人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-幾何圖形與一元二次方程教案

1、第 頁(yè)共13頁(yè)第3課時(shí)幾何圖形與一元二次方程教學(xué)目標(biāo)掌握面積法建立一元二次方,程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題.重難點(diǎn)關(guān)鍵?重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并 運(yùn)用它解決實(shí)際問題.?難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程、情境導(dǎo)入如圖，在長(zhǎng)為10cm,寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的 80%你能求出所截去小正方形的邊長(zhǎng)嗎？復(fù)習(xí)引入說出三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形及圓的面積公式(學(xué) 生口答，老師點(diǎn)評(píng)

2、)二、合作探究探究點(diǎn)：用一元二次方程解決圖形面積問題類型利用面積構(gòu)造一元二次方程模型用10米長(zhǎng)的鋁材制成一個(gè)矩形窗框，使它的面積為6平方米.若設(shè)它的一條邊長(zhǎng)為 x米，則根據(jù)題意可列出關(guān)于 x的方程為()A. x(5 + x) = 6 B . x(5x) =6C. x(10 x)=6 D . x(102x) = 6解析：設(shè)一邊長(zhǎng)為x米，則另外一邊長(zhǎng)為(5x)米，根據(jù)它的面積為 6平方米，即可列 出方程得：x(5x) = 6,故選擇B.方法總結(jié)：理解題意，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，把題中相關(guān)的量用未知數(shù)表示出來，用相等關(guān) 系列出方程.現(xiàn)有一塊長(zhǎng)80cm寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm

3、的小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cmf的無蓋的長(zhǎng)方體盒子，求小正方形的邊長(zhǎng).解析：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 xcm,則長(zhǎng)方體盒子底面的長(zhǎng)、寬均可用含x的代數(shù)式表示， 再根據(jù)面積，即可建立等量關(guān)系，列出方程.解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 xcm,則可得這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的底面的長(zhǎng)是（80 2x）cm,寬是（60 2x）cm,根據(jù)矩形的面積的計(jì)算方法即可表示出矩形的底面積，方程可列為（80 2x）（602x） = 1500,整理得 x2-70 x+ 825= 0,解得 xi = 55, x2= 15.又 60-2x0,x=55（舍）. 小正方形的邊長(zhǎng)為 15cm.方法總結(jié)：要從已知條件中找出關(guān)鍵的與所求問題有

4、關(guān)的信息，通過圖形求出面積，解題的關(guān)鍵是熟記各種圖形的面積公式，列出符合題意的方程，整理即可.類型二整體法構(gòu)造一元二次方程模型如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩 余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米.設(shè)道路寬為 x米，根據(jù)題意可列出的方程為解析：解法一：把兩條道路平移到靠近矩形的一邊上，用含x的代數(shù)式表示草坪的長(zhǎng)為(22 x)米，寬為(17 x)米，根據(jù)草坪的面積為300平方米可列出方程(22 x)(17 x)=300.解法二：根據(jù)面積的和差可列方程：22X 17 22x17x+x2=300.方法總結(jié)：解答

5、與道路有關(guān)的面積問題，可以根據(jù)圖形面積的和差關(guān)系， 尋找相等關(guān)系 建立方程求解；也可以用平移的方法， 把道路平移構(gòu)建特殊的圖形， 并利用面積建立方程求 解.類型三利用一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問題如圖所示，在 ABC中，Z C= 90 ,AC= 6cm, BC= 8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊 AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā) 沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).(1)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使 PCQ勺面積為8平方厘米？(2)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PCQ勺面積等于 ABC勺面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由.解析：這是一道動(dòng)態(tài)問題，

6、可設(shè)出未知數(shù)，表示出PC與CQ勺長(zhǎng)，根據(jù)面積公式建立方程求解.解：(1)設(shè) xs 后，可使 PCQ勺面積為 8cm2,所以 AP= xcm, PC= (6 -x)cm, CQ= 2xcm.1則根據(jù)題思，得,(6x),2x=8.整理，得x6x + 8=0,斛這個(gè)方程，得 Xi = 2, X2= 4.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使 PCQ勺面積為8cm.1(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，APCQ勺面積等于 ABO積的一半.則根據(jù)題意，得2(6x)-2x1 1=-X 26使 PCQ的面積等于12.6cm2.因?yàn)锳B=6 , BC=8 , 由勾股定理得：AC=10 ,又由于PA=y, CP= （14-y

