新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修二 3弧度制【培優(yōu)題】 課時(shí)練（課后作業(yè)設(shè)計(jì)）

1、精品文檔 精心整理精品文檔 可編輯的精品文檔3弧度制【培優(yōu)題】一、單選題1已知扇形周長為2，則扇形面積最大時(shí)扇形的圓心角為（ ）AB60C1D2【答案】D【分析】根據(jù)扇形的周長列出扇形弧長和半徑的關(guān)系式，再將扇形面積的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑的二次函數(shù)形式，由此確定出扇形面積最大時(shí)的半徑和弧長，則圓心角可求.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，面積為，半徑為，圓心角為，根據(jù)條件可知：，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式和面積公式，同時(shí)在利用二次函數(shù)分析最值的問題上值得注意.2已知在扇形AOB中，弦AB的長為2，則該扇形的周長為( )ABC

2、D【答案】B【分析】由已知條件求出，再求出弧的長，即可求解扇形的周長，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，且，所以，即，由弧長公式，可得弧的長為，所以扇形的周長為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長公式的應(yīng)用，其中解答中作出圖形，求得扇形所在圓的半徑，準(zhǔn)確利用扇形的弧長公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3已知扇形AOB的半徑為r，弧長為l，且，若扇形AOB的面積為8，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）AB或2C1D或1【答案】D【分析】根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式得到方程組，計(jì)算可得.【詳解】解：由題意得解得或故或. 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式及扇形的面積公

3、式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長等于的弧田.按照九章算術(shù)中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積為（ ）ABCD【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形計(jì)算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，為等邊三角?所以，矢，弦.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積公式，同時(shí)考查學(xué)生對題意的理解，屬于中檔題.5將一條閉合曲線放在兩條平行線之間，無論這條閉合曲線如何運(yùn)動(dòng)，只要它與兩平行線中

4、的一條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，就必與另一條直線也只有一個(gè)交點(diǎn)，則稱此閉合曲線為等寬曲線，這兩條平行直線間的距離叫等寬曲線的寬比如圓所示就是等寬曲線其寬就是圓的直徑如圖所示是分別以、為圓心畫的三段圓弧組成的閉合曲線（又稱萊洛三角形），下列關(guān)于曲線的描述中，正確的有（ ）（1）曲線不是等寬曲線；（2）曲線是等寬曲線且寬為線段的長；（3）曲線是等寬曲線且寬為弧的長；（4）在曲線和圓的寬相等，則它們的周長相等；（5）若曲線和圓的寬相等，則它們的面積相等A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【分析】若曲線和圓的寬相等，設(shè)曲線的寬為，則圓的半徑為，根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.【詳解】若曲線和圓的寬相等，設(shè)曲線的寬

5、為，則圓的半徑為，（1）根據(jù)定義，可以得曲線是等寬曲線，錯(cuò)誤；（2）曲線是等寬曲線且寬為線段的長，正確；（3）根據(jù)（2）得（3）錯(cuò)誤；（4）曲線的周長為，圓的周長為，故它們的周長相等，正確；（5）正三角形的邊長為1，則三角形對應(yīng)的扇形面積為，正三角形的面積，則一個(gè)弓形面積，則整個(gè)區(qū)域的面積為，而圓的面積為，不相等，故錯(cuò)誤；綜上，正確的有2個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義，理解“等寬曲線”得出等邊三角形是解題的關(guān)鍵6中心角為60的扇形，它的弧長為2，則它的內(nèi)切圓半徑為 （ ）A2BC1D【答案】A【分析】利用弧長公式求出扇形半徑，設(shè)出圓的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】

6、，【點(diǎn)睛】在解決弧長、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形,弧度制下弧長扇形面積.7將分針撥慢分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：利用分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為，得到10分針是一周的六分之一，進(jìn)而可得答案詳解：分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)鐘表撥慢分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為 故選C點(diǎn)睛：本題考查弧度的定義，一周對的角是弧度考查逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是正角，屬于基礎(chǔ)題8九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓

7、弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有弧長為，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是（ ）()A6平方米B9平方米C12平方米D15平方米【答案】B【分析】根據(jù)已知求出矢，弦，再利用已知公式求解.【詳解】由題意可得：，在中，可得：，可得：矢，由，可得：弦，所以：弧田面積（弦矢矢平方米故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)扇形的計(jì)算，一般是利用弧長公式、扇形面積公式及直角三角函數(shù)求解.9九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,卷一方田三三:“今有宛田,下周三十步,徑十六步,問為田幾何?”其意為:“有一塊扇形的田,弧長30步,其所在圓的直徑是十六步,問這塊田的面積是多少

8、(平方步)?”,該問題的答案應(yīng)為( )A120B240C360D480【答案】A【分析】由扇形的半徑和弧長可以計(jì)算出圓心角，利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知，該扇形的半徑，弧長，則由弧長公式可得扇形圓心角的弧度數(shù)為：，則由扇形的面積公式可得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長公式，以及面積公式.10如圖所示，用兩種方案將一塊頂角為，腰長為的等腰三角形鋼板裁剪成扇形，設(shè)方案一、二扇形的面積分別為，周長分別為，則（ ）A，B，C，D，【答案】A【分析】根據(jù)弧長公式和扇形面積求解.【詳解】 為頂角為，腰長為2的等腰三角形，方案一中扇形的周長 ，方案二中扇形的周長，方案一中扇形的面積，方案二

