經(jīng)濟運行的數(shù)學(xué)分析

1、經(jīng)濟運行的數(shù)學(xué)分析研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的開展趨勢和開展速度，歷來受到各國經(jīng)濟、統(tǒng)計學(xué)家的重視，被列為重點研究課題。而迄今為止，動態(tài)分析理論本身所具有的局限性，使得經(jīng)濟、統(tǒng)計學(xué)家及統(tǒng)計工常常處于一種難于解脫的困境與矛盾之中。簡單地說，詳細表如今：(1)沒有同“累計法平均開展速度相對應(yīng)的平均增長量的概念和計算公式；(2)對含有負數(shù)的時間數(shù)列無法進展速度分析；(3)根據(jù)平均增長量、“程度法平均開展速度得出的結(jié)論經(jīng)常與事實相悖。本文將針對這些問題，提出和引進新的概念與方法，對動態(tài)分析的理論根底重新進展考察，以解決上述出現(xiàn)的和現(xiàn)實經(jīng)濟生活中存在的問題與矛盾。一、動態(tài)分析的分類方法為了闡述的方便，在這里把經(jīng)濟

2、時間數(shù)列的開展變化稱做經(jīng)濟運行。在對經(jīng)濟運行動態(tài)考察分析時，以下將采用類似于物理學(xué)中考察物體直線運動時的那種處理方法，即首先拋開本文是?經(jīng)濟運行的定量分析與系統(tǒng)分析?課題報告的主要內(nèi)容，此課題曾榮獲國家統(tǒng)計科學(xué)研究成果獎，本文有所增刪。詳細研究對象，把經(jīng)濟時間數(shù)列抽象成一個沒有質(zhì)的差異的時間數(shù)列。然后在增長量分析中，以逐期增長量為標(biāo)準(zhǔn)；在速度分析中，先把開展速度從標(biāo)量定義引伸為矢量定義，再以環(huán)比開展速度為標(biāo)準(zhǔn)。對經(jīng)濟運行進展分類考察，并給出相應(yīng)的運動規(guī)律。二、經(jīng)濟運行的增長量分析在下面的增長量分析中，以逐期增長量為標(biāo)準(zhǔn)，對經(jīng)濟運行的方式進展分類考察，共有三種運行方式：(一)恒量運行一個經(jīng)濟時間

3、數(shù)列a0，an-1，假如它的各期開展程度都相等，這種運行就叫做經(jīng)濟的恒量運行，簡稱恒量運行。即：ai=aj(i,j=0,1,n-1)(1)(二)勻增長量運行一個經(jīng)濟時間數(shù)列，假如它的逐期增長量都相等，這種運行就叫做經(jīng)濟的勻增長量運行，簡稱勻增長量運行(從數(shù)學(xué)角度看，此時構(gòu)成一等差數(shù)列)。即：d=ai+1-ai(i=0,1,n-1)(2)或aj=ai+(j-i)d(i,j=0,1,n-1)(3)此時逐期增長量d為一常數(shù)。平均開展程度(序時平均數(shù))a的公式可簡化為：aia0+an-1a(i=0,n-1)(4)n2累計和s的公式可簡化為：n(a0+an-1)s=(5)2非常顯然，恒量運行就是增長量為

4、0的勻增長量運行，是后者的特殊情形。在公式(3)中，假如令j=n-1，i=0。an-1-a0那么d(6)n-1這就是現(xiàn)有經(jīng)濟統(tǒng)計原理中的平均增長量的計算公式，但它僅僅合適于勻增長量運行。而無論恒量運行還是勻增長量運行，其平均增長量就等于逐期增長量，因此，此時沒有必要專門討論其平均增長量。(三)變增長量運行一個經(jīng)濟時間數(shù)列，假如它的逐期增長量不相等，這種運行就叫做經(jīng)濟的變增長量運行，簡稱變增長量運行，其逐期增長量是一個變量。經(jīng)濟的恒量運行和勻增長量運行，都是對實際經(jīng)濟運行理想化的抽象，在經(jīng)濟生活一般是不存在的?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活中，大量的、最為普遍的是變增長量運行，對于這種運行方式，如何說明在一定時期

