基本迭代方法

1、5.1 基本迭代方法5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法5.1.1 迭代公式的構(gòu)造第五章 線性方程組的迭代解法教學(xué)目的 1. 掌握J(rèn)acobi迭代法，G-S迭代法解大型線性方程組的方法及其收斂性的判別方法；2. 掌握SOR迭代法及收斂的必要條件(02 )；3. 了解三種迭代法之間的改進關(guān)系從而掌握該思想方法；4. 理解迭代法基本定理。教學(xué)重點及難點 重點是三種迭代法及收斂性的判別方法；難點是迭代法基本定理及三種迭代法收斂定理的證明。第5章 線性方程組的迭代解法 首先看一個形成大型方程組的例子?？紤]下面的Poisson方程的離散逼近，其邊界條件為：取 進行網(wǎng)格剖分,

2、用二階導(dǎo)數(shù),按逐行自左至右和自下而上的自然次序離散華可得下列線性方程組其中是的近似值。這是一種特殊形狀的稀疏矩陣。隨著和的減少，所得到的方程組的階數(shù)將增大。對于大型線形代數(shù)方程組，常用迭代解法。它是從某些初始向量出發(fā)，用設(shè)計好的步驟逐次算出近似解向量，從而得到向量序 列 。 一般的計算公式是稱之為多步迭代法若只與有關(guān)，且是線性的，即其中 ，稱為單步線性迭代法， 稱為迭代距陣。若 和 都與k 無關(guān)，即 稱為單步定常線性迭代法。本章主要討論具有這種形式的各種迭代方法。5.1 基本迭代方法5.1.1 迭代公式的構(gòu)造 設(shè) ， ，A非奇異， 滿足方程組 Ax=b。 （5.1.1） 如果能找到距陣 ，向量

3、 ，使 可逆，而且方程組 x=Bx+f (5.1.2) 的唯一解就是方程組（5.1.1）的解，則可從（5.1.2）式構(gòu)造一個定常的線性迭代公式 （5.1.3）給定初始向量 , 由(5.1.3)可以產(chǎn)生序列 ,若它有極限 , 顯然 就是(5.1.1)和(5.1.2)的解。 定義 5.1 若對任意初始向量 ，迭代公式（5.1.3）產(chǎn)生的序列 都有則稱迭代法（5.1.3）是收斂的。 從（5.1.1）出發(fā)，可以由不同的途徑得到各種不同的等價方程組（5.1.2），從而得到不同的迭代法（5.1.3）。例如，設(shè)A可以分解為 ，其中M非奇異，則由（5.1.1）可得令 就可以得到（5.1.2）的形式。不同的分解

4、方式 ，可的不同的 B 和 f , 下面給出對應(yīng)不同分解方式的常用迭代 計算公式。5.1.2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法 1. Jacobi 迭代法 記 ， 可以把 A 分解為 （5.1.4）其中現(xiàn)設(shè)D非奇異，即 。方程組（5.1.1）等價于 用 J 法計算向量序列 ，要用兩組單元存放向量 和 。迭代法可以寫成分量形式（5.1.8）由此構(gòu)造迭代公式：（5.1.5）其中迭代距陣 和向量 為 （5.1.6）（5.1.7）稱（5.1.5）為解（5.1.1）的Jacobi 迭代法，簡稱 J 法。 2. Gauss-Seidel 迭代法 在J 法中，計算 時，分量 已經(jīng)算出，所以可考慮對J 法進行修改。在每個分量計算出來之后，下一個分量的計算就利用最 新的計算結(jié)果。這樣，在整個迭代過程中只要使用一組單元存放迭代向量，其分量形式的計算結(jié)果為（5.1.9）這就是Gauss-Seidel 迭代法，簡稱 GS 法 將（5.1.9）寫成距陣形式經(jīng)整理有（5.1.10）其中迭代距陣 和向量 為(5.1.11)(5.1.12) Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式供計算編程用，它們的距陣形式供研究迭代序列是否收斂等理論分析用。例.用法和法分別求解方程組其準(zhǔn)確解為 。解 用 J 法計算，按（5.1.8）