簡諧振動(dòng)物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化

1、 機(jī)械振動(dòng)： 物體位置在某一值附近來回往復(fù)的變化等等廣義振動(dòng)：一個(gè)物理量在某一定值附近往復(fù)變化 該物理量的運(yùn)動(dòng)形式稱振動(dòng) 物理量：共振(簡諧振動(dòng)） 振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)無阻尼自由諧振動(dòng)振動(dòng)的形式:重要的振動(dòng)形式是 簡諧振動(dòng)(SHV) simple harmonic vibration物理上：一般運(yùn)動(dòng)是多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成數(shù)學(xué)上： 付氏級(jí)數(shù) 付氏積分也可以說， SHV是振動(dòng)的基本模型或說，振動(dòng)的理論建立在SHV的基礎(chǔ)上注意：以機(jī)械振動(dòng)為例說明振動(dòng)的一般性質(zhì)15-1 簡諧振動(dòng)1.簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 簡諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移(或角位移)

2、按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式彈簧振子：連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。回復(fù)力：作簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合 外力, 該力與位移成正比且反向。 簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征: 據(jù)牛頓第二定律，得令運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式位移 之解可寫為：或 簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征:物體的加速度與位移成正 比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度加速度簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡諧振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式 簡諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系:簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式 常量 和 的確定根據(jù)初始條件： 時(shí)， , ，得簡諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式在 到 之

3、間，通常 存在兩個(gè)值，可根據(jù) 進(jìn)行取舍。2.簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅: 物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。(2)周期和頻率 周期：物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：單位時(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。由初始條件確定角頻率: 物體在 秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。對(duì)于彈簧振子，因有 ，得:利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式： 簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(3)相位和初相相位 ：決定簡諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位 ：t =0 時(shí)的相位。 相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：二者的相位差為： 簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(b

4、)當(dāng) 時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；(d)當(dāng) 時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng) 。(c)當(dāng) 時(shí),稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng) ；討論: (a)當(dāng) 時(shí),稱兩個(gè)振動(dòng)為同相； 簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位 速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。 簡諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位 相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)于簡諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:3. 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法 采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會(huì)簡諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。 旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A 的矢量 在紙平面內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。 簡諧振動(dòng)的矢量圖

5、示法任意時(shí)刻 與參考方向x 的夾角振動(dòng)相位逆時(shí)針方向 M 點(diǎn)在 x 軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律： 的長度 旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向XOM P x振幅A振動(dòng)圓頻率 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法M振動(dòng)初相位與參考方向x 的初始時(shí)刻夾角速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M 點(diǎn): 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法 沿X 軸的投影為簡諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式。兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為： 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法 例15-1 一物體沿X 軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向 X 軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡諧振動(dòng)表達(dá)式;(2) t =T/4時(shí)物體的位置、

6、速度和加速度;(3)物體從x =-0.06m向 X 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解: (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫為：其中A=0.12m, T=2s, 初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得據(jù)初始條件 得 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法(2) 由(1)求得的簡諧振動(dòng)表達(dá)式得:在t =T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得 簡諧振動(dòng)的矢量圖示法(3) 當(dāng)x = -0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去 ，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為： 簡諧振動(dòng)

7、的矢量圖示法o旋轉(zhuǎn)矢量法例一物體沿X 軸作簡諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向 X 軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡諧振動(dòng)表達(dá)式;(2) t =T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x =-0.06m向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。(1)A=0.12m, T=2s, 初始條件：t = 0, x0=0.06m,正向(2) 代入計(jì)算(3) o4.幾種常見的簡諧振動(dòng)(1) 單擺重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到 很小時(shí)(小于 )，可取令 ,有轉(zhuǎn)角 的表達(dá)式可寫為：角振幅 和初相 由初始條件求得。單擺周期 與角振幅 的關(guān)系為 為 很小

8、時(shí)單擺的周期。 根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。 幾種常見的簡諧振動(dòng)(2) 復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。 剛體的質(zhì)心為C, 對(duì)過O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, O、C 兩點(diǎn)間距離的距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若 角度較小時(shí) 幾種常見的簡諧振動(dòng)5. 簡諧振動(dòng)的能量動(dòng)能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能： 簡諧振動(dòng)的能量 考慮到 ，系統(tǒng)總能量為 ，表明簡諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。諧振子的動(dòng)能、勢能和總能量隨時(shí)間的變化曲線: 簡諧振動(dòng)的能量15-5 同方向的簡諧振動(dòng)的合成 1.同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成

9、 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x 軸)的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為：合位移：合振動(dòng)仍然是簡諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來相同。同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成旋轉(zhuǎn)矢量圖示法同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成矢量沿X 軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。(1)當(dāng)Df=f 20-f10=2kp (k=0及正負(fù)整數(shù))，cos(f20-f10)=1, 有同相迭加，合振幅最大。(2)當(dāng)Df=f 20-f10=(2k+1)p (k=0及正負(fù)整數(shù)), cos(f20-f10)=0, 有反相迭加，合振幅最小。當(dāng)A1=A2 時(shí)，A=0。討論：同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成(3)通常情況下，合振幅介于 和 之

10、間。 例15-4 N個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為0, a, 2a, ., 依次差一個(gè)恒量a，振動(dòng)表達(dá)式可寫成求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。 解:采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為 a ，上圖中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以 C為圓心的圓周上，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，可得同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 在三角形DOCM中,OM 的長度就是和振動(dòng)位移矢量的位移,角度 就是和振動(dòng)的初相，據(jù)此得考慮到當(dāng) 時(shí)(同相合成)，有同方向同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 2.同方向不同頻率的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 拍兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成得： 當(dāng)兩個(gè)同方向簡諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時(shí)間變化。兩個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率 和 很接近，且x = x1+