高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)歸納與總結(jié))指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、eq avs4al(第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)) 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3.理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.1.主要以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的值域以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象三個(gè)方面的問(wèn)題，如2012年上海T7. 2.常與其他問(wèn)題相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，如與對(duì)數(shù)的運(yùn)算、數(shù)值的大小比較等相結(jié)合.歸納知識(shí)整合1根式(1)根式的概念：根式的概念符號(hào)表示備注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方

2、根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)eq r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)eq r(n,a)(a0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根(2)兩個(gè)重要公式：eq r(n,an)eq blcrc (avs4alco1(a，n為奇數(shù)，,|a|blcrc (avs4alco1(aa0，,aa0，)n為偶數(shù)；)(eq r(n,a)na(注意a必須使eq r(n,a)有意義)探究1.eq r(n,an)a成立的條件是什么？提示：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aR；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a0.2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)

3、指數(shù)冪：aeq f(1,a)eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)(1)過(guò)定點(diǎn)(0,1)(2)當(dāng)x0時(shí)，y1；x0時(shí)，0y1(2)當(dāng)x0時(shí)，0y1；x0時(shí)，y1(3)在R上是增函數(shù)(3)在R上是減函數(shù)探究2如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系如何？你能得到什

4、么規(guī)律？提示：圖中直線x1與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇?函數(shù)yax，ya|x|，y|ax|(a0，a1)，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x之間有何關(guān)系？提示：yax與y|ax|是同一個(gè)函數(shù)的不同表現(xiàn)形式；函數(shù)ya|x|與yax不同，前者是一個(gè)偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x0時(shí)兩函數(shù)圖象相同；yax與yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱自測(cè)牛刀小試1(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)(2)6(1)0的結(jié)果為()A9B10C9D7解析：選D(

5、2)6(1)0(26)1817.2化簡(jiǎn)eq f(r(a3b2r(3,ab2),ab4r(3,f(b,a)(a0，b0)的結(jié)果是()A.eq f(b,a) BabCa2b D.eq f(a,b)解析：選D原式eq f(r(a3b2ab),ab2blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)ab1eq f(a,b).3函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是()解析：選Bf(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1，x0，a1)的定義域和值域都是0,2，則實(shí)數(shù)a_.解析：當(dāng)a1時(shí)，f(x)ax1在0,2上為增函數(shù)，則a212，aeq

6、r(3).又a1，aeq r(3).當(dāng)0a1時(shí)，f(x)ax1在0,2上為減函數(shù)又f(0)02，0ab)，若f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)axb的圖象是()(2)若曲線|y|2x1與直線yb沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_自主解答(1)由已知并結(jié)合圖象可知0a1，b1.對(duì)于函數(shù)g(x)axb，它一定是單調(diào)遞減的且當(dāng)x0時(shí)g(0)a0b1b0，a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a).2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象.3一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利

7、用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.2(2012四川高考)函數(shù)yaxa(a0，且a1)的圖象可能是()解析：選C當(dāng)x1時(shí)，ya1a0，函數(shù)yaxa的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，結(jié)合圖象可知選C.3(2013鹽城模擬)已知過(guò)點(diǎn)O的直線與函數(shù)y3x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在線段OB上，過(guò)A作y軸的平行線交函數(shù)y9x的圖象于C點(diǎn)，當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可得，C(x1，y2)，所以有eq blcrc (avs4alco1(y13x1，,y23x2，,y29x1.)又A，O，B三點(diǎn)共線，所以kAOkBO，即eq f(y1,x1)eq f(y2,

8、x2)，代入可得，eq f(3x1,3x2)eq f(x1,x2)eq f(1,2)，即eq f(3x1,32x1)eq f(1,2)，所以x1log32.答案：log32指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ax24x3(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值自主解答(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上單調(diào)遞增，在(2，)上單調(diào)遞減，而yeq blc(rc)(av

