《近世代數(shù)》教學(xué)大綱

1、近世代數(shù)Abstract algebra一、課程基本情況課程類(lèi)別：專(zhuān)業(yè)主干課課程學(xué)分： 3 學(xué)分課程總學(xué)時(shí)： 48 學(xué)時(shí)，其中講課： 48 學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)（含上機(jī)）： 0 學(xué)時(shí)，課外 0 學(xué)時(shí)課程性質(zhì)：必修課開(kāi)課學(xué)期：第3學(xué)期先修課程： 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)適用專(zhuān)業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)教 材：近世代數(shù)基礎(chǔ) 張禾瑞編 高等教育出版社 1978年修訂本開(kāi)課單位： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)系二、課程性質(zhì)、教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)本課程是數(shù)學(xué)系本科生的一門(mén)專(zhuān)業(yè)主干課。它不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、化學(xué)和計(jì)算機(jī)學(xué)科等。與此同時(shí)，近世代數(shù)的研究的方法和觀點(diǎn)，也對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生了越來(lái)越

2、大的影響。 本課程的教學(xué)目標(biāo)在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的嚴(yán)密的邏輯思維能力和規(guī)范的推導(dǎo)證明過(guò)程。 本課程教學(xué)任務(wù)是講授代數(shù)中典型的代數(shù)系統(tǒng)：群、環(huán)、域及其相關(guān)的代數(shù)性質(zhì)。其主要內(nèi)容包括（1）群的定義，循環(huán)群，n階對(duì)稱(chēng)群，子群、不變子群，商群、群的同態(tài)基本定理的內(nèi)容及其性質(zhì)；（2）環(huán)、子環(huán)，理想、商環(huán)、整環(huán)，多項(xiàng)式環(huán)、域、唯一分解環(huán)，以及域的擴(kuò)張概念。課程的重點(diǎn)在于：（1）掌握Larange定理并能夠計(jì)算或證明群的元素的階 （2）會(huì)證明子群和正規(guī)子群相關(guān)的問(wèn)題且會(huì)應(yīng)用群的同態(tài)基本定理證明群的同構(gòu)（3）會(huì)證明理想和子環(huán)相關(guān)的問(wèn)題且會(huì)應(yīng)用環(huán)的同態(tài)基本定理證明環(huán)同構(gòu)。（4）了解整環(huán)的分類(lèi)。由于課時(shí)的原因，本

3、課程對(duì)西羅定理和伽羅瓦理論不做要求。三、教學(xué)內(nèi)容和要求第1章 基本概念（7學(xué)時(shí)）1.1集合、映射與變換（2學(xué)時(shí)）（1）了解集合的概念； （2）理解映射、變換的概念及其與函數(shù)的關(guān)系； （3）掌握一一映射的概念與性質(zhì)。重點(diǎn)：一一映射的性質(zhì)難點(diǎn)：一一映射的證明1.2代數(shù)運(yùn)算與運(yùn)算規(guī)律（2學(xué)時(shí)）（1）了解代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是映射； （2）理解交換律、結(jié)合律和分配律的定義； （3）掌握結(jié)合律的意義；重點(diǎn)：結(jié)合律存在的意義；難點(diǎn)：代數(shù)運(yùn)算是可以定義的；1.3 同態(tài)與同構(gòu)（2學(xué)時(shí)）（1）了解同態(tài)的本質(zhì)是映射。（2）理解同態(tài)與同構(gòu)的定義，并會(huì)舉例（3）掌握同構(gòu)的證明重點(diǎn)：同態(tài)和同構(gòu)的定義難點(diǎn)：同態(tài)和同構(gòu)的證明1.

4、4 等價(jià)類(lèi)與集合的分類(lèi)（1學(xué)時(shí)）（1）了解集合分類(lèi)的原則（2）理解等價(jià)關(guān)系的定義（3）掌握等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)之間的聯(lián)系。重點(diǎn)：等價(jià)關(guān)系的定義與實(shí)例難點(diǎn)：集合分類(lèi)與等價(jià)關(guān)系的聯(lián)系第二章 群論（18學(xué)時(shí)）2.1 群和有限群的定義（3學(xué)時(shí)）（1）了解高等代數(shù)中已經(jīng)出現(xiàn)的群（2）理解群和有限群的定義（3）掌握單位元，逆元和消去律以及群的定義證明。重點(diǎn)：群和有限群的定義難點(diǎn)：相關(guān)的證明和舉例2.2 循環(huán)群，變換群與置換群（3學(xué)時(shí)）（1）了解變換群的定義和相關(guān)的性質(zhì)（2）理解置換群與變換群的關(guān)系（3）掌握置換的乘積，置換群、循環(huán)群的定義和性質(zhì)重點(diǎn)：置換的乘積，置換的階，循環(huán)群的分類(lèi)難點(diǎn)： 循環(huán)群的證明，置

