高等數(shù)學(xué)競賽課件微分學(xué)部分

1、精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan第二屆全國高等數(shù)學(xué)比賽培訓(xùn)第二講微分學(xué)一、一元微分學(xué)（1）導(dǎo)數(shù)（微分）的定義fx0fx0fxfaf(a)limlimxa0 xa特別地：a0,fff0fxf00)limlimx0 x0yAxx稱函數(shù)yfx在點x0處可微分，并稱Ax為函數(shù)yfx在點x0處的微分，記為dyxx0或dfxxx。當f(x)0時，稱dy為y的線性主部01）ydy是關(guān)于x的高階無量小，即limydy0；xx02）x0時，y與dy是等價無量小。3）一階微分形式的不變性：無論u是自變量還是中間變量，都有dyfudu總成立4）可微可導(dǎo)連續(xù)有極限含有抽象函數(shù)的0型極限常用

2、導(dǎo)數(shù)的定義求解：0 x2tx2t例1：設(shè)曲線yf(x)在（1，f(1)）處的切線方程為yx1，求lim0ef(1ee)dt2lncosxx0 x解：依據(jù)幾何意義可知yf(x)在（1，f(1)）處的切線方程為yf(1)f(1)(x1)與yx1對比較f(1)0,f(1)0 x2x2t1ex2tx2x2ef(1ee)dtx2f(u)duf(u)dulimlimlim2limf(e)e2x0 x2lncosxex2lncosx1x0 x0 x0 x2lncosxx04x32limf(ex2)ex22xlimf(ex2)limf(ex2)f(1)ex21f(1)1321ex212x04xx0exx0 x

3、精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan1f(a)例2：設(shè)函數(shù)yf(x)與ysinx在（0，0）處相切，求limlimxnn(a0)nxx解：函數(shù)yf(x)與ysinx在（0，0）處相切f(0)0,f(0)1f(a)f(0)1n1a1limlimxnnf(limlimxgliman1)aanxxnxnx注意：f(x0)常常包含在條件中，常常是f(x0)0如yf(x)是奇函數(shù)x(R,R)f(0)f(x)2,f(x)在x1處連續(xù)f(1)0等等0或lim1x1x還有求極限并未說明f()可導(dǎo)不可以用羅比塔法規(guī)用定義fln(1x2)exxlimf1u(x)f(1)u(x)1limta

4、nx(1x1)u(x)11x0u(x)0 xx22fln(1x2)exx13f(1)3(1)limx2limx2x0 x0與抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的命題：例3：對任意x1,x20有f(x1x2)f(x1)f(x2)且f(1)1證明:x0則f1(x)x證明:f(1)f(1)f(1)2f(1)f(1)f(1)0f(x(xhf(x)f(x)f(xhf(x)f(xh)f(x)f(x)limlimxlimxh0hh0hh0hf(xh)f(1)f(1)g1limxg11h0hxxxx例4:(1)設(shè)f(x)定義在實數(shù)集R上,對任意x1,x2恒有f(x1)f(x2)(x1x2)2求f(x)(2)f(x),g(x)都

5、定義在實數(shù)集R上,對任意的x,y恒有下式成立:f(xy)f(x)g(y)f(y)g(x)且f(0)0,g(0)1,f(0)1,g(0)0求f(x)解(1)不如設(shè)x1x2由不等式有0f(x2)f(x1)x1x2Qlimx1x20 x2x1x2x1精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan由夾逼性:limf(x2)f(x1)f(x2)f(x1)所以f(x)在xx1可導(dǎo)且0lim0 x2x1x2x2x1x2x1x1f(x1)0由x1的任意性,f(x)在實數(shù)集R上可得且f(x)0(2)limf(xy)f(x)y0yf(x)lim0g(y)1yylimf(x)g(y)f(y)g(x)f

6、(x)y0yg(x)lim0f(y)0f(x)g(1)g(x)f(0)g(x)yy(2)判斷函數(shù)的可導(dǎo)性利用導(dǎo)數(shù)存在充要條件及結(jié)論即f(x0)存在f(x0)f(x0)f(x0)記住:yf(x)xx0在x0處不行導(dǎo),在x0處連續(xù)y(xx0)xx0在x0處可導(dǎo).如y(x2x2)x3x不行導(dǎo)為x0,x10(t)dtx0 xt例5:設(shè)(x)在(,0可導(dǎo),且函數(shù)f(x)在x0可導(dǎo),求limn(2x)nx2nx0n(0),(0)并談?wù)揻(x)的存在性.解:x0時,limn(2x)nx2nlimn(2x)nx2n2(夾逼性)max2x,xnnx(t)dtx00t故f(x)2x0 x2x2x2因為f(x)在x

