數(shù)學(xué)物理方法傅里葉變換法課件

1、1積分變換法 積分變換在數(shù)學(xué)物理方程中也有廣泛的用途，變換后，方程得以化簡，偏微分方程變成常微分方程，求解常微方程后，再進(jìn)行逆變換就得到原來偏微分方程的解，同時(shí)，積分變換還可能得到有限形式的解，分離變數(shù)法或者傅里葉級數(shù)發(fā)往往不能。 本章主要介紹傅里葉變換法在求解偏微分方程中的應(yīng)用。2傅里葉變換（1）導(dǎo)數(shù)定理（2）積分定理（3）相似性定理3（4）延遲性定理（5）位移性定理（6）卷積性定理5定解問題變換成：其中分別是的傅里葉變換，這樣原來的定解問題變成了常微分方程及初值條件，通解為：代入初始條件可得：故對U作逆傅里葉變換，可得最后的結(jié)果如下：6達(dá)朗貝爾公式例2求解無限長細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題解：作傅里葉

2、變換，定解問題變?yōu)椋捍顺Ｎ⒎址匠痰某跏紗栴}的解為進(jìn)行傅里葉逆變換可得：7交換積分次序積分公式：8例3求解無限長細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)問題解：作傅里葉變換，定解問題變?yōu)榉驱R次常微分方程：令利用上述公式可得10 是單位面積硅片表層原有雜質(zhì)總量.并利用積分公式可得最后的結(jié)果為：例4限定源擴(kuò)散在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，雜質(zhì)擴(kuò)散深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于硅片厚度，可硅片，這里求解的是半無界空間x0中的定解問題:有的雜質(zhì)向硅片內(nèi)擴(kuò)散，但不讓新的雜質(zhì)穿過硅片表面進(jìn)入以把硅片看成無限厚，在限定源擴(kuò)散中，是只讓硅片表層已12硅片表面右圖描述了雜質(zhì)濃度u(x,t)在硅片中即說明雜質(zhì)總量不變,曲線跟縱軸相交處的切線都是水平的,例5恒定表面濃

3、度擴(kuò)散在恒定表面濃度擴(kuò)散中,包圍硅片氣體中含有大量的雜質(zhì)原子,源源不斷穿過硅片表面向內(nèi)部擴(kuò)散,由即硅片表面的濃度梯度為零,表明沒有新的雜質(zhì)進(jìn)入硅片.度趨于均勻,曲線下的面積為2,3依次對應(yīng)越來越晚的時(shí)刻,雜質(zhì)濃的分布情況,曲線1對應(yīng)于較早的時(shí)刻是半無界空間x0中的定解問題于雜質(zhì)分子充足,硅片表面雜質(zhì)濃度保持某個(gè)常數(shù)N0,這里所求14第一個(gè)積分中令第二個(gè)積分中令則有被積函數(shù)是偶函數(shù),故誤差函數(shù)記做erfx,則w可寫為:所求的解如下:15余誤差函數(shù)記做erfcx,則有硅片表面右圖描述了雜質(zhì)濃度u(x,t)在硅片中例6泊松公式求解三維無界空間中的波動(dòng)問題明顯,如果擴(kuò)散持續(xù)進(jìn)行下去,則濃度分布最終將為

4、常數(shù)N0(虛線)的時(shí)刻,雜質(zhì)濃度趨于均勻的趨勢很刻,2對應(yīng)于較晚的時(shí)刻,3對應(yīng)于更晚分布情況,曲線1對應(yīng)于某個(gè)較早的時(shí)16解做傅里葉變換,問題變換為常微分方程的初始值問題這個(gè)方程的解為再進(jìn)行傅里葉逆變換17利用5.3例1的結(jié)果18應(yīng)用延遲定理出現(xiàn)對的積分只要在球面上進(jìn)行以r為球心(矢徑r),半徑為at為球面 的面積元,此即泊松公式.20例7推遲勢求解三維無界空間中的受迫振動(dòng)解做傅里葉變換,變?yōu)榉驱R次常微分方程的初始值問題此問題的解為(第六章習(xí)題7答案)進(jìn)行傅里葉逆變換可得21應(yīng)用脈沖函數(shù)性質(zhì)和關(guān)系式由于積分只要在條件下進(jìn)行即可對的積分只需要在球體進(jìn)行,球心的矢徑為r,半徑at引用5.3例1的結(jié)果,并應(yīng)用延遲定理可得23二維空間的波動(dòng)是三維空間波動(dòng)對于二維問題,球面上的積分代以xy平面的圓上的積分,如圖,上的面積元的公式,這種方法稱為降維法.公式,消除了坐標(biāo)z,成為二維波動(dòng)泊松公式給出解,三維波動(dòng)的泊松的特例,與坐標(biāo)z無關(guān),也可以由24即球面上下兩半都投影于同