5、換的分解2.3 子群與陪集（4學(xué)時(shí)）（1）了解子群的定義（2）理解左右陪集的定義（3）掌握子群的判定及陪集的相等重點(diǎn)：子群的判定與陪集的計(jì)算難點(diǎn)：陪集相等在證明中的應(yīng)用。2.4 正規(guī)子群與群的同態(tài)基本定理（4學(xué)時(shí)）（1）了解正規(guī)子群與子群陪集之間的關(guān)系（2）理解正規(guī)子群的定義（3）掌握正規(guī)子群的判定和同態(tài)基本定理重點(diǎn)：正規(guī)子群的判定與應(yīng)用同態(tài)基本定理證明難點(diǎn)：應(yīng)用同態(tài)基本定理的證明2.5 正規(guī)子群與商群（4學(xué)時(shí)）（1）了解為何定義商群必須用正規(guī)子群。（2）理解商群的元素及運(yùn)算（3）掌握商群的階，商群的計(jì)算重點(diǎn)：商群的定義及證明難點(diǎn)：商群的階與子群在群中指數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。第三章 環(huán)論（15學(xué)時(shí)）

6、3.1 環(huán)的定義（4學(xué)時(shí)）（1）了解環(huán)與群的關(guān)系（2）理解環(huán)的定義能找出高等代數(shù)中環(huán)的例子（3）掌握環(huán)中的特殊元素如幺元，零因子。重點(diǎn)：環(huán)的定義與舉例難點(diǎn)：無(wú)零因子與消去律 3.2 無(wú)零因子環(huán)，整環(huán)及域（4學(xué)時(shí)）(1) 了解無(wú)零因子環(huán)的特征（2）理解無(wú)零因子環(huán)，整環(huán)、除環(huán)域的定義（3）掌握整環(huán)、除環(huán)、域的證明重點(diǎn)：整環(huán)、除環(huán)、域的證明難點(diǎn)：整環(huán)、除環(huán)、域的證明3.3 子環(huán)，理想，多項(xiàng)式環(huán)（2學(xué)時(shí)）（1）了解子環(huán)的定義（2）理解理想的定義與多項(xiàng)式環(huán)的定義（3）掌握理想的證明重點(diǎn)：理想的定義與證明難點(diǎn)：多項(xiàng)式環(huán)3.4 環(huán)的同態(tài)，同態(tài)基本定理，極大理想（3學(xué)時(shí)）（1）了解環(huán)的同態(tài)（2）理解環(huán)的同態(tài)基

7、本定理（3）掌握環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明重點(diǎn)：環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明難點(diǎn)：環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明3.5 商環(huán)，剩余類(lèi)環(huán)（2學(xué)時(shí)）（1）了解商環(huán)和剩余類(lèi)環(huán)的定義（2）理解剩余類(lèi)環(huán)計(jì)算（3）掌握整數(shù)環(huán)的商環(huán)重點(diǎn)：剩余類(lèi)環(huán)的計(jì)算難點(diǎn)：剩余類(lèi)環(huán)的計(jì)算第四章 整環(huán)里的因子分解（8學(xué)時(shí)）4.1理解素元、唯一分解、唯一分解環(huán)（4學(xué)時(shí)）（1） 了解素元，唯一分解的定義（2） 理解環(huán)中的單位和相伴元（3） 計(jì)算素元和單位重點(diǎn)：素元和單位，唯一分解難點(diǎn)：素元和單位，唯一分解4.2主整理環(huán)、歐氏環(huán)（4學(xué)時(shí)）（1）了解主理想環(huán)、歐式環(huán)的定義（2）理解主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系（3）掌握兩種環(huán)的例子重點(diǎn)：主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系難點(diǎn)：理解主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系四、課程考核（1）作業(yè)等：作業(yè)： 8 次