5、內(nèi)平均每期增長的數(shù)量呢？假設(shè)從a0到an-1有平均增長量d，那么d滿足以下方程：(a0+d)+(a0+(n-1)d)=ai(7)2(ai-a0)即d=(8)n(n-1)這種平均增長量計算方法的本質(zhì)：從開展程度看，是要求各年根據(jù)d所推算的累計總和與各年實際所具有的程度總和相一致，見方程(7)；從增長量看，是要求各年根據(jù)d推算的累計增長量總和與各年實際累計增長量總和相一致。即：d+2d+(n-1)d=(ai-a0)(i=1,n-1)非常顯然，勻增長量運行就是逐期增長量為常數(shù)的變增長量運行，是后者的特殊情形，所以公式(8)才是普遍適用的平均增長量的計算公式。為了區(qū)分說明這個平均增長量和現(xiàn)有經(jīng)濟統(tǒng)計原

6、理中的平均增長量之間的本質(zhì)性差異，把前者定義的叫做“累計法平均增長量，簡稱累計平均增長量，而把后者定義的叫做“程度法平均增長量。在此，值得說明的是，上述的討論適用于包含有零值負值的時間數(shù)列，無論它們是出如今基期、報告期，還是中間開展程度。三、開展速度的矢量定義經(jīng)濟時間數(shù)列負值的存在性，迫使人們考慮此時的速度分析方法。如何給出一個包含負數(shù)時間數(shù)列的開展速度呢？其實答案非常簡單，即只要把開展速度從原來的只有大小沒有方向的標(biāo)量定義，引伸為如今的既有大小又有方向的矢量定義，那么問題將迎刃而解。即開展速度仍是報告期開展程度和基期程度之比，它是說明社會經(jīng)濟敁開展方向敋和開展程度的相對指標(biāo)。報告期程度aj開

7、展速度q=基期程度a0下面根據(jù)基期a0的正負，分別討論開展速度q所代表的經(jīng)濟涵義。為使討論表達方便起見，不妨假設(shè)時間數(shù)列代表某企業(yè)的利潤額。a00，基期盈利。(1)aj0，報告期仍盈利，開展速度q0；此時恰好就是現(xiàn)有統(tǒng)計理論中的開展速度，稱為第一類正開展速度，簡稱開展速度，說明企業(yè)在基期與報告期都盈利。它是一種最為常見的開展速度。(2)aj=0，報告期利潤額為零，開展速度q=0；稱為第一類零開展速度，說明企業(yè)由基期的盈利轉(zhuǎn)變?yōu)閳蟾嫫诘牧憷麧欘~。(3)aj0，報告期虧損，開展速度q0；出現(xiàn)負開展速度，稱為第一類負開展速度，說明企業(yè)由基期的盈利轉(zhuǎn)變?yōu)閳蟾嫫诘奶潛p。a00，基期虧損。(1)aj0，報

8、告期盈利，開展速度q0；也出現(xiàn)負開展速度，稱為第二類負開展速度。說明企業(yè)由基期的虧損轉(zhuǎn)變?yōu)閳蟾嫫诘挠?，同第一類負開展速度的經(jīng)濟含義完全相反。(2)aj=0，報告期利潤額為0，開展速度q=0；稱為第二類零開展速度，說明企業(yè)由基期的虧損轉(zhuǎn)變?yōu)閳蟾嫫诘牧憷麧欘~。(3)aj0，報告期繼續(xù)虧損，開展速度q0，稱為第二類正開展速度，說明企業(yè)在基期與報告期都虧損。此時，仍定義：增長速度=開展速度-1四、經(jīng)濟運行的速度分析在下面的速度分析中，以環(huán)比開展速度為標(biāo)準(zhǔn)，對經(jīng)濟運行進展分類考察，共有三種運行方式：(一)恒量運行見前，此時開展速度恒為1。(二)勻開展速度運行一個經(jīng)濟時間數(shù)列，假如它的環(huán)比開展速度為正且