9、中扇形的面積，所以，.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式，扇形面積公式.二、多選題11（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（ ）A化成弧度是B化成角度是C化成弧度是D化成角度是【答案】ABD【分析】根據(jù)弧度與角度的轉(zhuǎn)化,化簡即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于A,正確; 對于B,正確;對于C,錯(cuò)誤; 對于D,正確.故選ABD【點(diǎn)睛】本題考查了弧度與角度的轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化過程中注意進(jìn)制和單位,屬于基礎(chǔ)題.12斐波那契螺線又叫黃金螺線，廣泛應(yīng)用于繪畫、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫出：如圖，在黃金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作??；然后在黃金矩形中作正方形，以為圓心，長為半徑作?。蝗绱死^續(xù)下去，這些弧就連接成了斐波那

10、契螺線.記弧，的長度分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）ABCD【答案】AB【分析】設(shè)，則，再由圓弧分別求得，然后再逐項(xiàng)判斷.【詳解】不妨設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所?同理可得，所以，所以A，B正確，C，D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題13用長的鐵絲圍成一個(gè)扇形，則圍成扇形的最大面積為_.【答案】225；【分析】根據(jù)扇形面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得圍成的扇形面積的最大值.【詳解】設(shè)圍成的扇形的半徑為xcm,則弧長為cm，則扇形的面積為： ，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)cm,故答案為：225【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題.14

11、點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_【答案】【分析】根據(jù)題意，求出的大小，即得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】設(shè)點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q，則AOQ2 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以xOQ，cos，sin，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了求單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，是基礎(chǔ)題15如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，其中圓的半徑為 且，則劣弧的長為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得圓心角等于圓周角的2倍，求得，再由弧長公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得圓心角等于圓周角的2倍，因?yàn)?，所以，又由弧長公式，可得弧長為.故答

12、案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，以及弧長公式的應(yīng)用，其中解答中熟記弧長公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角是_度，即_rad.如果大輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10.5cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長是_.【答案】864 【分析】本題可以通過相互嚙合的兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的齒數(shù)相同，得到小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，得到填空（1）答案，經(jīng)換算得到其弧度，即得到填空（2）答案，再通過大輪的速，得到小輪的轉(zhuǎn)速，從而求出小輪上每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)速，得到填空（3）答案，得到本題結(jié)論【詳解】相互嚙合

13、的兩個(gè)齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，大輪轉(zhuǎn)動(dòng)了48個(gè)齒，小輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，即，當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為時(shí)，小輪轉(zhuǎn)速為 ，小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：，小輪的半徑為10.5cm，小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長為：，故答案為：864；.【點(diǎn)睛】本題考查角度制與弧度制的互化，考查弧長公式，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于常考題.四、解答題17已知角.（1）將角改寫成(，)的形式，并指出角是第幾象限的角；（2）在區(qū)間上找出與角終邊相同的角.【答案】（1），是第三象限角；（2）【分析】（1）先把度數(shù)改寫弧度，再改寫成形式，并確定所在象限；（2）解不等式可得結(jié)論【詳解】（1），是第三象限角，是第

14、三象限角（2）由得，因?yàn)椋瑢?yīng)角依次為【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，解題關(guān)鍵是把解寫出或，形式，考查角度與弧度的互化屬于基礎(chǔ)題18某飛輪直徑為1.2m,每分鐘按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)300圈,求(1)飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù);(2)飛輪圓周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長【答案】（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)圈旋轉(zhuǎn)弧度乘以每1分轉(zhuǎn)的圈數(shù)，進(jìn)而可得轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)；（2）求出每秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)，結(jié)合已知中的半徑，然后利用弧長公式即可得出答案【詳解】解：（1）飛輪每轉(zhuǎn)一圈是,每分鐘轉(zhuǎn)300圈,則轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.（2）每秒轉(zhuǎn)動(dòng)（圈），則每秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù),則弧長為.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成

15、數(shù)學(xué)問題，此題比較簡單，屬于基礎(chǔ)題19已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有60齒，小輪有45齒（1）當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，求大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)；（2）當(dāng)小輪的轉(zhuǎn)速是時(shí)，大輪上每轉(zhuǎn)過的弧長是，求大輪的半徑【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)大輪的半徑為，小輪的半徑為，求得，再利用弧長公式，即可求解.（2）由（1）和小輪的轉(zhuǎn)速為，求得小輪轉(zhuǎn)動(dòng)的的弧長為，利用弧長公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有60齒，小輪有45齒設(shè)大輪的半徑為，小輪的半徑為，則，即，即，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，設(shè)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)為，則，即，解得，即大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度數(shù)為.（2）由（1）知，大輪的半徑為，小輪的半徑為，且，因?yàn)樾≥喌霓D(zhuǎn)速為，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，其轉(zhuǎn)過的弧長為，又由大輪上每轉(zhuǎn)過的弧長是，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長公式的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中正確理解題意，合理利用扇形的弧長公