7、0可導(dǎo)則在x0處連續(xù),所以xlimf(x)limx0 x00(t)dtlimf(x)lim2x0,tx0 x0 xlim00(t)dtlim()(0 x)0 x0tx0所以lim()lim()(x)0Q1所以(0)lim()0 x0 x0 xxx0精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan(0)f(0)(0)f(2)f(x)練習(xí):設(shè)f(x)f(0)x(t)dt(x)(x)(0)0tlimlimlimlim(0)x0 x0 x0 xx0 xx0 x0limf(x)f(0)lim2x02因為f(x)在x0可導(dǎo)所以x0 x0 x0 x0f(x)f(2)2x4f(0)(0)=-2又f

8、(2)limlimx2x2x2x22limf(x)f(2)limx244f(2)f(2)在x2不行導(dǎo)x2x2x2x2(x)x0 x20 x2不存在x22xx21x0f(xt)dtf(x)02,令F(x)0 x0f(x)是連續(xù)的,且limxx01x1x0 x1求F(x)解:x0,F(x)1x1du1xf(u)du,F(x)1xf(u)duf(x)f(xt)dtf(u)xxx2x00000 x1,F(x)1x1x,F(x)1121x21x0時,有F(0)limF(x)F(0)1當xlimxx0 x0 x0 x0f(u)dulimf(x)1xx02xF(0)limF(x)F(0)lim1x1xlim

9、2x1x0 x0 x0 xx0 x(1x1x)所以F(0)11xf(x)2f(u)dux0 x0 x綜上,有F(x)1x0110 x121x21x練習(xí):精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplanf(x)在(,)內(nèi)有定義.x(,),f(x)kf(x2)x0,2,f(x)x(x24)(1)求f(x)在-2,0處表達式(答案:f(x)kx(x2)(x4)(2)k為什么值時?1)f(0)存在(答案:k2f(x)limx2en(x1)axb到處可導(dǎo),試確立a,b的值.(答案:a2,b1.1n(x1)ne(3)求導(dǎo)法規(guī)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)2.參數(shù)方程求導(dǎo)(二階)3.隱函數(shù)求導(dǎo)(二階)(冪指函

10、數(shù),多因子乘積,根式,乘方等)練習(xí):若方程yxt(1t)0d2y0（答案：1,2y(x)由方程組yy1求dx2te2）te0e4.高階導(dǎo)數(shù)計算簡單函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)時,先想法把f(x)表示成一些常用函數(shù)如xm,ax,1bm,lnaxb,sinaxb,cosaxb等的線性組合,再利用常用函數(shù)的axn階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo).不然利用數(shù)學(xué)歸納法平分析規(guī)律進行計算.f(x)f(n)(x)u(u1).(un1)xunxu當u為非負整數(shù)且nuf(n)(x)0ln(axb)(n1(nan1)1)!b)n(axakx(Klna)nakxsinkxknsin(kx2)coskxkncos(kx2)例:設(shè)yx(2x3)2

11、(3x1)3求y(6)精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan解:y2233x6P5(x)所以y(6)2233x6例:設(shè)y1arcsinx,求y(n)(0)1x2解:y1xarcsinx(1x2)yxy10(1x2)y3xyy01x2(1x2)1x2(1x2)y5xy4y0.(1x2)yn12n1xy(n)n2y(n1)0令x0得yn10n2yn10因為y01,y(0)y(0)0所以y2n00,y2n104n(n!)2:設(shè)yxn1lnx求y(n)解:y(n1)xn2(lnx1)n1y(n1)(n2)xn3(lnx11)(n1)!xn3(lnx11)n1n2(n3)!n1n2

12、由假設(shè)y(k)(n1)!xnk1(lnx11.1)(nk1)!n1n2nk則y(k1)(nk1)!xnk2(lnx(n2)!(n1)!xnk2(lnx(nk2)!所以對k都成立.當kn1時,y(n1)(n1)!x0(lnx1n1牛頓-萊布尼茲公式:11.1)(n1)!xnk11n1n2nk(nk1)!x1111)n1n.nknk211.11)所以y(n)(n1)!n22xn(uv)(n)Cniu(i)v(ni)i0例:f(x)(x23x2)ncosx2(n)(2)求f16解:f(x)(x1)n(x2)ncosx216精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan令u(x)(x2)