7、）, CQ= （2y-8）,又由友情提示，便可得 到DQ,那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模.解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使 PBQ的面積為8cm2.1 ,、則：（6-x） 2x=82整理，得：x2-6x+8=0解得：xi=2 , x2=4，經(jīng)過2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)1X 2=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2X2=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)P 到離A點(diǎn)1 X4=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2X4=8cm處，所以它們都符合要求.CQAC（2）設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP= （14-y） cm,點(diǎn)Q在CA上移動(dòng)，且使 CQ=(2y-8) cm,過點(diǎn)Q作DQCB,垂足為D,則有-DQAB AB=6 ,

8、BC=8，由勾股定理，得： AC= . 62 82 =106(2y 8) 6(y 4) DQ= 105,、 6(y 4)則：一(14-y) - -12i=12.65整理，得：y2-18y+77=0解得：yi=7, y2=11即經(jīng)過7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處(CP=14-y=7 )，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)6cm處 (CQ=?2y-8=6 ),使 PCD 的面積為 12.6cm2.經(jīng)過11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm10 ,，點(diǎn)Q已超過CA的范圍，即此解不存在.，本小題只有一解 y1=7.五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模

9、型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.六、布置作業(yè).教材P53綜合運(yùn)用5、6拓廣探索全部.選用作業(yè)設(shè)計(jì)：、選擇題1 .直角三角形兩條直角邊的和為7,面積為6,則斜邊為().A. 737B. 5C.病D. 72.有兩塊木板，第一塊長(zhǎng)是寬的2倍，第二塊的長(zhǎng)比第一塊的長(zhǎng)少2m,寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2,這兩塊木板的長(zhǎng)和寬分別是().A.第一塊木板長(zhǎng) 18m,寬9m,第二塊木板長(zhǎng)16m,寬27m;B.第一塊木板長(zhǎng) 12m,寬6m,第二塊木板長(zhǎng)10m,寬18m;C.第一塊木板長(zhǎng) 9m,寬4.5m,第二塊木板長(zhǎng) 7m,寬13.5m;D.以上都不對(duì)3.從正方形鐵片，截去 2cm寬的一條

10、長(zhǎng)方形，余下的面積是48cm2,則原來的正方形鐵片的面積是().A. 8cm B. 64cm C. 8cm2D . 64cm2二、填空題.矩形的周長(zhǎng)為 8近,面積為1,則矩形的長(zhǎng)和寬分別為 .長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多 4cm,面積為60cm2,則它的周長(zhǎng)為 .如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長(zhǎng)為35m,所圍的面積為150m2,則此長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分別為 .三、綜合提高題.如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m,背水坡度為1: 2,迎水坡度為1:1,若壩長(zhǎng)30m,完成大壩所用去的土方為4500m2,問水壩的高應(yīng)是多少 ？（說明：？背水坡 TOC o 1-

11、5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document CF 1DE1度CF =，迎水坡度DE1）（精確到0.1m） HYPERLINK l bookmark33 o Current Document BF 2AE1 HYPERLINK .在一塊長(zhǎng)12m,寬8m的長(zhǎng)方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m2?的長(zhǎng)方形花臺(tái),要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少？.誰(shuí)能量出道路的寬度：如圖22-10,有矩形地ABCD 一塊，要在中央修一矩形花輔 EFGH,使其面積為這塊地 面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測(cè)量工具，？只有無刻度的足夠長(zhǎng)的繩子一條

12、，如何量出道路的寬度 ？請(qǐng)同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決這個(gè)實(shí)際問題，相信你一定能行. HYPERLINK 答案：一、1. B 2, B 3. D二、1. 2 .2+ ,、7 2 .2- .732cm20m 和 7.5m 或 15m 和 10m二、.設(shè)壩的高是 x,貝U AE=x , BF=2x, AB=3+3x ,1依題意，得：一(3+3+3x) xx 30=45002整理，得：x2+2x-100=0解得 x= 2 20.10 即 x-9.05 ( m) 2.設(shè)寬為 x,貝U 12X 8-8=2 X 8x+2 ( 12-2x) x整理，得：x2-10 x+22=0解得：x1=5+ 73

13、(舍去)，x2=5- 43.設(shè)道路的寬為 x, AB=a , AD=b則(a-2x) (b-2x) =.ab TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 122解得：x= 4 (a+b) 7ab 量法為：用繩子量出AB+AD (即a+b)之長(zhǎng)，從中減去BD之長(zhǎng)(對(duì)角線BD= JO_b2 ), HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 2 2L=?AB+AD-BD ，再將L對(duì)折兩次即得到道路的寬 AB AD一BD，即a ba 44綜合提高題.如圖，是長(zhǎng)方形雞場(chǎng).平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹 籬