熱學(xué)2-氣體分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念

1、第二章 氣體分子動(dòng)理論的基本概念1. 物質(zhì)的微觀模型2. 理想氣體的壓強(qiáng)3. 溫度的微觀解釋4. 分子力5. 范德瓦爾斯氣體的壓強(qiáng)9/4/20221本章思考題及作業(yè)題： 1.思考題：53頁(yè)54頁(yè)；2.練習(xí)題：5、6、10、14、19、 20.9/4/20222 本章從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，建立統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的初步理論分子動(dòng)理論，揭示宏觀熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)，并與宏觀理論相印證明。即在實(shí)驗(yàn)事實(shí)基礎(chǔ)上，建立模型，導(dǎo)出理論，進(jìn)而通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)。9/4/20223 氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)、氣體壓強(qiáng)和溫度的微觀實(shí)質(zhì)，范德瓦爾斯方程中的體積和壓強(qiáng)修正項(xiàng)的物理意義是本章的重點(diǎn)。推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式，集中體現(xiàn)了分子動(dòng)理論的

2、基本點(diǎn)和從微觀角度研究宏觀量的典型方法，初步運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)概念和統(tǒng)計(jì)方法，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)！9/4/202241. 物質(zhì)的微觀模型一、物質(zhì)是由大量的分子或原子組成電子顯微鏡拍攝的金屬鉑表面原子結(jié)構(gòu)的圖像9/4/20225 利用掃描隧道顯微鏡技術(shù)把一個(gè)個(gè)原子排列成 IBM 字母的照片. 1982年瑞士蘇黎世國(guó)際商用機(jī)器公司實(shí)驗(yàn)室的兩位科學(xué)家賓尼格和羅雷爾發(fā)明了第一臺(tái)掃描隧道顯微鏡。這種顯微鏡可以很精確地觀察材料的表面結(jié)構(gòu)。1986年他們獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1988年我國(guó)科學(xué)家也設(shè)計(jì)制成了新型掃描隧道顯微鏡，其分辨率達(dá)到原子級(jí)，為進(jìn)一步探索微觀世界的奧秘，提供了重要的基礎(chǔ)。9/4/20226二、分子或

3、原子作永恒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，其劇 烈程度與物體的溫度有關(guān)9/4/20227三、分子之間有相互作用力 既然物體的分子在不停地作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，那么，為什么固體和液體的分子不會(huì)散開(kāi)而能保持一定的體積，并且固體還能保持一定的形狀呢？顯然，是因?yàn)楣腆w和液體的分子之間有相互吸引力。9/4/20228 固體和液體很難壓縮，說(shuō)明分子之間除了吸引力，還有排斥力，它阻止分子相互靠近。 分子熱運(yùn)動(dòng)的能量中勢(shì)能部分使分子趨于團(tuán)聚，動(dòng)能部分使分子趨于飛散，這兩個(gè)對(duì)立因素總處于競(jìng)爭(zhēng)狀態(tài)。平均動(dòng)能勝過(guò)勢(shì)能時(shí)，物質(zhì)處于氣態(tài)；勢(shì)能勝過(guò)平均動(dòng)能時(shí)，物質(zhì)處于固態(tài)；兩者勢(shì)均力敵時(shí)，物質(zhì)處于液態(tài)。這就是物質(zhì)三態(tài)之由來(lái)。9/4/202292

4、. 理想氣體的壓強(qiáng)（perfect gas pressure）一、理想氣體的微觀模型力學(xué)假設(shè):(1)除需特別考慮外，一般不計(jì)分子的大??；(2)分子之間及分子與容器器壁間除碰撞外，不計(jì)相互作用；(3)分子碰撞是彈性的，遵守動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒；(4)一般情況下，忽略重力。9/4/202210統(tǒng)計(jì)假設(shè):體積元（宏觀小，微觀大）（2）平衡態(tài)時(shí)具有相同速率的分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的平均 分子數(shù)是相等的。（1）平衡態(tài)時(shí)分子按位置的分布是均勻的，即分子數(shù)密度 到處一樣，不受重力影響；9/4/202211對(duì)任一個(gè)分子有:以上關(guān)于理想氣體分子運(yùn)動(dòng)的力學(xué)假設(shè)和統(tǒng)計(jì)假設(shè)構(gòu)成了理想氣體的微觀模型，它是從微觀上分析氣體性質(zhì)

