《差分方程》課程教學(xué)大綱

1、差分方程課程教學(xué)大綱 課程編碼：171120071課程性質(zhì)：專業(yè)方向任選課程適用專業(yè)： 信息與計算科學(xué)專業(yè)學(xué)時學(xué)分： 24學(xué)時 2學(xué)分所需先修課：數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)、常微分方程編寫單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系一、課程說明 1、課程簡介在數(shù)學(xué)上，遞推關(guān)系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一種遞推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目是定義為前一項的函數(shù)。是用來描述自然現(xiàn)象變化規(guī)律的一種重要工具，如在種群生態(tài)學(xué)中用來描述種群數(shù)量的變化規(guī)律，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中描述價格和產(chǎn)量，消費、投資和收入等等之間的關(guān)系?？傊衲陙聿罘址匠痰难芯恳恢笔侨藗冴P(guān)注

2、的熱點。其實差分方程就是微分方程離散化所得的方程。而從數(shù)學(xué)的角度來說，連續(xù)的結(jié)果與離散的結(jié)果是可以相互通達(dá)的。我們之所以單獨開設(shè)這門課程，是因為在生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中遇到的微分方程往往和復(fù)雜，在很多情況下都無法給出解的解析表達(dá)式，因此其離散化所得的差分方程往往更具有應(yīng)用價值；另一方面，差分方程所表達(dá)的離散系統(tǒng)常常與相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)有完全不同的特性，有自己的理論基礎(chǔ)。同時生命科學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)、控制等領(lǐng)域有不少現(xiàn)象只能用這種離散的數(shù)學(xué)模型來描述。故系統(tǒng)的開展對差分方程的研究，不僅有其重要的理論意義，而且具有實際應(yīng)用價值。 2、教學(xué)目標(biāo)要求 1、了解和掌握低階和高階差分算子、位移算子、恒等算子的概念

3、和他們之間的關(guān)系；2、理解和掌握差分算子的一些性質(zhì)；3、掌握對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)求差分的方法；4、了解冪指函數(shù)、Sterling數(shù)與逆Sterling數(shù)的概念；理解和掌握利用冪指函數(shù)求冪多項式差分的方法；5、掌握求不定和、確定和的方法；6、了解有關(guān)線性差分方程、差分方程初值問題的概念；了解和掌握Casorati矩陣、函數(shù)線性相關(guān)性、差分方程解基的定義；7、會利用Casorati矩陣判斷差分方程解的線性相關(guān)性，掌握求解常系數(shù)線性差分方程的方法；8、了解差分方程正解存在性、穩(wěn)定性、周期解等理論；9、了解差分方程一些前沿的研究。3、教學(xué)重點難點高階差分算子的定義和高階差分算子與高階位移算子之

4、間的關(guān)系，利用階乘冪函數(shù)求冪函數(shù)的差分，不定和、確定和的求法、Casorati矩陣，如何利用Casorati矩陣判斷函數(shù)之間的線性關(guān)系，常系數(shù)線性差分方程的解法，判斷差分方程解序列的性質(zhì)的方法，線性差分方程組解法，差分方程的定性問題、差分方程一些前沿的研究。4、考核方式 本課程是考查課，考試的形式是閉卷，成績平時40%、期末60%。5、學(xué)時分配表章次教學(xué)內(nèi)容理論課學(xué)時數(shù)實驗（實踐）課學(xué)時數(shù)第一章差分演算80第二章線性差分方程100第三章差分方程的研究60小計240總計24二、各部分教學(xué)綱要第一章 差分演算（8學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)1、了解和掌握差分算子、位移算子、恒等算子的概念和他們之間的關(guān)系；2、了

5、解高階差分算子的定義和高階差分算子與高階位移算子之間的關(guān)系；3、理解和掌握差分算子的一些性質(zhì)；4、掌握對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)求導(dǎo)差分的方法；5、了解冪指函數(shù)、Sterling數(shù)與逆Sterling數(shù)的概念；6、理解和掌握利用冪指函數(shù)求冪多項式差分的方法；7、掌握求不定和、確定和的方法。本章重點 差分算子、位移算子、恒等算子、三個算子之間的關(guān)系、高階差分算子、高階位移算子、高階算子之間的關(guān)系、差分算子的的性質(zhì)、階乘冪函數(shù)、階乘多項式、Sterling數(shù)、逆Sterling數(shù)、各階Sterling數(shù)和逆Sterling數(shù)之間的關(guān)系、周期函數(shù)、不定和、確定和。本章難點 算子之間的關(guān)系、萊布尼茲

6、法則、階乘冪函數(shù)、階乘多項式、利用Sterling數(shù)和逆Sterling數(shù)進(jìn)行階乘冪多項式和冪多項式之間的轉(zhuǎn)換、不定和和確定和的求法。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 第1次差分函數(shù)一、算子定義（一）差分算子（二）移位算子（位移算子）（三）不變算子（恒等算子）二、三個算子之間的關(guān)系第二節(jié) 二階與高階差分一、高階算子定義（一）高階差分算子（二）高階移位算子二、高階算子之間的關(guān)系第三節(jié) 差分算子的一些性質(zhì)一、一階差分算子的性質(zhì)二、高階差分算子的性質(zhì)第四節(jié) 初等函數(shù)的差分一、冪函數(shù)的差分求導(dǎo)（一）階乘冪函數(shù)的定義及差分求導(dǎo)（二）二項函數(shù)高階移位算子（三）階乘多項式二、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的差分求導(dǎo)三、冪函數(shù)的

