高二物理競賽課件：量子力學之一維諧振子問題

1、一維諧振子問題2一維諧振子問題1、寫出Hamilton2、列出定態(tài)S方程3、變量代換、簡化方程：變系數(shù)二階常微分方程4、求漸進解5、用標準條件定漸進解6、設(shè)精確解7、得到 H( ) 所滿足的方程8、 H( )的級數(shù)解F = - k x39、代入關(guān)于H( ) 的方程10、得到系數(shù) bk 的遞推關(guān)系11、用有限條件定解，看無窮級數(shù)收斂性12、相鄰項之比：無窮級數(shù)等同冪級數(shù) 發(fā)散13、從某一項截斷變成一個多項式量子化結(jié)果14、得到厄密多項式解15、寫出波函數(shù)16、確定歸一化系數(shù)一維簡諧振子問題分步積分4（5）求歸一化系數(shù)作變量代換， ( 分 步 積 分 )5多項式與 exp-2 的乘積，當 =后，該

2、項為零。再分步積分繼續(xù)分步積分到底6因為Hn的最高次項 n的系數(shù)是2n，所以 于是歸一化系數(shù)則諧振子 波函數(shù)為：7基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導出諧振子波函數(shù)(x)的遞推關(guān)系練習：推導諧振子波函數(shù)(x)的遞推關(guān)系8910 H0 = 1 H2 = 42-2 H4 = 164-482+12 H1 = 2 H3 = 83-12 H5 = 325-1603+120下面給出前幾個厄密多項式具體表達式：11討論1、上式表明，Hn()的最高次項是(2)n。所以： 當 n=偶，則厄密多項式只含的偶次項； 當 n=奇，則厄密多項式只含的奇次項。2. n 具有 n 宇稱上式描寫的諧振子波函數(shù)所包含的 exp-2/

3、2是的偶函數(shù)，所以n的宇稱由厄密多項式 Hn() 決定為 n 宇稱。123. 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量 ，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)。13能級與波函數(shù)n = 0n = 1n = 2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2H0=1 H2=42-2 H4 = 164-482+12 H1=2 H3=83-12 H5=325-1603+12014量子與經(jīng)典的區(qū)別然而，量子情況與此不同，對于基態(tài)，其幾率密度是： 分析上式可知：一方面表明在 = 0 處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在| 1 范圍中運動。這是因為振子在這一點(| = 1)處，其勢能即勢能等于總能量，動能