9、相等，這種運行就叫做經(jīng)濟的勻開展速度運行，簡稱勻開展洈速度運行(從數(shù)學(xué)角度看，此時構(gòu)成一等比數(shù)列)。即：ai+1q=(i=0,1,n-1)ai或aj=aiqj-i(i,j=0,1,n-1)(9)此時環(huán)比開展速度q為一正常數(shù)。累計和s的公式可寫為：a0(qn-1)s=當(dāng)q1時q-1s=na0當(dāng)q1時十清楚顯，恒量運行就是開展速度為1的勻開展速度運行，是后者的特殊情形。在公式(9)中，令j=n-1，i=0，那么可得：n-1an-1q=(10)a0這就是“程度法平均開展速度的計算公式。但明顯的是：從方法論的角度看，它僅僅適用于勻開展速度運行。而勻開展速度運行的平均開展速度就等于環(huán)比開展速度，因此，此

10、時沒有必要專門討論其平均開展速度。當(dāng)然，對于人口(這種具有數(shù)學(xué)意義上的馬爾可夫性arkv)時間數(shù)列，由于往往側(cè)重于考察期未程度，那么可例外。(三)變開展速度運行一個經(jīng)濟時間數(shù)列，假如它的環(huán)比開展速度不相等或相等且為負，這種運行就叫做經(jīng)濟的變開展速度運行，簡稱變開展速度運行。經(jīng)濟的勻開展速度運行，同樣是對現(xiàn)實經(jīng)濟運行的理想化抽象，在經(jīng)濟生活中一般是不存在?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活中，大量的、最為普遍的是變開展速度運行。對于這種運行方式，如何說明在一定時期內(nèi)每期平均開展變化呢？假設(shè)從a0到an-1有平均開展速度x，那么x滿足以下方程：大家知道，即使對于一個正時間數(shù)列，如何簡捷、可行地求解它所形成的高次方程(1

11、1)，都一直成為各國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)家研究和急待解決的重大難題；更何況如今取消了時間數(shù)列為正的限制，其困難將成倍的增加。令人欣喜的是，經(jīng)過一年多艱辛的探究與努力，筆者已構(gòu)造出一整套系統(tǒng)解決上述難題的計算技術(shù)，并研制出同累計平均增長量相配套可供實際大規(guī)模應(yīng)用的計算機程序。由于筆者準(zhǔn)備提供給用軟件而不是計算技術(shù)，所以在此省略極其復(fù)雜的中間過程，僅給出關(guān)鍵性的結(jié)論。定義：一個經(jīng)濟時間數(shù)列a0，an-1，假設(shè)a00。假如aia00，那么稱經(jīng)濟時間數(shù)列從a0到an-1是同向性的；并且a00，稱做第一類同向性；a00時，稱做第二類同向性。相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類正(累計)平均開展速度(其經(jīng)濟涵義參

12、見開展速度，后同)。假如aia0=0，那么稱經(jīng)濟時間數(shù)列從a0到an-1處于臨界態(tài)；并且a00，稱做第一類(或盈虧)臨界態(tài)；a00時，稱做第二類(或虧盈)臨界態(tài)。相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類零(累計)平均開展速度。假如aia00，那么稱經(jīng)濟時間數(shù)列從a0到an-1是異向性的；并且a00時，稱做第一類異向性；a00時，稱做第二類異向性。(當(dāng)n為奇數(shù)時，需滿足一定條件下)相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類負(累計)平均開展速度。十清楚顯，這種累計平均開展速度計算方法的本質(zhì)，是要求各年根據(jù)x所推算的累計總和與各年實際所具有的程度總和相一致。五、動態(tài)分析的一些原那么在動態(tài)分析中，過去由于采用了“程度法平

13、均增長量和平均開展速度，導(dǎo)致所推算的累計總和不相等，與實際程度總和也不相等。所以，往往只進展速度分析，而不進展增長量分析和實證分析。然而如今，隨著累計平均指標(biāo)的應(yīng)用，這些問題與矛盾都將迎刃而解。為了表達動態(tài)分析是增長量分析與速度分析的統(tǒng)一有機體，是一種定量化的實證分析方法；同時，也是為了更加完好地說明經(jīng)濟開展變化情況，結(jié)合原有的動態(tài)分析理論，明確提出以下一些動態(tài)分析的原那么。序時平均數(shù)原那么：在動態(tài)分析中，一般應(yīng)該給出這一時期的序時平均數(shù)，以說明經(jīng)濟的平均開展程度。增長量原那么：一般應(yīng)該給出這一時期的累計平均增長量，以說明每期平均增長的數(shù)量?；谶x擇原那么：應(yīng)用累計平均指標(biāo)，在很大程度上減弱了