5、的出發(fā)點(diǎn)。各項(xiàng)除以分子總數(shù)得:對(duì)n個(gè)分子有:9/4/202212二、理想氣體的壓強(qiáng)公式由于分子看成質(zhì)點(diǎn)，只考慮分子的平動(dòng)。設(shè)：同種氣體，分子質(zhì)量為m，N總分子數(shù)，V體積，分子數(shù)密度，9/4/202213定量推導(dǎo)之前，作些定性思考：1、分子的動(dòng)量越大，撞擊器壁的沖力就越大，壓強(qiáng)就越大；2、分子的運(yùn)動(dòng)速度直接影響碰撞器壁的次數(shù)，速度越大，相 同時(shí)間內(nèi)的碰撞器壁的次數(shù)就越多，壓強(qiáng)就越大；3、容器內(nèi)的分子數(shù)密度，決定了在一定時(shí)間內(nèi)，分子碰撞器 壁的總次數(shù)。9/4/202214上式左右兩邊量綱相同，只需引用一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)A就可以寫(xiě)成等式。經(jīng)驗(yàn)表明：由量綱分析所得結(jié)果中的無(wú)量綱量A 的數(shù)量級(jí)往往為1。9/

6、4/202215取器壁上小面元dA= 2 ni mvix2 dt dAdIi = (2mvix)(nivixdtdA)dt內(nèi)所有分子對(duì)dA沖量：第2步：一個(gè)分子對(duì)dA沖量: 2mvix第1步：第3步：dt內(nèi)所有分子對(duì)dA沖量：小柱體dAvixdtx器壁9/4/202216第4步：（氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能）9/4/202217 上式中的壓強(qiáng)是可以直接測(cè)量的，而氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能卻不能直接測(cè)量，所以不能由實(shí)驗(yàn)直接證明它的正確性，但從這個(gè)公式推證出的許多結(jié)果，已被實(shí)驗(yàn)所證明。 另外，上述結(jié)果的推導(dǎo)，不僅應(yīng)用了力學(xué)規(guī)律，同時(shí)還應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)規(guī)律，正是統(tǒng)計(jì)規(guī)律將理想氣體的宏觀量和微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值聯(lián)系起

7、來(lái)了。9/4/2022183. 溫度的微觀解釋一、溫度的微觀解釋9/4/202219 這就說(shuō)明，氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān)，并與熱力學(xué)溫度成正比。溫度平均地標(biāo)志了系統(tǒng)內(nèi)分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。同時(shí)也表明，溫度是一個(gè)統(tǒng)計(jì)性的宏觀物理量它是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體體現(xiàn)，對(duì)于單個(gè)分子，只有動(dòng)能，無(wú)所謂溫度。它只具有統(tǒng)計(jì)意義。9/4/202220稱(chēng)為方均根速率(root-mean-square speed)9/4/202221（記住數(shù)量級(jí)！）T = 273K時(shí)，9/4/202222二、對(duì)理想氣體定律的推證 我們可以從分子運(yùn)動(dòng)論的一般規(guī)律出發(fā),直接推證理想氣體的一些實(shí)驗(yàn)規(guī)律。1、阿伏伽德羅定律由此可見(jiàn)

8、：在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各種氣體在相同的體積內(nèi)所含的分子數(shù)相等。9/4/202223在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下,任何氣體的分子數(shù)密度為:2、道爾頓分壓定律混合氣體的壓強(qiáng)等于組成混合氣體的各成分的分壓強(qiáng)之和。9/4/202224.。+3、玻意耳定律9/4/2022254.分子力(molecular force) 關(guān)于分子力的問(wèn)題，是一個(gè)和分子結(jié)構(gòu)有關(guān)的十分復(fù)雜的問(wèn)題，很難用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)表示。若要討論它們互相作用的機(jī)理，不免要用到量子力學(xué)。在分子動(dòng)理論中，一般是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上采用一些簡(jiǎn)化模型來(lái)處理問(wèn)題。即從現(xiàn)象出發(fā)為這種相互作用建立一個(gè)模型，這就是所謂的唯象理論（phenomenological theor

9、y）9/4/202226 楊振寧把物理學(xué)分為實(shí)驗(yàn)、唯象理論和理論架構(gòu)三個(gè)路徑，唯象理論是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象更概括的總結(jié)和提煉，但是無(wú)法用已有的科學(xué)理論體系作出解釋。唯象理論被稱(chēng)作前科學(xué)，因?yàn)樗鼈円材鼙粚?shí)踐所證實(shí)。而理論架構(gòu)是比唯象理論更基礎(chǔ)的，它可以用數(shù)學(xué)和已有的科學(xué)體系進(jìn)行解釋。首先是最基本的現(xiàn)象，為研究這些基本的現(xiàn)象，你需要做一些實(shí)驗(yàn)。那么從這些現(xiàn)象，從這些實(shí)驗(yàn)，一個(gè)很廣但不一定很深的領(lǐng)域提煉出一些東西來(lái)，這就叫做“唯象理論”?！拔ㄏ蟆钡囊馑?，就是你只是從這些現(xiàn)象來(lái)著眼，把這些現(xiàn)象歸納出一些規(guī)律，那么“唯象”理論跟這些現(xiàn)象之間的關(guān)系，又是歸納的，又是推演的。 9/4/2022279/4/202228

