高中數(shù)學選擇性必修一 直線的交點坐標與距離公式（精講）(含答案)

1、2.3 直線的交點坐標與距離公式(精講)思維導圖常見考法考點一 交點【例1】(1)(2021哈爾濱)直線x2y30與2xy30的交點坐標為( )A(1，1)B(1，1)C(1，1)D(1，1)(2)(2021貴州黔東南苗族侗族自治州凱里一中高二期末(理)斜率為2，且過直線和直線交點的直線方程為( )ABCD(3)(2021黑龍江哈九中高二期末(文)直線與的交點在第四象限，則的取值范圍為( )ABCD(4)(2021全國高二課時練習)(多選)當0k時，直線l1：kxyk10與直線l2：kyx2k0的交點可能是( )A(2，3)B(1，2)CD【答案(1)A(2)A(3)C(4)CD【解析】由解得

2、所以直線x2y30與2xy30的交點坐標為(1，1)故選：A(2)聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點坐標為，所求直線方程為.整理為.故選：A(3)直線與的交點在第四象限，聯(lián)立方程： ，解得，即，解得：.故選：C.(4)聯(lián)立，得，即交點在第二象限，驗證C選項，得，成立，驗證D選項，得，成立，故選：CD【一隅三反】1(2021河北唐山市高二期末)過點和點的直線與直線垂直，則( )AB4CD2【答案】C【解析】因為過點和點的直線與直線垂直，所以，即，所以.故選：C2(2021全國高二課時練習)(多選)已知三條直線x2y1，2xky3，3kx4y5相交于一點，則k的值為( )AB1C1D【答案】AC【解析】

3、由，得，所以三條直線的交點為，所以，化簡得，解得或，故選：AC3(2021全國高二專題練習)若直線l1：ykx1與l2：xy10的交點在第一象限內(nèi)，則k的取值范圍是( )A(1，)B(1，1)C(，1)(1，)D(，1)【答案】B【解析】聯(lián)立直線方程，解得，直線的交點在第一象限，解不等式組可得.故選：B考點二 三種距離【例2-1】(1)(2021安徽池州市高二期末(理)若直線與交于點A，且，則_(2)(2021浙江高二期末)點到直線的距離為 (3)(2021全國高二課時練習)兩條平行線l1：3x4y70和l2：3x4y120的距離為 【答案】(1)(2)(3)1【解析】(1)聯(lián)立解得，故，則故

4、答案為：根據(jù)距離公式可得：點到直線的距離(3)兩條平行線l1：3x4y70和l2：3x4y120的距離為：【例2-2】(1)(2021浙江)已知直線恒經(jīng)過定點，則點到直線的距離是( )A6B3C4D7(2)(2021江西)若直線x3y90與直線x3yc0的距離為，則c的值為( )A1B19C1或19D1或19【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由直線方程變形為：，由，解得，所以直線恒經(jīng)過定點，故點到直線的距離是，故選：B.(2)由兩平行線間的距離公式，d，所以| c9|10，得c1或c19選：C.【一隅三反】1(2021江蘇)點(2，1)到直線l：x2y20的距離為( )ABCD0【答案】B

5、【解析】點(2，1)到直線l：x2y20的距離為，故選：B32(2021全國高二專題練習)點P在直線xy40上，O是坐標原點，則|OP|的最小值為( )AB2CD2【答案】B【解析】點到的距離為：，所以的最小值為故選：B.3(2021廣西)(多選)若點A(a，1)到直線3x4y1的距離為1，則a的值為( )A0BC5D【答案】AB【解析】點A(a，1)到直線3x4y1的距離為故，解得或故選：AB4(2021全國高二課時練習)在直線上求點，使點到的距離為，則點坐標是( )ABC或D或【答案】C【解析】設(shè)，所以， 即， 又因為點在直線上，所以，兩式聯(lián)立解得 或，所以點坐標是或.故選：C5(2021

6、湖南)過點和的直線與直線平行，則的值為_【答案】【解析】直線的斜率為1，過點和的直線與直線平行所以，即所以故答案為：6(2021全國高二課時練習)已知滿足，求的最小值_.【答案】.【解析】由于表示點與直線上的點的距離的平方，轉(zhuǎn)化的最小值為點到直線距離的平方，由點到直線的距離公式，可得，所以的最小值為.故答案為：.7(2021全國高二課時練習)兩直線3xy30和6xmy10平行，則它們之間的距離為_.【答案】【解析】直線與直線平行，所以，直線與直線的距離為故答案為：8(2021全國高二專題練習)已知，到直線的距離相等，則實數(shù)a為_.【答案】1或【解析】兩點，到直線的距離相等，化為，解得或故答案為

7、：1或考點三 對稱問題【例3-1】(點關(guān)于點對稱)(1)(2021全國高二單元測試)若點，關(guān)于直線l對稱，那么直線l的方程為_.(2)(2021全國高二課時練習)一條光線從點出發(fā)射向軸，經(jīng)過軸上的點反射后經(jīng)過點，則點的坐標為_.【答案】(1)(2)【解析】(1)求得，點，關(guān)于直線l對稱，直線l的斜率1，直線l過AB的中點，直線l的方程為，即.故答案為：.(2)根據(jù)題意：關(guān)于軸的對稱點為而反射光線直線又過其直線為：即：，當時，即點的坐標為，故答案為：.【例3-2】(點關(guān)于線對稱)(1)(2021全國高二課時練習)點關(guān)于直線的對稱點是_.(2)(2021浙江高二期末)已知直線過定點，則點的坐標是_

