南京航空航天大學(xué)灰色系統(tǒng)控制

1、精品課程建設(shè)組灰色控制1 灰色控制是指本征性灰色系統(tǒng)的控制，包括一般控制系統(tǒng)含有灰參數(shù)的情形以及以灰色系統(tǒng)方法為主構(gòu)成的控制等。本章主要內(nèi)容包括灰色線性控制系統(tǒng)、灰色傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)、灰色關(guān)聯(lián)控制、去余控制和灰色預(yù)測(cè)控制等。13. 1 控制與灰色控制 作為一種科學(xué)概念，控制就是施控裝置對(duì)受控裝置所施加的一種特定作用，是一種有目的、有選擇的能動(dòng)作用。一個(gè)控制系統(tǒng)，至少要有施控裝置、受控裝置和信息通道三個(gè)組成部分。僅含上述三個(gè)組成部分的控制系統(tǒng)稱為開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)，如圖所示。2 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)較為簡(jiǎn)單，由輸入直接控制輸出，其致命弱點(diǎn)為抗干擾性差。帶有反饋回路的控制系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖所示。閉環(huán)控

2、制系統(tǒng)通過(guò)輸入以及輸出的回輸共同作用來(lái)實(shí)現(xiàn)控制。 閉環(huán)控制系統(tǒng)的突出特點(diǎn)是抗干擾能力強(qiáng)，其輸出能夠始終圍繞預(yù)定目標(biāo)擺動(dòng)。因此，閉環(huán)控制系統(tǒng)具有某種穩(wěn)定性。 所謂灰色控制是指對(duì)本征性灰系統(tǒng)的控制，包括一般控制系統(tǒng)含有灰參數(shù)的情形以及運(yùn)用灰色系統(tǒng)的分析、建模、預(yù)測(cè)、決策思路構(gòu)造的控制?；疑刂频乃枷肽軌蚋羁痰亟沂締?wèn)題的本質(zhì)，更有利于控制目的的實(shí)現(xiàn)。313.2 灰色線性控制系統(tǒng)定義13.2.1 設(shè) 為控制向量， 為狀態(tài)向量， 為輸出向量，稱為灰色線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其中 。相應(yīng)地，稱 灰色狀態(tài)矩陣， 為灰色控制矩陣， 為灰色輸出矩陣。 有時(shí)候，為特別強(qiáng)調(diào)U, X, Y的時(shí)變性，即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征

3、，也將控制向量、狀態(tài)向量、輸出向量分別記為 。 灰色線性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中的第一組方程稱為狀態(tài)方程，第二組方程稱為輸出方程。4定義13.2.2 對(duì)于給定的時(shí)刻 和預(yù)定精度，若存在 ，根據(jù)系統(tǒng)在 之間的輸出 ， ，能夠按所需的精度測(cè)定系統(tǒng)狀態(tài) ，則稱系統(tǒng) 在內(nèi)是可觀測(cè)的；若對(duì)任意的 ，系統(tǒng)在 內(nèi)可觀測(cè)，則稱系統(tǒng)可觀測(cè)。定義13.2.3 對(duì)于給定的精度和目標(biāo)向量若有施控裝置及控制向量 ，通過(guò)控制輸入可使系統(tǒng)輸出 按要求的精度達(dá)到目標(biāo),則稱系統(tǒng)是可控的。定義13.2.4 當(dāng)對(duì)系統(tǒng)的初始值施加一個(gè)擾動(dòng)時(shí)，若 其響應(yīng)（輸出）的幅值有界，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 其響應(yīng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后能最終回到初始狀態(tài)，則稱該

4、系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的； 其響應(yīng)的幅值無(wú)界，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。通常所說(shuō)的系統(tǒng)穩(wěn)定性，都是指漸進(jìn)穩(wěn)定性。5定理13.2.1 對(duì)于系統(tǒng)其中 ； ； ； 。令則有 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)可觀測(cè)； 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)可控； 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)灰陣 的灰特征根之實(shí)部灰元的上界均小于零。613. 3 灰色傳遞函數(shù)與典型環(huán)節(jié)定義13.3.1 設(shè)n階灰參數(shù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為對(duì)等式兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，記 ，稱為灰色傳遞函數(shù)。 灰色傳遞函數(shù)是n階線性灰色控制系統(tǒng)的響應(yīng) 的拉氏變換與驅(qū)動(dòng)項(xiàng) 的拉氏變換之比。用一個(gè)方程表示的灰色控制系統(tǒng)也稱為灰色環(huán)節(jié)。當(dāng)某一環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)已知時(shí)，可由驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的拉氏變換通過(guò)關(guān)系 求出其響應(yīng)

