混流式水輪機葉片自由曲面的延展

1、混流式水輪機葉片自由曲面的延展摘要：傳統(tǒng)的木模圖法在表示水輪機葉片時存在表示葉片不完好和無法引入計算機輔助設(shè)計及制造的缺乏，為此本文提出了基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法，解決了混流式水輪機葉片空間曲面的小區(qū)域延展問題。同時結(jié)合水輪機葉片形狀特點，利用自由曲面和解析曲面的求交法確定了葉片的延展邊界，實現(xiàn)了葉片曲面的整體造型。論文最后算例分析說明，該方法可以得到精度較高的延展曲面，同時算法穩(wěn)定可靠。關(guān)鍵詞：延展求交擬合自由曲面水輪機葉片1基于最小二乘法的非均勻有理B樣條曲線曲面延展法1.1延展問題的條件如今通用的木模圖在表示水輪機葉片時一般給出等z面的(x,y)數(shù)據(jù)6。如圖1所示，

2、由圖可以看出，在0-0斷面以上只有一個型值點，即進(jìn)水邊與上冠的交點，有時甚至還沒有表示出這個點；同樣在16-16斷面以下也只有一個型值點，即出水邊與下環(huán)的交點，有時甚至還沒有表示出這個點。在這種情況下假設(shè)要得到0-0斷面以上和16-16斷面以下的葉片型值點那么只能采用延展的方法。還有在整體擬合葉圖1溫順流式水輪機葉片木模圖2擬合得到的葉片的空間幾何形狀(左邊為主視圖，右邊為側(cè)視圖)1.2延展問題的解決方案然而如何延展立即成為問題，因為由Nurbs曲線和曲面的定義可以看到，由于其只在起點和末點之間有定義，在起點和末點之外根本沒有定義，這使得只能采用另外的途徑來延展Nurbs曲線和曲面7。結(jié)合水輪

3、機葉片的特點，即在小范圍內(nèi)曲線和曲面曲率變化不大，本文采用最小二乘法擬合曲面和曲線端部，得到擬合方程后應(yīng)用此方程進(jìn)展延展端部得到新的端點，再有新的端點和原有的Nurbs曲線型值點構(gòu)成新的Nurbs曲線型值點，進(jìn)而得到延展曲線和擬合曲面。1.3最小二乘法擬合原理在某一特定函數(shù)類(x)(例如多項式)中找到一個函數(shù)F(x)作為y=f(x)的近似函數(shù)，使得在x上的按照某種標(biāo)準(zhǔn)誤差最小，這就是擬合問題。記向量e=0，1,T，要求殘差i按照2-范數(shù)的平方為標(biāo)準(zhǔn)最小，即要求e22最小，這種方法稱之為最小二乘法擬合法8。用最小二乘法擬合曲線時，必須先選擇函數(shù)類，即確定函數(shù)F(x)的形式。這與所討論問題的專門知

4、識和經(jīng)歷有關(guān)。在本文中，結(jié)合水輪機葉片空間幾何形狀特點即在小范圍內(nèi)曲線和曲面曲率變化不大和整體Nurbs擬合標(biāo)準(zhǔn)即要求擬合曲面在任意點三次連續(xù)可導(dǎo)，因此使用三次多項式擬合。詳細(xì)算法如下：對于給定的一組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,N,尋求作三次多項式(N3)(1)使得總誤差(2)為最校由于Q可以看作關(guān)于aj(j=0,1,2,3)的多元函數(shù)，故上述擬合多項式的構(gòu)造問題可以歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令(3)得到(4)即由(5)這是關(guān)于系數(shù)aj的線性方程組，而且是一個正那么方程組，可以證明，此方程組解唯一。由此實際上得到了端部擬合曲線的多項式表示，進(jìn)一步可以對其進(jìn)展延長運算，得到新的端點數(shù)據(jù)。設(shè)原

