風(fēng)吹草低見(jiàn)平均數(shù)

1、“風(fēng)吹草低見(jiàn)”平均數(shù)楊汛鎮(zhèn)小紫薇校區(qū) 陳紅萍平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。既可以用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)間的比較，以看出組與組之間的差別。四年級(jí)的孩子在平均分的基礎(chǔ)上第一次接觸平均數(shù)，學(xué)生對(duì)于平均數(shù)的特點(diǎn)、作用和缺點(diǎn)是很難感知的。在教學(xué)中需要采用以下三點(diǎn)來(lái)體現(xiàn)平均數(shù)的特性。在移多補(bǔ)少中展現(xiàn)平均數(shù)移多補(bǔ)少是平均分的一種直觀的操作體現(xiàn)。通過(guò)把一組數(shù)中最多的數(shù)移到最少數(shù)，體現(xiàn)每組數(shù)量同樣多，是一條隱形的平分線。學(xué)生在數(shù)量小、明顯的情況下，很快就能自己動(dòng)手把極大數(shù)分散給極小數(shù)，直觀地詮釋了什么是平分?jǐn)?shù)。但它

2、有自己的局限性，只能直觀操作輔助理解，不能很有效地解決平均問(wèn)題。【片段一：】老師和小強(qiáng)、小剛一分鐘投籃比賽。師：前兩天我和班上的幾個(gè)孩子說(shuō)，何老師最拿手是籃球，你猜他們?cè)趺椿卮稹Ｇ小?瞧你那身材，還籃球呢？于是有一天，我很不服氣地說(shuō)，好，AB兩小伙子，哪一天，我們PK一下。師：一分鐘投籃比賽，誰(shuí)投的多誰(shuí)勝。你們想知道比賽情況嗎？生：想。師：首先出場(chǎng)的是小強(qiáng)，（課件展示）他1分鐘投中了3個(gè)球。可是，小強(qiáng)對(duì)這一成績(jī)很不太滿意，覺(jué)得好像沒(méi)有發(fā)揮出自己的真實(shí)水平。他對(duì)我說(shuō)，老師能再給我兩次機(jī)會(huì)嗎？想再投兩次。如果你是何老師，你會(huì)同意他的要求嗎?生：同意。生：不同意。師：我請(qǐng)同學(xué)說(shuō)一下你的理由。生：該給

3、機(jī)會(huì)，因?yàn)檫@樣公平一點(diǎn)。生：不該，他開(kāi)始說(shuō)你投得不好，那你為什么還要給他機(jī)會(huì)。師：對(duì)，既然你投得不好，就不能給機(jī)會(huì)。生：該，一是公平，二是一開(kāi)始發(fā)揮不好是正常的。師：多么寬廣的胸懷，就讓他投三次吧。師：小強(qiáng)投籃3次，小剛也投了3次，（課件展示）這是小強(qiáng)和小剛3次投籃成績(jī)。課件出示：小強(qiáng)三次投籃成績(jī)：3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)。 小剛?cè)瓮痘@成績(jī)：2個(gè)，7個(gè)，6個(gè)。第一問(wèn)：三次成績(jī)各不相同。那么，我們?cè)撚媚膫€(gè)數(shù)來(lái)分別表示小強(qiáng)、小剛1分鐘投籃的平均水平呢?先獨(dú)立思考，再把你的想法和同桌說(shuō)一說(shuō)，有難度可以同桌討論下。生：我覺(jué)得小強(qiáng)可以用4來(lái)表示，小剛可以用5來(lái)表示。師：你是怎么想的呢？生1：因?yàn)樾?qiáng)3、4、5

4、三個(gè)數(shù)，中間那個(gè)4不動(dòng)，把5拿1個(gè)給前面3，就都是4，而且一共投的總數(shù)不變。小剛的3次成績(jī)加起來(lái)除以3，剛好是5。師：說(shuō)得真好!其他同學(xué)聽(tīng)明白了嗎？我們先來(lái)看小強(qiáng)投籃的平均水平，小強(qiáng)這個(gè)平均水平4是怎么來(lái)的呢？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的想法。生：最后一次5個(gè)，比第1次多2個(gè)，所以拿一個(gè)給第1次，這樣3次都是4個(gè)，所以平均水平是4。師：說(shuō)得真形象。(師結(jié)合學(xué)生的交流，呈現(xiàn)移多補(bǔ)少的過(guò)程，如圖 )在數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使得每個(gè)數(shù)都一樣多。這一過(guò)程就叫“移多補(bǔ)少”。在小數(shù)量、容易觀察的情況下，移多補(bǔ)少可真是恰到好處了！它不僅直觀地展現(xiàn)了平均分的這個(gè)過(guò)程，還幫助學(xué)生直觀理解什么是平分?jǐn)?shù)，給平均數(shù)

