無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)課件

1、10.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.2 冪級(jí)數(shù)10.3 富里葉級(jí)數(shù)10.1 數(shù)集與函數(shù)第10章 無窮級(jí)數(shù)返回返回10.1.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收與條件收斂性10.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)10.1.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法10.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)本小節(jié)內(nèi)容提要：一.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二.收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)一.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 我們?cè)谇懊嫠鶎W(xué)的定積分，所表達(dá)的是一類和式極限。有限和的極限實(shí)際上是無窮多個(gè)數(shù)相加之和，所謂和式極限存在是指無窮多項(xiàng)相加之和是一個(gè)有限數(shù)。下面我們將專門研究無窮和的問題，并把無窮多個(gè)數(shù)相加的式子稱為無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。1.引例依次作圓內(nèi)接正邊形, 這

2、個(gè)和逼近于圓的面積 A .設(shè) a0 表示即內(nèi)接正三角形面積, ak (k=1,2,n)表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積2. 定義無窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)數(shù)列一般項(xiàng)無窮項(xiàng)求和叫做（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記為部分和數(shù)列部分和收斂 ,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和,記作3. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散1)則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .2) 余項(xiàng)的概念為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然注：當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值 級(jí)數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系：當(dāng)給定級(jí)數(shù) 時(shí)，就有部分和數(shù)列反之，給定數(shù)列 ，就有以 為部分和的級(jí)數(shù)其中同時(shí)，級(jí)數(shù) 與數(shù)列 有相同的收斂性且在收斂時(shí)有即例1.討論下列級(jí)數(shù)的斂散性：(3) 等比級(jí)數(shù)(也稱幾何

3、級(jí)數(shù)， q 稱為這個(gè)級(jí)數(shù)的公比)(4) 調(diào)和級(jí)數(shù)要記住這些級(jí)數(shù)的斂散性解：用定義判別(1) 故級(jí)數(shù)發(fā)散而數(shù)列發(fā)散，(2) 所以級(jí)數(shù)收斂, 其和為 1 .(3) 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為2) 若因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）以下用三種方法證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但矛盾!所以假設(shè)不真 .方法1:方法2:將級(jí)數(shù)寫為從而有部分和這表明調(diào)和級(jí)數(shù)存在發(fā)散子列，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法三:故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散例2. 證明級(jí)數(shù) 收斂證：即數(shù)列 有界，同時(shí)也是遞增數(shù)列.故數(shù)列 收斂所以

4、，級(jí)數(shù)收斂.證畢.二.收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) （1）若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,即其和為 c S .性質(zhì)10.1.1. (線性性質(zhì)) （2） 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為證: （1）令則這說明收斂 , 其和為 c S . 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .這表明：（2） 令則這說明級(jí)數(shù)也收斂, 其和為說明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如, (1) 收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)性質(zhì)10.1.2.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證: 將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分

5、和為數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)性質(zhì)10.1.3. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子列,因此必有例如若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.加括號(hào)收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.例如，這表明：注意：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證: 推論: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .性質(zhì)10.1.4（級(jí)數(shù)收斂的必要條件） 注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .例3. 判別下列級(jí)數(shù)的斂

6、散性：（1）（2）解：（1）其一般項(xiàng)為不趨于 0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）和 都是收斂的幾何級(jí)數(shù)，因此這個(gè)級(jí)數(shù)收斂.10.1.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法本小節(jié)內(nèi)容提要：一.比較審斂法 二,比值審斂法*三.根值審斂法及其它若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有界 .若收斂 , 部分和數(shù)列有界, 故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證: “ ”“ ”定理10.1.1. （正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件）證畢.一.比較審斂法 1.比較審斂法的基本形式定理10.1.2 .(比較審斂法)設(shè)(1) 若則收斂 ,也收斂 ;是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (2) 若則發(fā)散 ,也發(fā)散.證：即部分和數(shù)列 有界，不是有界數(shù)

