函數(shù)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，且，若，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.參考答案：B因?yàn)榍宜?又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以所以故選B.6. 我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”，

4、如.在不超過30的質(zhì)數(shù)中（0和1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)），隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）A. B. C. D. 參考答案：C【分析】由已知條件找出小于30的所有質(zhì)數(shù)，再在其中找出兩個數(shù)的和等于30的數(shù)對，由古典概型可求得概率.【詳解】小于30的質(zhì)數(shù)有共10個，隨機(jī)選取兩個數(shù)共有種情況，其中兩數(shù)相加等于30的有7和23、11和19、13和17共三種情況，根據(jù)古典概型，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，關(guān)鍵在于找出基本事件總數(shù)及所需求的事件中所包含的基本事件的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7. 如下圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且其體積為. 則該幾何體的俯視圖可以

5、是( ) 參考答案：D略8. 在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 （ ）A B. C. D. 參考答案：C略9. 設(shè)是虛數(shù)單位，則“”是“為純虛數(shù)”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件參考答案：A，若為純虛數(shù)，則，解得：，所以“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件。10. 設(shè)a，b是兩個非零向量則下列命題為真命題的是A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得abD若存在實(shí)數(shù)，使得ab，則|ab|a|b|參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 設(shè)為等差數(shù)列的前

6、項(xiàng)和，若，則 參考答案：略12. 設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，此拋物線的方程為 _ 參考答案：13. 設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則 參考答案：14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y28x+15=0，若直線y=kx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓的位置關(guān)系【分析】由于圓C的方程為（x4）2+y2=1，由題意可知，只需（x4）2+y2=1與直線y=kx2有公共點(diǎn)即可【解答】解：圓C的方程為x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，

7、即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需圓C：（x4）2+y2=4與直線y=kx2有公共點(diǎn)即可設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx2的距離為d，則d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案為：15. 已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n= .參考答案：4，令得：，解得16. 設(shè)P為曲線C：y=x2x+1上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率的范圍是1，3，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是參考答案：，3略17. （09年湖北鄂州5月模擬文）一條光線從點(diǎn)(5，3)射入，與x軸正方向成角，遇x軸后反射，若ta

8、n3，則反射光線所在直線方程是_參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線PF2斜率為，且PF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)為Q，是否存在點(diǎn)，使得若存在，求t的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：(1) (2)見解析【分析】（1）由題可得當(dāng)為的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到、的方程，解方程即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，得到關(guān)于的一元二次方程，表示出根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到的中

9、點(diǎn)坐標(biāo)，要使，則直線為線段的垂直平分線，利用直線垂直的關(guān)系即可得到關(guān)于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范圍。【詳解】解（1）當(dāng)為的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值所以，解得，故橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線方程為，將代入，得；設(shè)，線段的中點(diǎn)為，即因?yàn)?，所以直線為線段的垂直平分線，所以，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?綜上，存在點(diǎn)，使得，且的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷以及基本不等式在解析幾何中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性。19. （12分）（2015?淄博一模）已知函數(shù)f（x）=sinxsin（+x）cos2x（

10、0），其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為（）求的值；（）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）與向量=（3，sinB）共線，求a，b的值參考答案：【考點(diǎn)】： 余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形【分析】： （）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x）1，由其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為，可得最小正周期為T=，即可解得（）由（）可知sin（2C）=1，解得C=，由已知可得b3a=0，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2ab，聯(lián)立方程可解得a，b的值解：（）f（x）=sinxsin（+x）cos2x=s

11、inxcosx=sin2xcos2x1=sin（2x）1其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為最小正周期為T=，=1（）由（）可知：f（x）=sin（2x）1sin（2C）=10C，2C，2C=，即C=由已知可得sinB3sinA=0，在ABC中，由正弦定理可得b3a=0由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，又已知c=7=a2+b2ab由聯(lián)立，可解得：a=1，b=3【點(diǎn)評】： 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查20. 已知函數(shù)f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解關(guān)于x的不等式f（x）+a10（aR）；（2）

12、若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求m的取值范圍參考答案：【考點(diǎn)】： 絕對值不等式的解法；函數(shù)恒成立問題【專題】： 計(jì)算題；壓軸題【分析】： （1）不等式轉(zhuǎn)化為|x2|+|a10，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分類解不等式；（2）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，可轉(zhuǎn)化為不等式|x2|+|x+3|m恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范圍解：（）不等式f（x）+a10即為|x2|+a10，當(dāng)a=1時(shí)，解集為x2，即（，2）（2，+）；當(dāng)a1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R；當(dāng)a1時(shí)，解集為（，a+1）（3a，+）（）f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的

13、上方，即為|x2|x+3|+m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立，（7分）又由不等式的性質(zhì)，對任意實(shí)數(shù)x恒有|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，于是得m5，故m的取值范圍是（，5）【點(diǎn)評】： 本題考查絕對值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，涉及面較廣，知識性較強(qiáng)21. （本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂， ，.（1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）略；（2）；（3）點(diǎn)滿足時(shí)，有平面試題分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO利

14、用等腰三角形的性質(zhì)，可得EOAB，證明邊形OBCD為正方形，可得ABOD，利用線面垂直的判定可得AB平面EOD，從而可得ABED；（2）由平面ABE平面ABCD，且EOAB，可得EO平面ABCD，從而可得EOOD建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面ABE的一個法向量為,，利用向量的夾角公式，可求直線EC與平面ABE所成的角；（）存在點(diǎn)F，且時(shí)，有EC平面FBD確定平面FBD的法向量，證明即可.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，所?由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切?，所以，設(shè)，所以，所以，平面的一個法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為，所以,即直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的