5、這個(gè)抽象的概念建立了準(zhǔn)確的表象特征。在先合再分中構(gòu)建平均數(shù)數(shù)學(xué)是一個(gè)追求本質(zhì)的過(guò)程。學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生追求數(shù)學(xué)的本質(zhì)。讓學(xué)生逐漸脫離形象表征，抽象出什么是平分?jǐn)?shù)，完善平分?jǐn)?shù)。學(xué)生在平均分的幫助下，先算總數(shù)量，再除以份數(shù)，來(lái)構(gòu)建平均數(shù)的方法。使得學(xué)生在原有的形象知識(shí)上，有了一定本質(zhì)的提升?！酒味骸繋煟耗悄銈儠?huì)算嗎？生：（3+4+5）3=4個(gè)，先把三次成績(jī)加起來(lái)，用總個(gè)數(shù)除以次數(shù)就是平均每次投籃水平。師：剛才小強(qiáng)的三次投籃很容易找出平均水平4，那小剛的平均水平容易找出來(lái)嗎？生：我喜歡把3個(gè)加起來(lái)，（2+6+7）3=5個(gè)，數(shù)字小，計(jì)算也方便，移的話我覺(jué)得有點(diǎn)稍微麻煩了。師：

6、為什么麻煩了？生：剛才只要把最多的5個(gè)，拿其中一個(gè)出來(lái)給最少的就一樣了，小剛的要從7個(gè)拿出2個(gè)給最少的，還要從6個(gè)中拿一個(gè)給最少的，這樣才一樣的多，移得麻煩，如果數(shù)字一大移就更不方便了。師：是啊，數(shù)學(xué)追求的是簡(jiǎn)潔，移多補(bǔ)少最終是讓我們每次水平都變得一樣，在數(shù)字比較小的時(shí)候很方便，數(shù)字一大移就成了困難，這個(gè)時(shí)候咱們采用什么方法比較好呢？生：計(jì)算，先把總和加起來(lái)，再平均分。師：小強(qiáng)和小剛1分鐘投籃的平均水平我們都知道了，那你知道他們倆誰(shuí)的投籃水平比較好嗎？生：當(dāng)然是小剛了，他的一般水平是5呢，小強(qiáng)只有4。師：還有其他想法嗎？生：小強(qiáng)3次投籃總數(shù)是12，小剛3次投籃總數(shù)是15，12比15小，所以我覺(jué)

7、得是小剛投籃水平好。第二問(wèn)：三次投籃總和能代表投籃的平均水平嗎？生1：反正都是3次啊，直接算出總和就可以比較了，干嘛還要再平均分。生2：我們?cè)谒闫骄降臅r(shí)候，都是先求3次的總成績(jī)，再平均分成3份的，小強(qiáng)和小剛都是投籃3次，雖然總和也能表示平均水平，但不平均分成3份，那是總水平，不能叫平均水平了。師：同學(xué)們，你們支持誰(shuí)的說(shuō)法？生：我支持生2的，因?yàn)榭偹胶推骄竭€是不同的，我們要看題目要求，再說(shuō)了，萬(wàn)一兩個(gè)人的次數(shù)不一樣，那么總成績(jī)是不能代表平均水平的。師：你們都很厲害，在數(shù)學(xué)課中認(rèn)真研究、分析，這“平均”兩字就不能單用總成績(jī)來(lái)比較了。所以在比較平均水平時(shí)，我們先算總和，再平均分，簡(jiǎn)單地稱為

8、“先合再分”。在極端數(shù)據(jù)中完善平均數(shù)教學(xué)中，一樣簡(jiǎn)單的東西我們可以深入地、復(fù)雜地教，但是當(dāng)我們需要拿出來(lái)的時(shí)候，我們就需要把它變薄、變淺、變得明了。學(xué)生在移多補(bǔ)少和先合再分的方法中，已經(jīng)感知到了什么是平均數(shù)，平分?jǐn)?shù)的作用。但是此時(shí)的平分?jǐn)?shù)是不完善的，平分?jǐn)?shù)還有一個(gè)很大的特性：它極容易受極端數(shù)字的影響。一組數(shù)中，每一個(gè)數(shù)字的變化都會(huì)影響整組數(shù)據(jù)的變化，因此，在已經(jīng)給定的3個(gè)數(shù)據(jù)的前提下，通過(guò)假設(shè)這種數(shù)學(xué)方法幫助學(xué)生理解第4個(gè)數(shù)字的變化對(duì)整組數(shù)據(jù)的變化情況，無(wú)意中讓學(xué)生意識(shí)到平均數(shù)在極端數(shù)中間，且在極端數(shù)中的波動(dòng)情況。【片段三：】師：最后，該我出場(chǎng)了。老師知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，