13、n,v(x)(x1)ncosx2Qu(2)u(2).u(n1)(2)016un(2)n!f(n)(2)v(2)u(n)(2)nv(2)u(n1)(2).v(n)(2)u(2)v(2)u(n)(2)n!cos416(3)利用中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)證明某些命題或不等式中值定理回顧1、羅爾中值定理：假如f(x)滿足（1）在a,b上連續(xù)；（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)f(b)；則在(a,b)內(nèi)最少存在一點，使f()0。2拉格朗日中值定理：假如f(x)滿足（1）在a,b上連續(xù)；（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)最少存在一點，使f()f(b)f(a)或f(b)f(a)f()(ba)ba3.

14、柯西中值定理:假如f(x),g(x)滿足:（1）在a,b上連續(xù)；（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)對任一點x(a,b),g(x)0;則在(a,b)內(nèi)最少存在一點，使f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)4.泰勒中值定理:假如f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)擁有直到n1階的導(dǎo)數(shù),則對任一x0(a,b),有:f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2.f(n)(x0)(xx0)nf(n1)()(xx0)n12!n!(n1)!例題選講及總結(jié):例1:設(shè)f(x)在ax1x2b上可導(dǎo),且有f(x1)f(x2)0.證明:最少存在一點x(x1,x2),使f(x)f(x)0精選教課

15、課件設(shè)計|Excellentteachingplan分析:F(x)f(x)f(x)0(exf(x)ex(f(x)f(x)0證明:設(shè):F(x)exf(x).明顯F(x)exf(x)在x1,x2上連續(xù),在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理最少存在一點x(x1,x2)使F(x)(exf(x)ex(f(x)f(x)0即f(x)f(x)0.羅爾定理的應(yīng)用：常用羅爾定理考據(jù)f()0。步驟以下：1）找出f(x)及區(qū)間a,b；2）說明f(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)；3）考據(jù)f(a)f(b)04）說明結(jié)論：“由羅爾定理”練習(xí):已知f(x)在0,1連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且f(1)0,求證:在(0,1)內(nèi)最

16、少存在一點,使得f(x)f(x)xf(x)分析:f(x)xf(x)f(x)0令F(x)xf(x)x1例3:已知f(x)在0,1連續(xù),在(0,1)可導(dǎo)且f(0)f(1)0,f()1.試證:(1,1)使f(2(1)存在)2(2)對任意實數(shù),必存在(0,),使得f()f()1分析(1)f()說明是函數(shù)F(x)f(x)x在(1,1)的零點,只要說明F(x)在1,1滿足零點定理條件即可.22(2)f()f()1f()1f()0這里F()f(),F()f()1上式為F()F()0注意到exex將上式兩邊同乘以ex即ex(F()F()0G()0此中G(x)exF(x),所以只要證明G(x)exF(x)在0,

17、滿足羅爾定理常設(shè)輔助函數(shù)有：F(x)xf(x)；F(x)xkf(x)；F(x)f(x)；F(x)exf(x)；xF(x)ekxf(x)；F(x)f(x)kx。精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan練習(xí):設(shè)fx在a,b上一階可導(dǎo)，在a,b內(nèi)二階可導(dǎo)，fafb0,fafbb0。（f(x)dx0）a證明：（1）存在a,b，使f0；（ff()）（2）存在a,b，使ff.(提示:先證F(x)exf(x)有兩個零點，再證G(x)ex(f(x)f(x)有零點。拉格朗日中值定理的應(yīng)用：常用于證明含函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值的恒等式或不等式。證不等式步驟：1）找出f(x)及區(qū)間；2）說明f(x)在a,

18、b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)；）說明結(jié)論“由拉格朗日中值定理”注：夾在中間的函數(shù)為同一種類的函數(shù)時，其不等式的證明用拉格朗日中值定理，不然利用單調(diào)性更為簡單。如：當0,cos2tantancos2；2當xy0,n1，ny(n1)(xy)xnynnxn1(xy)。證恒等式：1）試恒等式為f(x)，a,b為x的范圍；2）考據(jù)f(x)0；3）說明“由拉格朗日定理推論得f(x)C”；4）在a,b內(nèi)任取必定值x0代入f(x)中，求得常數(shù)Cf(x0)。如arctanx1arccos2x421x2證含有函數(shù)f(x)及導(dǎo)函數(shù)f(x)的等式。例4：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0。證明