7、列，證畢.例如而 發(fā)散 發(fā)散. 例4. 討論 p 級(jí)數(shù)(常數(shù) p 0)的斂散性. 解: 1) 若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)發(fā)散 .發(fā)散 ,因?yàn)楫?dāng)故時(shí),2) 若（如圖）重要參考級(jí)數(shù): 幾何級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù).時(shí), 收斂 時(shí), 發(fā)散幾何級(jí)數(shù)：時(shí), 發(fā)散p-級(jí)數(shù)：時(shí), 收斂 發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)：歸納：順便推出：命題10.1.1（積分判別法） 若在區(qū)間 上且遞減，則1n分析下面的比較審斂法的極限形式可以省去不等式運(yùn)算 用“比較法”判別級(jí)數(shù)斂（散），需要找一個(gè)通項(xiàng)較大（?。┑臄浚ㄉⅲ┘?jí)數(shù)作比較，而不等式的放大（縮?。┏３１容^困難。先預(yù)估收斂.2比較審斂法的極限形式定理10.1.3

8、.(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 (3) 當(dāng) l = 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 0, 存在(1) 當(dāng)時(shí)，取 使于是， (2) 當(dāng)時(shí)，取 使類似地可以證明，當(dāng) = 時(shí)級(jí)數(shù)(3) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散 .例如, 但前者發(fā)散，后者收斂.都滿足證畢.的斂散性 .例10. 判別級(jí)數(shù)解：（1）（2）（3）收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.解：例11. 判別級(jí)數(shù)的斂散性 .*三.根值審斂法及其它 定理10.1.5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則 且 時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .略證：（1）（2）例如 , p 級(jí)數(shù) 但級(jí)數(shù)收

9、斂 ;級(jí)數(shù)發(fā)散 .（3）證畢.例12. 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：解：（1）（2）（3）故根值審斂法無效.注意例13. 判別級(jí)數(shù)的斂散性 .解: 對(duì)比：試用比較審斂法：比較審斂法有效.則試用比值審斂法：既非實(shí)數(shù)，也非無窮大.比值審斂法無效.一般結(jié)論：比較審斂法根值審斂法比值審斂法細(xì)粗10.1.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂性本小節(jié)內(nèi)容提要：一.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂性*三.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的重排、乘積和柯西收斂準(zhǔn)則一.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理10.1.6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂 ,

10、且其和 其余項(xiàng)滿足（遞減）證: 是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級(jí)數(shù)收斂于S, 且故證畢.解：故級(jí)數(shù)收斂.例14.解：原級(jí)數(shù)收斂.例15. 判別級(jí)數(shù) 的收斂的收斂性.收斂收斂用Leibnitz 判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?發(fā)散收斂收斂例16.(判斷題）二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂性定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)收斂 ,數(shù)為條件收斂 .為絕對(duì)收斂.例如 ：絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 .定理10.1.7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證: 設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂 ,令證畢.經(jīng)驗(yàn)： (1)

11、 要判斷級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，只有應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法去判別 是否收斂.(2)要判斷級(jí)數(shù)條件收斂，應(yīng)證明1）發(fā)散；2）收斂.例17. 判斷下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂、條件收斂還是發(fā)散解: (1)而收斂 ,收斂，因此絕對(duì)收斂 .(2) 令因此收斂,絕對(duì)收斂.（3）故級(jí)數(shù) 發(fā)散（4）故原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂；又因?yàn)閱握{(diào)遞減且趨于零，故原級(jí)數(shù)條件收斂. 如果是用比值或根值判別法來判斷出發(fā)散，則可以斷定 也發(fā)散.經(jīng)驗(yàn)：一般 發(fā)散，不能斷定 也發(fā)散.但是，因?yàn)榇藭r(shí)例18. 判斷下列級(jí)數(shù)收斂性 :解: (1)發(fā)散，因此所給級(jí)數(shù)發(fā)散.(2) 發(fā)散，因此所給級(jí)數(shù)發(fā)散例19. 討論級(jí)數(shù)條件收斂還是發(fā)散的是絕對(duì)收斂、解：設(shè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 ，因?yàn)樵?jí)數(shù)時(shí)絕對(duì)收斂；時(shí)發(fā)散.時(shí)，原級(jí)數(shù)成為時(shí)，原級(jí)數(shù)成為例20. 若條件收斂，試證:證：依兩種情況反證：正項(xiàng)負(fù)項(xiàng)矛盾.矛盾.證畢.*三.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的重排、乘積和柯西收斂準(zhǔn)則定理10.1.8 （條件收斂級(jí)數(shù)重排定理）設(shè)條件收斂，則它可