9、我主動(dòng)提出投四次的想法。沒(méi)想到，他們竟一口答應(yīng)了。前三次投籃已經(jīng)結(jié)束，怎么樣，想不想看看我前三次的投籃情況?(師呈現(xiàn)前三次投籃成績(jī)：3個(gè)、8個(gè)、4個(gè)，如圖3)師：猜猜看，兩位同學(xué)看到我前三次的投籃成績(jī)，可能會(huì)怎么想? 生：他們可能會(huì)想：完了完了，肯定輸了。師：從哪兒看出來(lái)的?生：你們看，光前三次，何老師平均1分鐘就投中了5個(gè)，和小強(qiáng)并列第一。更何況，何老師還有一次沒(méi)投呢。生：我覺(jué)得不一定。萬(wàn)一何老師最后一次發(fā)揮失常，一個(gè)都沒(méi)投中，或只投中一兩個(gè)，何老師也可能會(huì)輸。生：萬(wàn)一何老師最后一次發(fā)揮超常，投中10個(gè)或更多，那豈不贏定了? 師：情況究竟會(huì)怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績(jī)吧。(師

10、出示圖4)師：憑直覺(jué)，何老師最終是贏了還是輸了?生：輸了。因?yàn)槟阕詈笠淮沃煌吨?個(gè)，也太少了。師：不計(jì)算，你能大概估計(jì)一下，何老師最后的平均成績(jī)可能是幾個(gè)嗎?生：大約是4個(gè)。生：我也覺(jué)得是4個(gè)。師：英雄所見(jiàn)略同呀。不過(guò)，第二次我明明投中了8個(gè)，為什么你們不估計(jì)我最后的平均成績(jī)是8個(gè)?生：不可能，因?yàn)橹挥幸淮瓮吨?個(gè)，又不是次次都投中8個(gè)。 生：前三次的平均成績(jī)只有5個(gè)，而最后一次只投中1個(gè)，平均成績(jī)只會(huì)比5個(gè)少，不可能是8個(gè)。 生：再說(shuō)，8個(gè)是最多的一次，它還要移一些補(bǔ)給少的。所以不可能是8個(gè)。師：那你們?yōu)槭裁床还烙?jì)平均成績(jī)是1個(gè)呢?最后一次只投中1個(gè)呀!生：也不可能。這次盡管只投中1個(gè)，但其

11、他幾次都比1個(gè)多，移一些補(bǔ)給它后，就不止1個(gè)了。師：這樣看來(lái)，盡管還沒(méi)得出結(jié)果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績(jī)應(yīng)該比這里最大的數(shù)生：小一些。生：還要比最小的數(shù)大一些。生：應(yīng)該在最大數(shù)和最小數(shù)之間。 師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。 生列式計(jì)算，并交流計(jì)算過(guò)程：3+8+4+1=16(個(gè))，164=4(個(gè))師：和剛才估計(jì)的結(jié)果比較一下，怎么樣?生：的確在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：現(xiàn)在看來(lái)，這場(chǎng)投籃比賽是我輸了。你們覺(jué)得問(wèn)題主要出在哪兒?生：最后一次投得太少了。生：如果最后一次多投幾個(gè)，或許你就會(huì)贏了。師：試想一下：如果何老師最后一次投中5個(gè)，甚至更多一些，比如9個(gè)，比賽結(jié)果又會(huì)如何呢?同學(xué)

12、們可以通過(guò)觀察來(lái)估一估，也可以動(dòng)筆算一算，然后在小組里交流你的想法。 (生估計(jì)或計(jì)算，隨后交流結(jié)果)生：如果最后一次投中5個(gè)，那么只要把第二次多投的1個(gè)移給第一次，很容易看出，何老師1分鐘平均能投中5個(gè)。師：你是通過(guò)移多補(bǔ)少得出結(jié)論的。還有不同的方法嗎?生：我是列式計(jì)算的。3+8+4+5=20(個(gè))，204=5(個(gè))。生：我還有補(bǔ)充!其實(shí)不用算也能知道是5個(gè)。大家想呀，原來(lái)第四次只投中1個(gè)，現(xiàn)在投中了5個(gè)，多出4個(gè)。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個(gè)，結(jié)果自然就是5個(gè)了。師：那么，最后一次如果從原來(lái)的1個(gè)變成9個(gè)，平均數(shù)又會(huì)增加多少呢?生：應(yīng)該增加2。因?yàn)?比1多8，多出的8個(gè)再平均分到四次上，每一次只增加了2個(gè)。所以平均數(shù)應(yīng)增加2個(gè)。生：我是列式計(jì)算的，3+8+4+9=24(個(gè))，244=6(個(gè))。結(jié)果也是6個(gè)。師：現(xiàn)在，請(qǐng)大家觀察下圖，你有什么發(fā)現(xiàn)?把你的想法在小組里說(shuō)一說(shuō)。(師出示圖5) (生獨(dú)立思考后，先組內(nèi)交流想法，再全班交流)生：我發(fā)現(xiàn)，每一幅圖中，前三次成績(jī)不變，而最后一次成績(jī)各不相同。師：最后的平均數(shù)生：也不同。師：看來(lái)，要使平均數(shù)發(fā)生變化，只需要改變其中的幾個(gè)數(shù)?生：一個(gè)數(shù)。師：瞧，前三個(gè)數(shù)始終不