10、 楊振寧給出了物理學(xué)的劃界，并說(shuō)明了玻爾、海森伯、薛定諤、狄拉克、愛(ài)因斯坦等幾位理論物理學(xué)家的區(qū)別。物理學(xué)的三個(gè)部分和其中的關(guān)系：唯象理論(2)是介乎實(shí)驗(yàn)(1)和理論架構(gòu)(3)之間的研究。(1)和(2)合起來(lái)是實(shí)驗(yàn)物理，(2)和(3)合起來(lái)是理論物理，而理論物理的語(yǔ)言是數(shù)學(xué)。狄拉克最重要的貢獻(xiàn)是提出了狄拉克方程。海森堡最重要的貢獻(xiàn)是海森堡方程，是量子力學(xué)的基礎(chǔ)。可是寫(xiě)出這兩個(gè)方程的途徑卻截然不同：海森堡的靈感來(lái)自他對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)與唯象理論(2)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在摸索中得到了海森堡矩陣方程式。狄拉克的靈感來(lái)自他對(duì)數(shù)學(xué)(4)的美的直覺(jué)欣賞，進(jìn)而天才地寫(xiě)出他的方程狄拉克方程。他們二人的喜好和注意的方向

11、不同，所以他們的工作的領(lǐng)域也不一樣，如圖2所示。此圖也標(biāo)明玻爾、薛定諤和愛(ài)因斯坦的研究領(lǐng)域。愛(ài)因斯坦興趣廣泛，在許多領(lǐng)域中，自(2)至(3)至(4)，都曾做出劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。9/4/202229 牛頓力學(xué)的歷史為例。布拉赫是實(shí)驗(yàn)天文物理學(xué)家，活動(dòng)領(lǐng)域是1，他做了關(guān)于行星軌道的精密觀測(cè)。后來(lái)開(kāi)普勒仔細(xì)分析布拉赫的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了有名的開(kāi)普勒三大定律，這是唯象理論2。最后牛頓創(chuàng)建了牛頓力學(xué)與萬(wàn)有引力理論，其基礎(chǔ)就是開(kāi)普勒的三大定律。這是理論架構(gòu)3。再舉一個(gè)例子：通過(guò)18世紀(jì)末、19世紀(jì)初的許多電學(xué)和磁學(xué)的實(shí)驗(yàn)1，安培和法拉第等人發(fā)展出了一些唯象理論2，最后由麥克斯韋歸納為有名的麥克斯韋方程即電磁學(xué)方程，

12、才進(jìn)入理論架構(gòu)3的范疇。另一個(gè)例子：19世紀(jì)后半葉許多實(shí)驗(yàn)工作1引導(dǎo)出普朗克1900年的唯象理論2，然后經(jīng)過(guò)愛(ài)因斯坦的文章和上面提到過(guò)的玻爾的工作等，又有一些重要發(fā)展，但這些都還是唯象理論2，最后通過(guò)量子力學(xué)之產(chǎn)生，才步入理論架構(gòu)3的范圍。 9/4/202230 牛頓的運(yùn)動(dòng)方程、麥克斯韋方程、愛(ài)因斯坦的狹義與廣義相對(duì)論方程、狄拉克方程、海森伯方程和其他五、六個(gè)方程是物理學(xué)理論架構(gòu)的骨干。它們提煉了幾個(gè)世紀(jì)的實(shí)驗(yàn)工作1與唯象理論2的精髓，達(dá)到了科學(xué)研究的最高境界。它們以極度濃縮的數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)出了物理世紀(jì)的基本結(jié)構(gòu)，可以說(shuō)它們是造物者的詩(shī)篇。這些方程還有一方面與詩(shī)有共同點(diǎn)：它們的內(nèi)涵往往隨著物理學(xué)的