5、的拉氏變換，然后求逆變換即可得其響應(yīng) 。驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)的關(guān)系如圖所示。7下面我們來(lái)討論幾個(gè)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。定義13.3.2 驅(qū)動(dòng)項(xiàng) 與響應(yīng) 具有如下關(guān)系 的環(huán)節(jié)稱為灰色比例環(huán)節(jié)，其中 為環(huán)節(jié)的灰色放大系數(shù)。命題 13.3.1 灰色比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 灰色比例環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是當(dāng)驅(qū)動(dòng)量發(fā)生階躍變化時(shí)，響應(yīng)值成比例變化。其變化關(guān)系以及驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)的關(guān)系如圖所示。8定義14.3.3 在單位階躍驅(qū)動(dòng)下，若響應(yīng) 則稱該環(huán)節(jié)為灰色慣性環(huán)節(jié)，其中T為環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。命題 14.3.2 灰色慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 灰色慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是當(dāng)驅(qū)動(dòng)量發(fā)生階躍變化時(shí)，響應(yīng)要經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間方能達(dá)到新的平衡狀態(tài)。圖給出了當(dāng) 時(shí)灰色

6、慣性環(huán)節(jié)響應(yīng)的變化曲線和環(huán)節(jié)框圖。9定義13.3.4 驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)具有如下關(guān)系時(shí)，稱該環(huán)節(jié)為灰色積分環(huán)節(jié)。命題 13.3.3 灰色積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對(duì)于灰色積分環(huán)節(jié)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)為階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)為 ，如圖所示。10定義13.3.5 響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)具有如下關(guān)系 時(shí)，稱該環(huán)節(jié)為灰色微分環(huán)節(jié)。命題13.3.4 灰色微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為灰色微分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是當(dāng)驅(qū)動(dòng)為階躍函數(shù)時(shí)，響應(yīng)為一振幅無(wú)窮大的脈沖。定義13.3.6 響應(yīng)與驅(qū)動(dòng)具有如下關(guān)系的環(huán)節(jié)稱為灰色時(shí)滯環(huán)節(jié)，其中 為灰色常數(shù)。命題 13.3.5 灰色時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為對(duì)于灰色時(shí)滯環(huán)節(jié)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)為階躍函數(shù)時(shí)，響應(yīng)要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后才發(fā)生相應(yīng)的變化。11

7、上面所列舉的只是一些典型的基本環(huán)節(jié)，許多復(fù)雜的元件和系統(tǒng)可以看作某些典型環(huán)節(jié)的組合。如灰色比例環(huán)節(jié)與灰色微分環(huán)節(jié)組合，可得灰色比例微分環(huán)節(jié)；灰色積分環(huán)節(jié)與灰色時(shí)滯環(huán)節(jié)組合，可得灰色積分時(shí)滯環(huán)節(jié)；再進(jìn)行下一層的組合，還可得到灰色比例積分微分時(shí)滯環(huán)節(jié)等等。 我們可以通過(guò)對(duì)灰色傳遞函數(shù)之極點(diǎn)的研究來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性等問(wèn)題。而由下面的定理13.3.1可知，任何一個(gè)n階灰色線性系統(tǒng)，可劃為一個(gè)與之等價(jià)的一階灰色線性系統(tǒng)。故可利用第13.2節(jié)的結(jié)果討論灰色線性系統(tǒng)的問(wèn)題。12定理 13.3.1 對(duì)于定義13.3.1 所示的n階灰色線性系統(tǒng)，存在一個(gè)與之等價(jià)的一階灰色線性系統(tǒng)。證明 設(shè)n階灰色線性系統(tǒng)為令于