5、有型值點集為pi(i=0,1,n),新的端點為Q，那么由pi和Q構(gòu)成新的型值點集pi(i=0,1,)，其中=n+1。由此個型值點重新擬合得到延長后的曲線。1.4葉片邊界確實定上冠、下環(huán)均是旋轉(zhuǎn)曲面，我們把這兩個旋轉(zhuǎn)曲面的解析方程稱為延展邊界限定方程。利用上述方法延長葉片軸面截線，用延長結(jié)果分別和上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，即用延長后的曲線擬合方程與延展邊界限定方程聯(lián)立求解，得到兩個交點。按此方法分別用由出水邊向進(jìn)水邊的各葉片軸面截線與上冠、下環(huán)旋轉(zhuǎn)曲面求交，得到兩組有序交點，這兩組有序交點就是葉片與上冠、下環(huán)交線的節(jié)點，由此可以順利的擬合得到葉片與上冠、下環(huán)交線，即葉片的兩個邊界。轉(zhuǎn)貼于論文聯(lián)盟.

6、ll.表1利用原有型值點不作任何變動進(jìn)展向Z=0.0邊界進(jìn)展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.0037290.003229410.0018645-2.38566E-09-0.0018645-0.00322941-0.003729-0.00322941-0.001864490.00.00186450.003229410.0037290.003229410.0018645-4.77131E-09-0.00186451-0.003229410.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037

7、290.0037290.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729本算法中擬合曲線的階數(shù)定為K=3，即延長點僅近似保持了離延長點最近的4個型值點的曲線幾何性質(zhì)或4條型值點等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)。如表3對于表1是從等Z線1-1延長至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對誤差為0.003729；對于表2是從等Z線2-2延長至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對

8、誤差為0.007947；對于表3是從Z線3-3延長至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等參數(shù)線的曲面幾何性質(zhì)，R絕對誤差為0.02079。表2隱去z=0.25等線數(shù)據(jù)，即利用2、3、4、9斷面進(jìn)展向Z=0.0邊界進(jìn)展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.0079470.00688230.0039735-5.08416E-09-0.00397351-0.00688231-0.007947-0.0068823-0.003973490.00.00397350.006882310.0079470.00688230.00397349-1.01683E-

9、080.00397351-0.006882310.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947表3隱去z=0.25、z=1.0等線數(shù)據(jù)，即利用3、4、9斷面進(jìn)展向Z=0.0邊界進(jìn)展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理論值絕對誤差1234567890.020790.01800470.010395-1.33

10、006E-08-0.010395-0.0180047-0.02079-0.0180047-0.0103950.00.0103950.01800470.020790.01800470.010395-2.66011E-08-0.010395-0.01800470.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.00.00.00.00.00.00.00.00.00.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.02079由上面的結(jié)果可以看出隨著間隔 的增大，

11、誤差也隨之增大，即誤差R與延長量L(曲線弧長)或延展量S(曲面面積)呈正相關(guān)關(guān)系。因此延展時要注意一點，本文的延展算法只完成對延展端部的曲線、曲面形態(tài)趨勢，并不能完全代表整體形態(tài)趨勢，因此，原端部與延展部分的幾何比例不能太大，經(jīng)過比較測試結(jié)果此比值以不超過3:1為宜。這一點在延展葉片型面這種自由曲面是非常重要，否那么，將產(chǎn)生嚴(yán)重延展誤差。從上面的3組結(jié)果同樣可以看到，延展算法還是比較穩(wěn)定的，這表如今延展得到的同一組中各不同型值點的誤差是一致的，這也符合原始數(shù)據(jù)的特點，即各等Z線實際上是一個圓，各型值點均為圓上的點。同時從誤差的大小來看，第1組結(jié)果的誤差最小，為0.003729，即從R=1.0的等Z線延展到R=0.0的等Z線產(chǎn)生0.003729的偏向，反映在工程中即延展1.0產(chǎn)生0.003729的偏向，這一精度可以說滿足了工程應(yīng)用的要求。圖3完好葉片網(wǎng)格(依次為側(cè)視圖、主視圖、俯視圖)3.2混流式水輪機轉(zhuǎn)輪葉片實例(由延長后的結(jié)果構(gòu)造葉片空間網(wǎng)格)由此可以看出，通過對擬合結(jié)果的平面延展，可以得到0-0斷面以上、16-16斷面以下數(shù)據(jù)缺少的部分的型值點，通過與斷面數(shù)據(jù)的比較，交線數(shù)據(jù)光滑平順，同