9、s4alco1(f(1,3)t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)(2)令h(x)ax24x3，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值1，因此必有eq blcrc (avs4alco1(a0，,f(3a4,a)1，)解得a1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)h(x)的值域?yàn)?0，)應(yīng)使h(x)ax24x3的值域?yàn)镽，因此只能a

10、0(因?yàn)槿鬭0，則h(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)故a的值為0.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題的方法求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決4設(shè)a0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解：令tax(a0且a1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t0)當(dāng)0a0，所以aeq f(1,3).當(dāng)a1時(shí)，x1,1，taxeq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，a)，此時(shí)f(t)在eq

11、blcrc(avs4alco1(f(1,a)，a)上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得aeq f(1,3)或a3.1個(gè)關(guān)系分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算2個(gè)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)比較指數(shù)式的大小若兩個(gè)指數(shù)式的底數(shù)相同、指數(shù)不同，則根據(jù)底數(shù)與1的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)自變量的大小關(guān)系判斷相應(yīng)函數(shù)值的大?。蝗魞蓚€(gè)指數(shù)式的底數(shù)不同、指數(shù)也不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較(2)解指數(shù)不等式形如axab的不等式，借助于函數(shù)yax的單調(diào)性求解，如果a的取值

12、不確定，需分a1與0ab的不等式，需先將b轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)冪的形式3個(gè)注意指數(shù)式的化簡(jiǎn)及指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用需注意的問(wèn)題(1)在進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示，并且結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a1與0a0，b0，2a2a2b3b2b2b.令f(x)2x2x(x0)，則函數(shù)f(x)為單調(diào)增函數(shù)ab.答案Aeq avs4al(名師點(diǎn)評(píng))1本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式的創(chuàng)新：本題沒(méi)有直接給出指數(shù)函數(shù)模型，而是通過(guò)觀察題目特點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題將指數(shù)函

13、數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性與放縮法、導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用巧妙結(jié)合，考查了考生觀察分析問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想2解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)(1)通過(guò)放縮，將等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題(2)構(gòu)造函數(shù)，并利用其單調(diào)性解決問(wèn)題eq avs4al(變式訓(xùn)練)1若函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0，)則不等式eq f(1,3)f(x)eq f(1,3)的解集為()A1,2)3，)B(，31，)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，) D(1，eq r(3) 3，)解析：選B函數(shù)f(x)eq blcrc

14、 (avs4alco1(f(1,x)，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0)和函數(shù)g(x)eq f(1,3)的圖象如圖所示，從圖象上可以看出不等式的解集是兩個(gè)無(wú)限區(qū)間當(dāng)xK.)取函數(shù)f(x)a|x|(a1)當(dāng)Keq f(1,a)時(shí)，函數(shù)fK(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A(，0)B(a，)C(，1) D(1，)解析：選D函數(shù)f(x)a|x|(a1)的圖象為右圖中實(shí)線部分，yKeq f(1,a)的圖象為右圖中虛線部分，由圖象知fK(x)在(1，)上為減函數(shù).1化簡(jiǎn)eq f(r(x3),x)的結(jié)果是()Aeq r(x)B.eq r(x)Ceq r(x) D.eq r

15、(x)解析：選A依題意知x0，eq f(r(x3),x)eq r(f(x3,x2)eq r(x).2(2012天津高考)已知a212，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0.5，c2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為()Acba BcabCbac Dbca解析：選Aa212，beq r(2)，clog54，1b2,0cbc.3函數(shù)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x2 的值域是()A(0，) B(0,1)C(0,1 D1，)解析：選Cx20，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x21，即值域是(0,14(2013廣州模擬)定義運(yùn)算a

16、beq blcrc (avs4alco1(aab,bab)，則f(x)2x2x的圖象是()解析：選Cx0時(shí)，2x12x0；x0時(shí)，02x12x.f(x)2x2xeq blcrc (avs4alco1(2x，x0，,2x，x0.)5設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則有()Afeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)Bfeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3

17、,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)Cfeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Dfeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)解析：選B由題設(shè)知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1單調(diào)遞增，因其圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)feq blc(rc)(avs4al