7、差分（一）Sterling數(shù)和各階Sterling數(shù)之間的關(guān)系（二）逆Sterling數(shù)和各階逆Sterling數(shù)之間的關(guān)系（三）利用Sterling數(shù)和逆Sterling數(shù)求冪函數(shù)的差分第五節(jié) 求和法一、周期函數(shù)（一）周期函數(shù)定義（二）周期函數(shù)的性質(zhì)和判定二、不定和（一）不定和定義（二）不定和求解三、確定和（一）確定和定義（二）確定和求解思考題1、各離散算子之間有哪些區(qū)別與聯(lián)系？2、離散算子與連續(xù)算子有哪些異同？3、是不是所有的函數(shù)都可以作差分演算？4、如何利用差分來求和？第二章 線性差分方程（10學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)1、理解有關(guān)序列的基本性質(zhì)；2、了解有關(guān)線性差分方程、差分方程初值問題的概念；3

8、、理解線性差分方程解的存在唯一性定理；4、了解和掌握Casorati矩陣、函數(shù)線性相關(guān)性、差分方程解基的定義；5、會利用Casorati矩陣判斷差分方程解的線性相關(guān)性；6、掌握求解常系數(shù)線性差分方程的方法和判斷差分方程解序列的性質(zhì)的方法；7、了解線性差分方程組的解法。本章重點序列、線性方程、n階線性差分方程初值問題、存在唯一性定理、一階差分方程的解法、Casorati矩陣、方程組解之間線性關(guān)系的判斷、線性方程解的性質(zhì)、常系數(shù)線性差分方程的的解、差分方程解序列的性質(zhì)、線性差分方程組的解法本章難點 Casorati矩陣，如何利用Casorati矩陣判斷函數(shù)之間的線性關(guān)系，常系數(shù)線性差分方程的解法，

9、判斷差分方程解序列的性質(zhì)的方法，線性差分方程組解法教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 序列一、序列的定義二、序列的斂散性三、序列的分類（一）收斂序列（二）發(fā)散序列第二節(jié) 線性差分方程一、算子二、線性差分方程的定義第三節(jié) 存在性與唯一性一、存在唯一性定理（一）差分方程解的定義和初值問題（二）存在唯一性定理二、一階差分方程的求法第四節(jié) 一般理論一、函數(shù)之間的線性關(guān)系（離散下）二、Casorati矩陣三、利用Casorati矩陣判斷函數(shù)之間的線性關(guān)系四、線性方程解的性質(zhì)（一）通解的定義（二）齊次方程解之間的關(guān)系（三）齊次和非齊次方程解之間的關(guān)系第五節(jié) 常系數(shù)線性差分方程一、齊次常系數(shù)線性差分方程的解法（一）低階齊次常系

10、數(shù)線性差分方程的解法（二）高階齊次常系數(shù)線性差分方程的解法二、非齊次常系數(shù)線性差分方程的解法（一）待定系數(shù)法（二）常數(shù)變異法第六節(jié) 差分方程解的斂散性和平衡點問題一、差分方程解的斂散性（一）齊次差分方程解的斂散性（二）非齊次差分方程解的斂散性二、平衡點（一）平衡點定義（二）最終平衡點定義（三）穩(wěn)定性定義和其判定定理第七節(jié) 線性差分方程組一、線性方程組的解法（一）差分方程組定義（二）齊次差分方程組解法（二）非齊次差分方程組解法二、解的結(jié)構(gòu)基本原理 思考題1、差分方程和微分方程有什么異同？2、差分方程求解時有哪些特點？3、差分方程的解本質(zhì)是什么？第三章 差分方程研究（6學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)了解差分方程的

11、應(yīng)用范圍和前景，了解差分方程的研究內(nèi)容、重點和方向。本章重點正解存在性、穩(wěn)定性、周期解、振動性、漸進(jìn)性、模型。本章難點 差分方程應(yīng)用范圍和前景的理解、差分方程定性問題的理解。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 有關(guān)差分方程建模、模型解的性質(zhì)、有關(guān)差分方程的發(fā)展過程和研究方向的討論一、差分方程建模和模型解的性質(zhì)（一）差分方程建模舉例（二）模型解的性質(zhì)二、有關(guān)差分方程的發(fā)展過程和研究方向的討論（一）差分方程的發(fā)展史（二）差分方程的研究方向第一節(jié) 差分方程正解存在性、穩(wěn)定性、周期解、振動性、漸近性等理論的介紹一、差分方程的正解存在性二、差分方程解的穩(wěn)定性三、差分方程的周期解四、差分方程解的振動性五、差分方程解的漸近性 思考題1、為什么要討論差分方程解的性質(zhì)？2、差分方程解的各性質(zhì)之間有沒有聯(lián)系？3、差分方程在實際生活中有沒有