高代復(fù)習(xí)習(xí)題

1、填空題每小題三分，共27分， 選擇題每小題三分，共18分， 解答題共四題，共55分。了解線性變換在不同基下的關(guān)系，會求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，理解正 交矩陣的性質(zhì)，掌握歐式空間中向量的長度和夾角的性質(zhì)， 會求矩陣 的秩，掌握實對稱矩陣的基本性質(zhì)，掌握求歐式空間基的度量矩陣， 能夠求線性變換在基下的矩陣，掌握線性空間的定義和一些基本的線 性空間，掌握歐式空間中正交變換的性質(zhì)， 會求線性空間的維數(shù)和一 組基，對于實對稱矩陣會求正交矩陣使得該實對稱矩陣正交相似于對 角陣，掌握矩陣的特征值與矩陣的行列式和跡的關(guān)系，會求矩陣的最小多項式，理解矩陣可對角化的條件，掌握矩陣特征值和特征向量的 性質(zhì)，掌握對稱變換

2、的性質(zhì)，會證明空間的子空間的和是直和，掌握雙性性函數(shù)的性質(zhì)一.填空題ai bi ci1、設(shè)線性變換在基 2,%下的矩陣為a? b2 C2 ,則 在基a3 ba C3的,k孫的（k是非零數(shù)）下的矩陣為2、歐式空間中對稱線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是3、若A是n級正交矩陣，曲如，廝是A的n個列向量，那么 出、的,，廝是歐式空間Rn的.1001004、設(shè)Aa10, Bx10,則A,B相似于對角矩陣的充分cb1zy2必要條件是5、設(shè)A是一個正交對稱矩陣，則A必相似于對角矩陣6、設(shè)111,1 ,%2x,y,1，曲 01,z是3級實對稱矩陣矩陣A的屬于3個不同特征值的特征向量，那么x,y,z的值分別為7、

3、設(shè)向量a , B兩兩正交，那么 a B 丫 =18、設(shè)1,2,3是三級矩陣A的特征值，則 A1 A 9、在歐式空間R3中，基g1,1,1，的 1,2,1，電0,1,1的度量矩陣為10、設(shè)4階矩陣A的特征多項式為 入1入23 ,則矩陣A可能相似的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形有11、設(shè)A,B分別是歐式空間 V中兩組基的度量矩陣，那么A與B12、入E A與入E B等價的充要條件是 A與B2 b2213、設(shè)1, 4是矩陣A的兩個特征值，則1 卜a 1=.14、設(shè)三級矩陣A的特征多項式f入 入EA 23 2；2 3入5,則A115、設(shè)A 24 a的特征值是16,4卜2,若A相似于對角矩陣,33 5則a 12 0 016、

4、矩陣A 1 0 0 0的最小多項式為0 0 2 00 0 1217、在PXn中，線性變換 f X fX, f X PXn,在基1,X,X2, ,Xn1下的矩陣為a c 18、V|a,b,c R是實數(shù)域R上全體2階對稱矩陣關(guān)于矩陣的c b加法和數(shù)乘構(gòu)成的線性空間，令A(yù) 1 0 A 1 1 , A V,那么關(guān) TOC o 1-5 h z 110 1于基1 , 1 , 的矩陣是 0 01 0 0 11、若矩陣A,B相似，則下列說法不正確的是（）它們有相同的特征值它們有相同的特征向量它們有相同的最小多項式它們相同的秩2、設(shè)A是正交矩陣，下列說法不正確的是（）A A1|A 1 A*也是正交矩陣A的特征值

5、為13、若矩陣A與B相似，則下列說法不正確的是（）A2與B2相似對任意數(shù)a, aE A與aE B相似A與B同時相似于對角形A與B有相同的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形4、設(shè)R是實數(shù)域，下列集合不構(gòu)成實數(shù)域上線性空間Rn的子空間是（ ） n Vai,a2, ,an Rna1 0 Va色，自 Rn aj 0j inVai ,a2, ,an Rn jaj 0j i nVai,a2, ,an Rn aj 1j i5、設(shè)A, B是線性變換 在兩組基下的矩陣，那么下列最恰當(dāng)?shù)恼f法是（）A與B相似A與B合同A與B有相同的特征值A(chǔ)與B有相同的行列式6、設(shè)A,B都是n級正交矩陣，且A |B 0,那么行列式|E AB的值（）等于零

6、不等于零大于零 小于零7、如果A是n級實反對稱矩陣，那么對任意n維實向量x,內(nèi)積x, Ax等于零不等于零大于零或等于零小于零或等于零8、如果A是n級實反對稱矩陣，那么 A的特征值為（）實數(shù) i 零零或純虛數(shù)9、下列說法不正確的有（）1）正交變換的逆變換是正交變換；2 ）正交變換的乘積是正交變換；3）正交變換保持向量的夾角不變；4 ）正交變換保持向量的內(nèi)積不變；5）正交變換保持向量的長度不變；6 ）正交變換保持向量的距離不變.3個2個1個0個10、如果A是n級實對稱矩陣，那么下列說法不正確的是（）A的特征值為實數(shù)A的特征值大于零A的屬于不同特征值的特征向量必正交A的屬于不同特征值的特征向量必線性

7、無關(guān)11、設(shè)A是n級復(fù)矩陣，下列說法中，（）不是矩陣A相似于對角形的充要條件A有n個線性無關(guān)的特征向量A的初等因子全是一次的A有n個不同的特征值A(chǔ)的不變因子都沒有重根12、設(shè) 是歐式空間中的對稱線性變換，那么下列說法不正確的是的特征值為實數(shù)在任意基下的矩陣是實對稱矩陣 的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間 的屬于不同特征值的特征向量必正交13、設(shè)兒不是實對稱矩陣A的兩個不同的特征值，而己是A的屬于1的特征向量，,是A的屬于4的特征向量，那么（） , B必踐性無關(guān) , B必兩兩正交D %, B 3,0B , E 014、設(shè)2是三級實對稱矩陣A的三重特征值，那么A必與下列矩陣（相似2 0 01

8、2 00 1 22 0 00 2 00 0 22002)02001215、設(shè)a,是相互垂直的實向量，則下列式子不成立的是（15、在線性空間P3中，定義線性變換X1,X2,X3X1, 2X2 X3, 3X2 ,求一組基使得線性變換 在此基下的矩陣為對角形。16、求數(shù)字矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形17、求矩陣的最小多項式18、求正交矩陣T,使得T1AT TAT為對角形（A為實對稱矩陣）19、V Pn n是數(shù)域P上所有n級矩陣組成的線性空間，令V1A V證明：V V1 V2.A A , V2A V20、V是數(shù)域P上線性空間，是V上線性變換，且2 ，令V1aV(ra 0 , V2aV(ra a證明：V V1 V2.21、設(shè)Vi與V2分別是齊次線性方程組Xi X2Xn 0與Xi X2Xn的解空間，證明，Pn V