14、建立在兩根支柱之上的“程度法的缺乏，但并沒有(也無法徹底)擺脫易受不同的參照基準(zhǔn)基期影響的缺陷。為了更加真實、準(zhǔn)確地考察經(jīng)濟開展情況，歸納出以下一些基期原那么。(1)政治原那么：在動態(tài)分析中，有時以特定的歷史時間的經(jīng)濟量做為基期來進展分析，把這種選擇方式稱為基期的政治原那么。例如，以1945年的經(jīng)濟量為基期來考察二戰(zhàn)后世界經(jīng)濟開展情況。(2)侏儒原那么：以某一歷史時期中的經(jīng)濟量處于“底谷點的年份為基期，來考察經(jīng)濟開展情況，從而“跨大了經(jīng)濟開展速度和增長量。(3)中庸原那么：以某一歷史時期中的經(jīng)濟量處于中間程度的年份為基期，以便比擬“公正地考察經(jīng)濟開展情況。(4)巨人原那么：以某一歷史時期中的經(jīng)

15、濟量處于“頂峰點的年份為基期來考察經(jīng)濟開展情況，從而“降低了經(jīng)濟開展速度和增長量。(5)平均值原那么：在對不同經(jīng)濟指標(biāo)，或?qū)Σ煌髽I(yè)、地區(qū)、部門、國家同一時期的經(jīng)濟開展情況進展考察時，由于它們可能處于上述不同的基期原那么，所以往往把連續(xù)三年或五年的簡單算術(shù)平均數(shù)看做是中間一年的值，并以此值為基期，以便比擬“公正地對上述相應(yīng)指標(biāo)的開展情況進展考察(由累計法易知，此時不包括基期值推算的累計和等于實際累計和)。項數(shù)的偶數(shù)原那么：在動態(tài)分析中，規(guī)定把異向性時間數(shù)列考察期的項數(shù)取為偶數(shù)，以確保此時累計平均開展速度的存在，從而進展速度分析。六、一些結(jié)論通過以上問題的提出、分類、定義、推導(dǎo)求解、以及計算機軟

16、件、實際應(yīng)用結(jié)果和闡述，筆者希望可以得到下述結(jié)論：已建立了一套更加普遍和適用的動態(tài)分析的理論框架：在理論上對經(jīng)濟運行進展了分類；界定了累計平均增長量，矢量開展速度；并且系統(tǒng)、簡捷、可行地解決了適用于同向性、臨界態(tài)和異向性時間數(shù)列的累計平均增長量、累計平均開展速度的計算問題。用累計平均增長量和累計平均開展速度所推算的累計總和相等，且等于實際(程度總和)，這就消除了用“程度法平均增長量和平均開展速度計算的累計總和與實際程度總和之間的差額，使它們有機地統(tǒng)一起來，從而表達出經(jīng)濟分析的實證原那么和起始于亞當(dāng)斯密時代的國民財富的積累原那么。經(jīng)濟的恒量運行、勻增長量運行、勻開展速度運行，都是一種理想狀態(tài)下的經(jīng)濟運行方式；而現(xiàn)實經(jīng)濟生活那么是變增長量運行、變開展速度運行。假如我們無視現(xiàn)實經(jīng)濟生活的特征，無視過程的變化而進展分析考察，雖然到達了計算、分析簡化的目的，但可能使我們陷入偏離現(xiàn)實的危險；而用偏離現(xiàn)實的分析做根底來指導(dǎo)現(xiàn)實經(jīng)濟生活，將使我們離生活更遠！從實際結(jié)果看，我們已運用所編制的程序分別計算了中國、甘肅省的15項經(jīng)濟指標(biāo)的累計平均指標(biāo)，均獲得成功。筆者相信并希望：已給出的方法和編制的程序適用于任何時間數(shù)列，在國民經(jīng)濟方案、統(tǒng)計工作中，將會得到廣泛的應(yīng)