概率統(tǒng)計(jì)2第四章

1、Chap4數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識在實(shí)際生活中，可能不知道隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布是什么概型，或者僅知道概型但不知道其參數(shù)。這些都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要解決的首要問題。數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀規(guī)律作出種種合理的估計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)推斷數(shù)理統(tǒng)計(jì)的矩估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 極大似然估計(jì) 參數(shù)估計(jì) 統(tǒng)計(jì)估計(jì)期望的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷方差的區(qū)間估計(jì)非參數(shù)估計(jì)期望的假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)方差的假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：分布函數(shù)的檢驗(yàn)4.1總體和樣本總體：研究對象的全體.：總體中的每個(gè)成員.實(shí)際上，常把都量化后進(jìn)行研定義：究. 所以在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，總體：隨量（向量）X .總體分布：總體 X 所服從的分

2、布.Remark以某公司服務(wù)X 可為隨為例：量， 如 X “服務(wù)質(zhì)量”，或）.隨機(jī)向量， X （服務(wù)質(zhì)量，按特性進(jìn)行量化. 如，服務(wù)質(zhì)必須將量按由高到低可量化為10,9,1.總體分布一般未知. 或者知道類型而不知參數(shù)，或者連類型都不知.從總體 X 中隨機(jī)抽取則 (n 個(gè),n為) 總體 X 的一個(gè)樣本，或子樣， n 稱為樣本容量.（1）獨(dú)立性若還滿足：相互獨(dú)立；n（2）代表性：每個(gè)則(與 X 同分布；Xi為) 簡單隨機(jī)樣本.而獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法，稱為簡單隨機(jī)抽樣.簡單隨機(jī)樣本簡稱為樣本.往后，Remark簡單抽取樣本僅是心中理想.事實(shí)上，總體總是有限，所作抽樣也多為無放回抽樣，因此沒有獨(dú)

3、立性；而樣本中的每個(gè)分量既不同分布，亦不相互獨(dú)立.只有當(dāng)總體很大時(shí)，無放回抽樣與有放回抽樣區(qū)別很小時(shí)，才可近似地將所得樣本視為簡單隨機(jī)樣本.一些基本概念樣本值對樣 (具)體觀察抽樣結(jié)果后，所得的具體觀察值稱) 為(個(gè)樣本值.(的)一樣本值的全體.樣本空間樣本分布若總體X)x 則,樣本F(的)nF (分布函數(shù)n(F ) xi 12 )x 1)F(x)(2niX若 X 為連續(xù)型，X 則樣本密度f (x),n) f ( x1 , x 2 , , x nf ( x i ) .i 1 x 若 X 為離散型，P X樣本概率分布為p ( x ) , 則p( x1 , x2 , , xn ) P X 1 x1

4、 , X 2 p( xi ).i 1 x2 , , X n xn n正態(tài)總體N( ,2X)樣本密度n) i 1f(x (i) 2n1 1n2 2e2Bernoulli總體1X01 Ppp樣本的概率分布(1 p)nsnPX i , X i , Xi spn1122nnsn i1 i2 in.其中Poisson總體)P ( X樣本的概率分布P X 1 i1 , X i2 , , X s n in e n 2n ikn e ik !i1 ! i 2 !i n !k 1其中sn i1 i2 in.4.2統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量為) 總體 X 的一個(gè)樣本，不) 含總體分布未知參為) 該樣本的統(tǒng)設(shè)(函數(shù)g(數(shù)，則

5、g稱(計(jì)量.可見，統(tǒng)計(jì)量為樣本的隨機(jī)向量函數(shù).常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值 XXX21nnS 2未修正樣本方差0ii 1n 1 XX2S 2修正樣本方差in 1i1XX2n 1 樣本標(biāo)準(zhǔn)差S in 1i1k常用統(tǒng)計(jì)量n1 樣本k 階原點(diǎn)矩k iAXkn1ni 1XX kni 1樣本 k階中心矩Bki以上的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)稱為樣本的矩統(tǒng)計(jì)量，簡稱樣本矩.順序統(tǒng)計(jì)量對于樣本() 將,其分量由小到大排列為則稱) ,( n( n )為樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)量，X () 為第 i個(gè)順序i統(tǒng)計(jì)量，X (為)樣本的極小值，極大,X(X n(1 為)1)值，X (極差.)n樞軸量設(shè)(U (為)總體 X 的樣本，含) 未知參數(shù) ,但

6、服)從已知分布，則為)樞軸量.樞U(U稱(軸量用來對參數(shù) 進(jìn)行推斷。4.3常用的統(tǒng)計(jì)分布設(shè) X F (x), ( 0, 1).若 F滿足PX F ,則稱 FQuality為 F (x) 的水平的上側(cè)分位數(shù).F (F ) 1 .(1)f (x)（2）若 F(x) 嚴(yán)格遞增，則f (x)F 1 (1 ) .F（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0,1) 的oxF水平的上側(cè)分位數(shù)且有 0 (u ) 1 通常記為u ,.(4.10)P( X F1 ) 1 P( X(4.11) F1 ) P( X F / 2 ) / 2, P( XF1 / 2 ) 1 / 2) 1 1 P(F X F1 / 2 / 222若 F