8、，點關(guān)于直線的對稱點的坐標是_.【答案】(1)(2) 【解析】(1)設(shè)點M(1，1)關(guān)于直線l：xy1=0對稱的點N的坐標(x，y) 則MN中點的坐標為(，)，利用對稱的性質(zhì)得：KMN=1，且 1=0，解得：x=2，y=2，點N的坐標(2，2)，故答案為(2，2)(2)由，則，令，則，所以點，設(shè)的坐標是，則，解得，所以點的坐標是.故答案為：；【例3-3】(線關(guān)于點對稱)(1)(2020四川省瀘縣第二中學高二月考(文)直線與關(guān)于點成中心對稱，若的方程是，則的方程是_(2)(2020全國高二課時練習)已知直線與關(guān)于點對稱，則_.【答案】(1)(2)-10【解析】(1)在直線上任取一點，則關(guān)于點對稱

9、點一定在直線上，故有，即故直線的方程為故答案為：(2)在直線上取點，M，N關(guān)于點對稱的點分別為.點在直線上，解得，.故答案為：【例3-4】(2021全國高二專題練習)直線關(guān)于對稱的直線方程為( )ABCD【答案】A【解析】設(shè)直線上一點關(guān)于直線對稱點的坐標為，則，整理可得：，即直線關(guān)于對稱的直線方程為：.故選：A.【一隅三反】1(2021全國高二課時練習 點P(2,5)關(guān)于直線xy1的對稱點的坐標是_【答案】(4，1)【解析】設(shè)對稱點的坐標為，則，解得，所以所求對稱點的坐標為2(2020黑龍江哈爾濱市第六中學校高二月考(文)直線關(guān)于點對稱的直線方程為_.【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于點對稱的直線方程

10、為，在上任取一點，則點關(guān)于點對稱的點的坐標為，由題意可知點在直線上，故，整理可得.故答案為：3(2021全國高二單元測試)已知點和，在軸上求一點，使得最小，則點的坐標為( )ABCD【答案】D【解析】找出點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交于點，連接，此時為最短，由與關(guān)于軸對稱，所以，又，則直線的方程為化簡得：，令，解得，所以故選：D4(2021全國高二專題練習)已知直線過定點，則點關(guān)于對稱點的坐標為( )ABCD【答案】A【解析】直線即，故，設(shè)點關(guān)于的對稱點坐標為則解得點關(guān)于的對稱點坐標為故選：A5(2021浙江)直線關(guān)于原點對稱的直線方程是( )ABCD【答案】A【解析】點在直線上，則在所求直

11、線上所求直線的斜率，則所求直線方程為故選：A6(2021廣東湛江)已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程；(3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l的方程【答案】(1)A；(2)9x46y1020；(3)2x3y90.【解析】(1)設(shè)A(x，y)，則解得即A.(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點必在m上設(shè)對稱點為M(a，b)，則解得即M.設(shè)m與l的交點為N，則由得N(4，3)又m經(jīng)過點N(4，3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10

12、上任取兩點，如P(1，1)，N(4，3)，則P，N關(guān)于點A的對稱點P，N均在直線l上易知P(3，5)，N(6，7)，由兩點式可得l的方程為2x3y90.法二：設(shè)Q(x，y)為l上任意一點，則Q(x，y)關(guān)于點A(1，2)的對稱點為Q(2x，4y)，Q在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.考點四 交點和距離在幾何中的運用【例4-1】(2021全國高二專題練習)已知ABC的三個頂點坐標分別是A(1，1)，B(1，3)，C(3，0)(1)判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積【答案】(1)ABC是以A為直角頂點的直角三角形；(2)5【解析】(1)如圖所示，ABC為直角三角形，下面進行

13、驗證法一：，|AB|2|AC|2|BC|2，即ABC是以A為直角頂點的直角三角形法二：kABkAC1，ABACABC是以A為直角頂點的直角三角形(2)由(1)中法一得|AB|2，|AC|又A90，SABC|AB|AC|25【例4-2】(2021沈陽市遼寧實驗中學高二期末)已知直線l過點P(2，3)且與定直線l0：y=2x在第一象限內(nèi)交于點A，與x軸正半軸交于點B，記 的面積為S( 為坐標原點)，點B(a，0).(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求當S取得最小值時，直線l的方程.【答案】(1)；(2)【解析】(1)當直線與直線平行時，不能構(gòu)成，此時，解得：，所以，又因為點在軸正半軸上，且直線與定直

14、線再第一象限內(nèi)交于點，所以.(2)當直線的斜率不存在時，即,，此時,當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為 ，由于直線的斜率存在，所以，且，又，或，由，得，即，則，即，當時，整理得，得，即的最小值為3，此時，解得：，則直線的方程為 即【一隅三反】1(2021全國高二課時練習)(多選)已知直線，以下結(jié)論正確的是( )A不論為何值時，與都互相垂直；B當變化時，與分別經(jīng)過定點和C不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D如果與交于點M，則的最大值是【答案】ABD【解析】對于A，恒成立，恒成立，A正確；對于B，對于直線，當時，恒成立，則過定點；對于直線，當時，恒成立，則恒過定點，B正確；對于C，在上任取點，關(guān)于直線對稱的點的坐標為，代入方程知：不在上，C錯誤；對于D，聯(lián)立，解得：，即，即的最大值是，D正確.故選：ABD.2(2021全國高二課時練習)已知AO是邊BC的中線，用坐標法證明【答案】證明見解析【解析】取BC邊所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如圖設(shè)，(其中)，則，所以，即證.3(2021浙江高二期末)已知直線l