8、是有從而n階系統(tǒng)可化為一階系統(tǒng)其中， ； ；1313.4 灰色傳遞函數(shù)矩陣設(shè)灰色線性控制系統(tǒng)為作拉普拉斯變換，得從而若 可逆，則進(jìn)一步有即 。14定義13.4.1 稱m行s列矩陣為灰色線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱灰色傳遞函數(shù)陣。定義 13.4.2 對(duì)于n階灰色線性系統(tǒng)，當(dāng)與之相應(yīng)的一階系統(tǒng)狀態(tài)灰陣 非奇異時(shí)，稱為灰色增益陣。 若以灰色增益陣 近似地代替?zhèn)鬟f函數(shù)陣 ，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為比例環(huán)節(jié)。 由 ，當(dāng) 時(shí)，若 非奇異，又可得到 定義13.4.3 稱為灰色結(jié)構(gòu)陣。 在灰色結(jié)構(gòu)陣已知的條件下，要使輸出向量 達(dá)到或接近某一預(yù)定目標(biāo) ，可通過(guò) 來(lái)確定系統(tǒng)控制向量 。 我們還可以利用灰色傳遞函數(shù)陣來(lái)討論系統(tǒng)

9、的可控性與可觀測(cè)性。1513.5 幾種典型的灰色控制一、去余控制 灰色系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，主要取決于灰色傳遞函數(shù)陣 。因此，要實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的有效控制，可行的途徑是改變和校正傳遞函數(shù)陣和結(jié)構(gòu)陣。定義13.5.1 設(shè) 為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)陣， 為目標(biāo)結(jié)構(gòu)陣，稱為結(jié)構(gòu)偏差陣。由 和 得 即 16定義13.5.2 稱 為多余項(xiàng)。通過(guò)反饋 的作用抵消多余項(xiàng)的控制稱為去余控制。 對(duì)于系統(tǒng) ,經(jīng)反饋 作用化為此即已具有預(yù)期的目標(biāo)結(jié)構(gòu)。 去余控制中結(jié)構(gòu)偏差陣 中的元素?cái)?shù)目，直接影響控制器的元件數(shù)目。從經(jīng)濟(jì)、可靠、技術(shù)上容易實(shí)現(xiàn)等角度考慮問(wèn)題，在保證系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)的前提下，總希望偏差陣 中的元素盡可能地少。也就

10、是說(shuō)，在目標(biāo)結(jié)構(gòu)陣中，應(yīng)盡可能地保留原結(jié)構(gòu)矩陣中的對(duì)應(yīng)元素。去余控制的思路可用框圖說(shuō)明。17二、灰色關(guān)聯(lián)控制定義13.5.3 設(shè) 為輸出向量， 為目標(biāo)向量。若控制向量 中元素滿足其中 為輸出向量與目標(biāo)向量的灰色關(guān)聯(lián)度，則稱系統(tǒng)控制為灰色關(guān)聯(lián)控制。 灰色關(guān)聯(lián)控制系統(tǒng)是對(duì)一般控制系統(tǒng)附加灰色關(guān)聯(lián)控制器而得的。它通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)度 確定控制向量，從而使輸出向量與目標(biāo)向量的關(guān)聯(lián)度不超過(guò)某一預(yù)定的范圍?；疑P(guān)聯(lián)控制系統(tǒng)如圖所示。18三、灰色預(yù)測(cè)控制 前述的幾種控制，都是通過(guò)判斷系統(tǒng)行為序列是否符合預(yù)定的要求，而后進(jìn)行控制。這種事后控制明顯地有以下不足： （1）不能防患于未然； （2）無(wú)法做到即時(shí)控制； （3

11、）適應(yīng)性不強(qiáng)。 灰色預(yù)測(cè)控制是通過(guò)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的提取，尋求系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律，從而按照規(guī)律預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的行為，并根據(jù)系統(tǒng)未來(lái)的行為趨勢(shì)，確定相應(yīng)的控制決策進(jìn)行預(yù)控制。這樣可以做到防患于未然，控制及時(shí)，具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力。 灰色預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)如圖所示。其工作原理是：首先通過(guò)采樣裝置對(duì)輸出向量 的行為數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、整理；再由預(yù)測(cè)裝置預(yù)測(cè)，計(jì)算出以后若干步的預(yù)測(cè)值；最后比較目標(biāo)，確定控制向量 ，使未來(lái)的輸出向量 盡量接近目標(biāo) 。19定義13.5.4 設(shè) 分別為目標(biāo)分量、輸出分量、控制分量在 時(shí)刻的值，對(duì)于 ，令 對(duì)于控制算子 ，即 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為事后控制； 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為即時(shí)控制； 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為預(yù)測(cè)控制。20定義13.5.5 若控制算子 滿足即 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為偏差事后控制； 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為偏差即時(shí)控制； 當(dāng) 時(shí)，稱系統(tǒng)為偏差預(yù)測(cè)控制。定義