19、：在(a,b)內(nèi)至少存在一點,，使得f()ebeaef()baf()ebeaf()f(b)f(a)分析：將變形為ba則只要將f(x)在a,b上應(yīng)用f()bef()f(b)f(a)aeebea拉格朗日中值定理，將f(x)與ex在a,b上應(yīng)用柯西中值定理精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan練習(xí):設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：在(a,b)內(nèi)最少存在一點，使得bf(b)af(a)f()f()ba設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。且f(a)f(b)1。試證：存在,(a,b)，使得ef()f()1。提示：可設(shè)F(x)exf(x)再令g(x)

20、ex分別在應(yīng)用拉格朗日中值定理。例5：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明在(a,b)內(nèi)最少存在一點，使得bab(ba)3f()f(x)dx(ba)f()a224證明：設(shè)F(x)xab處睜開成三階泰勒公式，得f(t)dt，將F(x)在xa2abababF(ab)abF(3)()abF(x)F()2(x23)F()(x22!)(x)2223!2此中在x與ab之間。令xa,xb得2F(a)F(ab)F(ab)baF(a2b)(ba)2F(3)(1)(ba)31(a,2222!23!2F(ab)(3)b)2F(b)F(ab)F(ab)ba2(ba)2F(2)(ba)32(a2222!23!2b

21、將上兩式相減，并注意F()0,()(),F(x)f()有：aFbftdtxab3(ba)f(1)f(2)f(x)dx(ba)f(ab)a2242因為f(x)在區(qū)間a,b上二階連續(xù)可導(dǎo)，由介值定理，存在(1,2)使得b3f(1)f(2)(ba)f()。f()所以f(x)dx(ba)f(ab)2a224b2,b)例6：設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a,上擁有二階導(dǎo)數(shù)，fxM0，0fxax.證明：fx2M0M2M2，證明：關(guān)于xa,)及h0有泰勒公式：精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplanf(xh)f(x)f(x)hf()h2,xxh2!ff(xh)fxfh(x)h2f(x)f(xh)fxf

22、hf(xh)fxfhh2h2f(x)2M0M2h對h0都成立。令g(h)2M0M2hh2h2求g(h)2M0M2h在(0,)內(nèi)的最小值，g(h)2M0M2,g(h)4M0h2h22h3令g(h)0h2M0是唯一駐點g(2M0)0，M2M2ming(h)g2M02M0M2當h2M0，f(x)2M0M2h成馬上：h0M2M2h2fx2M0M2。(4)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性1）假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f(x)0，則f(x)在(a,b)2）假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f(x)0，則f(x)在(a,b)2函數(shù)的極值內(nèi)是嚴格單調(diào)增添；內(nèi)是嚴格單調(diào)減少。1）函數(shù)f(x)在點x0

23、的鄰域內(nèi)有定義x(x0,x0)U(x0,x0)，有f(x)f(x0)，則f(x0)為一個極大值，x0是一個極大值點；x(x0,x0)U(x0,x0)，有f(x)f(x0)，則f(x0)為一個極小值，x0是一個極小值點；注：極值是考慮函數(shù)在局部范圍內(nèi)取值狀況；使函數(shù)獲得極值的點x0稱為函數(shù)的極值點。2）極值存在的必需條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)且在x0處獲得極值，則f(x0)0。3）極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在x0處連續(xù)，則精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan當f(x)的符號在x0雙側(cè)左正右負時，f(x0)為極大值。當f(x)的

24、符號在x0雙側(cè)左負右正時，f(x0)為極小值。2）極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處二階可導(dǎo)且f(x0)0,f(x0)0，則當f(x0)0時，f(x0)為極小值；當f(x0)0時，f(x0)為極大值。3函數(shù)最大值、最小值某函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則可先求出函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)全部駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點處的函數(shù)值并與f(a),f(b)比較，此中最大者是函數(shù)f(x)在a,b上的最大值，最小者是函數(shù)f(x)在a,b上的最小值。4曲線的凹凸性與拐點1）若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)且有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則當f(x)0時，曲線yf(x)是凹??；當f(x)0時，曲線yf(x)是凸弧。連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為拐點。2）曲線拐點的鑒識若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)擁有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x)，而且f(x0)0。假如f(x)在x0左右雙側(cè)符號相反，則點(x0,f(x0)就是曲線yf(x)的拐點。二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，也可能是曲線的拐點。5、曲線的曲率、曲率半徑若函數(shù)yf(x)在點x處二階可導(dǎo)，1）在點(x,y)