各種各樣的代數(shù)運(yùn)算

1、各種各樣的代數(shù)運(yùn)算第1頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例課件作者：南京師大數(shù)科院周興和1、仿射變換 定義3.1 在拓廣平面上，保持無窮遠(yuǎn)直線不變的射影變換稱為射影仿射變換. 定理3.1 射影變換保持l：x3=0不變a31=a32=0.證明：(略, 見教材).顯然, 射影仿射變換形如作用于射影仿射平面(拓廣平面上).第2頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例1、仿射變換顯然, 射影仿射變換形如作用于射影仿射平面(拓廣平面上).將(3.2)式化為非齊次(前二式兩邊分別除以

2、第三式), 得稱(3.3)決定的變換為仿射變換, 作用于一般仿射平面上.第3頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例1、仿射變換中, 如果矩陣A為正交陣, 即滿足AA=E, 則稱為正交變換, (3.3)的齊次坐標(biāo)表達(dá)式稱為射影正交變換.2、正交變換 定義3.2 在仿射變換 注：正交變換作用于歐氏平面上, 而射影正交變換則作用于射影仿射平面上.第4頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 定義 (代數(shù)運(yùn)算)設(shè)A, B, C為集合, 為AB到C的一個(gè)對(duì)應(yīng). 則稱為A

3、B到C的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 特別地, 若B=C=A, 則稱為集合A上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 注：代數(shù)運(yùn)算可以滿足結(jié)合律, 交換律, 分配律中的某一個(gè)或者全部. 以下這些概念都將在近世代數(shù)課程中學(xué)習(xí), 我們僅承認(rèn)并應(yīng)用. 定義了代數(shù)運(yùn)算的集合稱為代數(shù)系統(tǒng), 代數(shù)學(xué)就是研究代數(shù)系統(tǒng)的科學(xué).第5頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 比如, 實(shí)數(shù)集R上的加(減)法、乘(除)法都是R上的代數(shù)運(yùn)算. 比如, 對(duì)于數(shù)域F上的向量空間V, 數(shù)乘向量是FV到V的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算. 有形形式式的集合, 更有各種各樣的代數(shù)運(yùn)算. 比如, 矩陣的乘法是所

4、有矩陣的集合上的代數(shù)運(yùn)算. 比如, sin不是一個(gè)代數(shù)運(yùn)算, 而sincos是一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.第6頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 定義3.3 (群)設(shè)G為非空集合. 在G上定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算, 稱為乘法. 如果滿足下述4條公理, 則稱G對(duì)于這個(gè)乘法構(gòu)成一個(gè)群, 記作G. 注1 定義中的運(yùn)算是稱為乘法, 未必是通常的乘法. 注2 群中的乘法不一定滿足交換律. 若滿足交換律, 可以將這種乘法稱為加法, 這樣的群稱為交換群或加法群或Abel群.第7頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾

5、何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 例1 設(shè)Q*表示全體非零有理數(shù)的集合, 則Q*對(duì)于數(shù)的乘法構(gòu)成群. 例2 設(shè)M表示實(shí)數(shù)域上全體n階可逆方陣的集合, 則M對(duì)于矩陣的乘法構(gòu)成群. 定義3.3 (群)設(shè)G為非空集合. 在G上定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算, 稱為乘法. 如果滿足下述4條公理, 則稱G對(duì)于這個(gè)乘法構(gòu)成一個(gè)群, 記作G.第8頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 定義3.4 (子群)設(shè)G為群, H為G的一個(gè)非空子集, 若H對(duì)于G上的乘法也構(gòu)成群, 則稱H為G的一個(gè)子群. 定理3.2 群G的一個(gè)非空子集H為G的子群H滿

6、足下述條件. 證明. 只要由上述(1), (2)推出H對(duì)于G的乘法滿足群的4個(gè)條件(嚴(yán)格證明將來見近世代數(shù)課程). 第9頁，共11頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)22分，星期二第三章 變換群與幾何學(xué)一、二維射影變換的特例二、群與變換群 定義3.5 (群的同構(gòu))兩個(gè)群G, G之間的一個(gè)能夠保持乘法運(yùn)算的雙射稱為G與G之間的一個(gè)同構(gòu)映射. 如果群G與G之間存在一個(gè)同構(gòu)映射, 則稱G同構(gòu)于G, 記作GG. 定理3.3 非空集合S上全體一一變換的集合對(duì)于變換的乘法構(gòu)成群. 稱為集合S上的全變換群. 定理3.4 非空集合S上若干個(gè)一一變換的集合G對(duì)于變換的乘法構(gòu)成群(1) 若g1, g2G, 則g1g2G.(2) 若gG, 則g1G. 定義3.6 集