18、co1(2f(3,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，即feq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)0)的圖象恰好有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(eq r(3)，4) B(eq r(2)，)C(eq r(2)，5) D(eq r(3)，2eq r(2)解析：選B作出函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(2

19、blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x，x0，,f(1,2)x21，x0)的圖象，如圖所示直線ymx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線當(dāng)斜率m0時(shí)，直線ymx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，直線ymx始終與函數(shù)y2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x(x0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，故要使直線ymx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，必須使直線ymx與函數(shù)yeq f(1,2)x21(x0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程mxeq f(1,2)x21在x0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程x22mx20的判別式4m2420，解得meq r(2).故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

20、eq r(2)，)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析：令x10，即x1，則f(1)5.圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(1,5)答案：(1,5)8函數(shù)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x3x在區(qū)間1,1上的最大值等于_解析：由yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x是減函數(shù)，y3x是增函數(shù)，可知yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)x3x是減函數(shù)，故當(dāng)x1時(shí)函數(shù)有最大值eq f(14,3).答案：eq f(14,3)9對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在函數(shù)g(x)axb(a，b為常數(shù)

21、)，使得對(duì)于區(qū)間D上的一切實(shí)數(shù)x都有f(x)g(x)成立，則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，設(shè)f(x)2x，g(x)2x，若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的一個(gè)“覆蓋函數(shù)”，則|mn|的最大值為_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2x與g(x)2x的圖象相交于點(diǎn)A(1,2)，B(2,4)，由圖可知，m，n1,2，故|mn|max211.答案：1三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知f(x)exex，g(x)exex(e2.718 28)(1)求f(x)2g(x)2的值；(2)若f(x)f(y)4，g(x)g(y)8，求eq f(gxy,gxy)的值

22、解：(1)f(x)2g(x)2(exex)2(exex)2(e2x2e2x)(e2x2e2x)4.(2)f(x)f(y)(exex)(eyey)exyexyexyexyexye(xy)exye(xy)g(xy)g(xy)，g(xy)g(xy)4.同理，由g(x)g(y)8，可得g(xy)g(xy)8.由解得g(xy)6，g(xy)2，eq f(gxy,gxy)3.11若函數(shù)ylg(34xx2)的定義域?yàn)镸.當(dāng)xM時(shí)，求f(x)2x234x的最值及相應(yīng)的x的值解：ylg (34xx2)，34xx20，解得x3.Mx|x3f(x)2x234x42x3(2x)2.令2xt，x3，t8或0t8或0t2

23、)由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)0t8時(shí)，f(t)(，160)，當(dāng)2xteq f(2,3)，即xlog2eq f(2,3)時(shí)，f(x)maxeq f(4,3).綜上可知，當(dāng)xlog2eq f(2,3)時(shí)，f(x)取到最大值為eq f(4,3)，無(wú)最小值12已知函數(shù)f(x)3xeq f(1,3|x|).(1)若f(x)2，求x的值；(2)判斷x0時(shí)，f(x)的單調(diào)性；(3)若3tf(2t)mf(t)0對(duì)于teq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)恒成立，求m的取值范圍解：(1)當(dāng)x0時(shí)，f(x)3x3x0，f(x)2無(wú)解當(dāng)x0時(shí)，f(x)3xeq f(1,3x)，令3xeq f(1,3x)2.(3x)223x10，解得3x1eq r(2).3x0，3x1eq r(2).xlog3(1eq r(2)(2)y3x在(0，)上單調(diào)遞增，yeq f(1,3x)在(0，)上單調(diào)遞減，f(x)3xeq f(1,3x)在(0，)上單調(diào)遞增(3)teq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)，f(t)3teq f(1,3t)0.3tf(2t)mf(t)0化為3teq blc(rc)(avs4alco1(32tf(1,32t)meq blc(rc)(avs4alco1(3tf(1,3t)0，即3teq blc(rc)(avs4alco1(3tf(1,3t)m0，即