7、 ( x ) 為對稱分布（即其密度函數(shù) f ( x ) 為偶函滿足P | X | T , 則稱TF ( x)數(shù)），且T為的水平的雙側(cè)分位數(shù)，簡稱分位數(shù).Quality 若 F ( x) 為對稱分布，則F F1 ;(1)( 2 )TFX;N ( 0 ,1) ,2T u特別地，若則2 .FigureXN (0,1)yx21(x) e2222u 2uox22 分布度為n 的 2布，記為分X X 服從2(n )X其2可表,n相互獨(dú)立，且XX(0N,1), i1,2n,.i的密度函數(shù)為n1 x2,11 (2 x;n ) xxe0.2n n 2 2 2 Figureyn 1n 2n 3n 4n 10n 2

8、00.5xo5101520253035Quality1（1） 2 (2) 即e () .2（2）n 2 時(shí)， 2 (x; n) 在x n2 取最大值.lim 2 ( x ; n ) 0.2（3）x lim( x ; n ) ( x ; n ) ( x ; n ) （4） n 1 時(shí)，n 2 時(shí)，n 2 時(shí)，;x 0 2lim0 . 5 ;0 .0 x 2lim0 x Quality（5）若 X 2 (m), Y 2 (n),且 X , Y 相互獨(dú)立，則 2 ( m n ) .X Y ( 2 n 1)! .（6）若 X N ( 0 ,1) , 則2 nEX 2 ( n ) ,（7）若 X則EXn

9、 , DX2 n .n （8）由中心極限定理，當(dāng)時(shí)， 2 (n)近似于正態(tài)分布 N( n , 2 n ) .Figurey 2 (x;200)( x200)21(x) 2202e2 20N (200,400)x例. 習(xí)題11,3 4/ 則 3/3，/ 32N(0,1)/ 2322(2)c1 /,n3分布F度為 m,度為n)nX 服從第一第二的 F 分布，記X為m ,F(m ,YX可表為XZ,n(m2 Y其中Y, 相互, Z獨(dú)立.2)Z(n) X的密度函數(shù)為m 1 21 (mn), m m x 1 m x 12)nx 0(x;m , n nm nnB ,22 Figuref (x; m, n)m

10、 1, n 10m 2, n 10m 10, n 10m 10, n 50m 10, n (108 )xoQuality（1）m 1時(shí)，f (x;1, n)f (x;1, n) 0 )，嚴(yán)格下降(limf ( x; m , n ) ,f ( x; m , n ) 0 .limx 0 x （2）m 2時(shí)，f (x; m, n) 嚴(yán)格下降，limf ( x; m , n ) 1,f ( x; m , n ) 0 .limx 0 x （3）m 2時(shí)，f (x; m, n) 為單峰函數(shù)，且最大點(diǎn)為m 2nx ,n m2limf ( x; m , n ) f ( x; m , n ) 0 .limx 0

11、 x Quality1（4）若 X F ( m , n ) , 則F ( n , m ) ,X1所以F( m , n ) .F( n , m )1 / m令Y / m , PY F (m, n) P F(m, n) / n / n P / n 1 1 F(n, m)1 / mF (m, n)F (m, n)t服從可表為 T分布度為n 的 t布，記為分TTt (n )XY T,n2X其中X) 相,互Y獨(dú), 立.(N 0,1) Y,n(X 2/1T 2F(1 n,)Y/nT的密度函數(shù)為 n 1x 2112 1 x ;n), x. t ( 1n nnB , 22 Quality（1）t (n )為對

12、稱，單峰分(n)n 50 時(shí), )t（2）當(dāng) n 充分(大)近似于( N0(n,1)（3）t (n )具有雙側(cè)分位數(shù)Figureyt(x; n)n 1n 2n 5n 10n 50n (108 )0.4x221e (x) 020.20.1xo 5 3 4 21351244.4抽樣分布抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量（或樞軸量）的分布.小樣本統(tǒng)計(jì)推斷：利用精確分布對未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.大樣本統(tǒng)計(jì)推斷：當(dāng) n 充分大時(shí)，用極限分布作近似，對未知參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.正態(tài)總體Th4.1設(shè)總體 XN,)2(為 X 的一個(gè)樣本，則：2 N , n(1)X;2) n 1n 12(2 2 S;(3) X2 相互獨(dú)立.與S單正態(tài)

13、總體的抽樣分布Th4.2設(shè)總體 XN,)2(為 X 的一個(gè)樣本，則： X0, 1(1)UnN;n1n 122(2)S;2 X t n 1 (3)T.SnRemark雖然 U 的分布最簡單，但 U 含兩個(gè)參數(shù),2,當(dāng),2均未知時(shí)， U 沒有研究價(jià)值；而n 12T均只含一個(gè)參數(shù)，故地用于參S,2數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷.值得留意的是，當(dāng) n 充分大時(shí)，Ta(N0,1)而且 n 50時(shí)精確程度相當(dāng)高，這也是 T 比U 更有研究價(jià)值的理由.雙正態(tài)總體的抽樣分布,N ) 2,YN(Th4.3設(shè)總體X22(, X) Y,112相互獨(dú)立.(及樣本方差分別記為X為) X 的樣本, 樣本均值Y 的S2(Y;1,Y2, ,nY為)記,12S2樣本，樣本均值及樣本方差分別記為Y,.2n1 1n2 1S2S22S,122n 2nnn1212稱為S的平均.則:21S2,2X Y U12(1 )N( 0 ,1 ) ;221n 122n222SF1( 2 )F ( n 11 ,n1 ) ;22122S當(dāng) 222時(shí)，（3）12X Y T12t ( n 1n2 ) .211Sn 1n2依分布收斂設(shè)X F ( x ) , 若 lim Fn ( x ) Fn ( x