13、發(fā)展而產(chǎn)生新的、當(dāng)初所完全沒(méi)有想到的意義。 9/4/202231 大量事實(shí)告訴我們，當(dāng)兩個(gè)分子比較接近時(shí)，它們之間存在著引力；當(dāng)分子彼此非常接近時(shí)，相互之間產(chǎn)生強(qiáng)烈的排斥。 一種常用的模型是假設(shè)分子之間的相互作用力具有球?qū)ΨQ(chēng)性（米氏模型，倫納德瓊斯模型 ），并近似地用下列半經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示：9/4/202232r=r0，此位置叫做平衡位置。9/4/202233r0r合力斥力引力df010 -9m分子力曲線rmrarmr0ra斥力區(qū)引力區(qū)最大引力圈微引力區(qū)9/4/202234r=r0，此位置勢(shì)能最小。9/4/202235 對(duì)于一對(duì)相互作用的分子，作用力基本上是屬于靜電相互作用，可以看作是保守力，因

14、此它們具有由它們的相對(duì)位置所決定的勢(shì)能。Ep0 代表將兩者拆散所需要的能量，即結(jié)合能。9/4/202236 圖中的N點(diǎn)（的縱坐標(biāo)）代表分子A具有機(jī)械能，在機(jī)械能守恒的條件下，當(dāng)A達(dá)到P所對(duì)應(yīng)的位置時(shí)，此時(shí)全部機(jī)械能為勢(shì)能，而動(dòng)能為零，我們可以認(rèn)為OD就是兩個(gè)分子中心間的最近距離。對(duì)于同一種分子，OD就是分子直徑d。顯然，分子的有效直徑隨分子的能量的變化而略有改變。DPN9/4/202237分子直徑與熱力學(xué)溫度的關(guān)系 兩個(gè)分子之間的彈性碰撞是一個(gè)散射過(guò)程。在此過(guò)程中，兩個(gè)分子中心之間的距離 r 所達(dá)到的最小值，可以視為分子直徑 d。這時(shí)分子間斥力將明顯大于分子間引力。于是，分子直徑就應(yīng)該與分子的

15、平均平動(dòng)動(dòng)能和分子間斥力常量有關(guān)。 下面進(jìn)行量綱分析： 9/4/2022389/4/202239 因s=915，s1=814，故1/(s1)=(1/8)(1/14)，其平均值約為1/10=0.1.于是分子直徑 d與熱力學(xué)溫度T之間的關(guān)系可近似為d1/T1/10=1/T。由此可見(jiàn)，分子直徑 d 隨著熱力學(xué)溫度 T的增大而略微減小。例如，即使當(dāng)熱力學(xué)溫度增加到原來(lái)的1024倍(即210倍)時(shí)，分子直徑也僅僅才減小到原來(lái)的一半(即1/2)。 9/4/202240 實(shí)驗(yàn)表明，分子有效直徑的數(shù)量級(jí)為10-10米如果在溫度比較低的情況下，分子所構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量小于零，則分子將在平衡位置附近做微小振動(dòng)。這

16、就是物質(zhì)處在凝聚態(tài)（液體或固體）時(shí)分子運(yùn)動(dòng)圖象。 在分子運(yùn)動(dòng)論中，除了上述模型外，還常用到一些更加簡(jiǎn)化的模型，例如，剛球模型、蘇則朗模型（即把分子看作相互間有吸引力的剛球）。9/4/2022419/4/2022425.范德瓦爾斯氣體的壓強(qiáng) 理想氣體是一個(gè)近似模型，它忽略了分子的體積（更確切地講，也就是分子間的斥力）和分子間的引力。范德瓦爾斯把氣體分子看作有相互吸引作用的剛球，將理想氣體的壓強(qiáng)加以修正，從而導(dǎo)出了范德瓦爾斯方程。9/4/2022431873年在博士論文“論氣態(tài)和液態(tài)的連續(xù)性”中，考慮了分子體積和分子間引力的影響，導(dǎo)出了真實(shí)氣體的物態(tài)方程范德瓦耳斯方程。獲1910年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

17、范德瓦爾斯1837-1923，荷蘭人9/4/202244引力剛球模型：1、分子是直徑為d 的剛性球。2、在 d s 范圍內(nèi)，分子間有引力。s 分子有效作用距離（10d ）d 分子有效直徑（10-10m） r0 平衡距離（d ） 9/4/202245一、分子體積所引起的修正 1mol氣體。對(duì)理想氣體： pVm = RT，Vm為 1 mol 氣體分子自由活動(dòng)的空間或可被壓縮的空間，也即容器容積。對(duì)真實(shí)氣體：分子占有一定的體積，所以氣體可被壓縮的空間= Vm b，b 是與分子體積有關(guān)的修正量。則：9/4/202246二、分子間引力引起的修正9/4/202247(internal pressure) 9/4/202248 進(jìn)入表面層范圍 s 內(nèi)的每個(gè)分子都減小了對(duì)器壁的沖力：（1）表面層內(nèi)分子