(人教版)2023年中考數學：拓展題型-二次函數綜合題(有答案)

1、PAGE 目 錄TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc32265 拓展題型二次函數綜合題 PAGEREF _Toc32265 1 HYPERLINK l _Toc12912 拓展一二次函數與線段和差問題 PAGEREF _Toc12912 1 HYPERLINK l _Toc27414 拓展二二次函數與三角形面積問題 PAGEREF _Toc27414 10 HYPERLINK l _Toc1473 拓展三二次函數與特殊四邊形判定問題 PAGEREF _Toc1473 23 HYPERLINK l _Toc21850 拓展四二次函數與特殊三角形判定問題 PAGEREF

2、 _Toc21850 37拓展題型二次函數綜合題拓展一二次函數與線段和差問題針對演練1. (2023賀州10分)如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為(10，8)，沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC 上的E處，E點坐標為(6，8)，拋物線yax2bxc經過O，A，E三點(1)求此拋物線的解析式；(2)求AD的長；(3)點P是拋物線對稱軸上的一動點，當PAD的周長最小時，求點P的坐標第1題圖2. (2023大連12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yx2eq f(1,4)與y軸相交于點A，點B與點O關于點A對稱(1)填空，點B的坐標是_；(2)過點B的直線y

3、kxb(其中k0)與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PBPC.求線段PB的長(用含k的式子表示)，并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；(3)在(2)的條件下，假設點C關于直線BP的對稱點C恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標第2題圖 3. 如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF2，EF3.(1)求拋物線的解析式；(2)連接CB交EF于點M，再連接AM交OC于點R，連接AC，求ACR的周長；(3)設G(4，5)在該拋物線上，P是y軸上一動點，過點P作PHEF于點

4、H，連接AP，GH，問APPHHG是否有最小值？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由第3題圖備用圖【答案】1解：(1)四邊形OABC是矩形，B(10，8)，A(10，0). (1分)又拋物線yax2bxc經過點A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，解得，拋物線的解析式為yeq f(1,3)x2eq f(10,3)x； (3分)(2)由題意可知：ADED，BE1064，AB8，(4分)設AD為x，那么EDx，BDABAD8x，在RtBDE中，ED2EB2BD2，即x242(8x)2， (5分)解得x5，即AD5；(6分)(3)由(2)可知，D點的坐標是(10，5)，PAD的周長lP

5、APDADPAPD5，(7分)拋物線的對稱軸是線段OA的垂直平分線，點P是拋物線對稱軸上的一動點，POPA，lPAPD5POPD5，當POPD最小時，PAD的周長l最小，即當點P移動到直線OD與拋物線對稱軸的交點處時POPD最小， (8分)設直線OD的解析式為ykx，將D點坐標(10，5)代入得：510k，解得keq f(1,2)，直線OD的解析式為yeq f(1,2)x，(9分)當x5時，yeq f(5,2)，P點的坐標是(5，eq f(5,2)(10分)2解：(1)(0，eq f(1,2)； (2分)【解法提示】由yx2eq f(1,4)得：A(0，eq f(1,4)，點B、O關于點A對稱

6、，B(0，eq f(1,2)(2)直線BC過點B(0，eq f(1,2)，直線BC解析式為ykxeq f(1,2)，(3分)C(，0)，又P是直線l上一點，可設P(，a)如解圖，過點P作PNy軸，垂足為N，連接PB，第2題解圖那么在RtPNB中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，a2()2(aeq f(1,2)2，(5分)解得a，PB，P點坐標為(，)，(6分)當x時，y，點P在拋物線上；(7分)(3)如解圖，由C在y軸上，可知CBPCBP，第2題解圖PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，PBC為等邊三角形，OBeq f(1,2)，BC1，OCe

7、q f(r(3),2)，PC1，P(eq f(r(3),2)，1)(12分)3解：(1)四邊形OCEF為矩形，且OF2，EF3，C(0，3)，E(2，3)，將C(0，3)，E(2，3)代入拋物線解析式y(tǒng)x2bxc得，解得，拋物線的解析式為yx22x3；(2)由(1)得yx22x3，令y0，得x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AO1，BO3，又C(0，3)，OC3，在RtAOC中，由勾股定理，得AC，COBO3，OF2，OBCOCB45，AF3，BF1，MFBF1，ROMF，AROAMF，解得ROeq f(1,3)，CR3eq f(1,3)eq f(8,3)，在RtA

8、OR中，AR，ACR的周長為eq r(10)eq f(8,3)eq f(r(10),3)eq f(84r(10),3)；(3)存在點P，使得APPHHG的值最小如解圖，取OF中點A，連接AG交直線EF的延長線于點H，過點H作HPy軸于點P，連接AP，此時，APPHHG的值最小，第3題解圖設直線AG的解析式為ykxa，將A(1，0)，G(4，5)代入得，解得，直線AG的解析式為yeq f(5,3)xeq f(5,3)，令x2，得yeq f(10,3)eq f(5,3)eq f(5,3)，點H的坐標為(2，eq f(5,3)，符合題意的點P的坐標為(0，eq f(5,3)拓展二二次函數與三角形面積

9、問題針對演練1. (2023永州12分)拋物線yax2bx3經過(1，0)，(3，0)兩點，與y軸交于點C，直線ykx與拋物線交于A，B兩點(1)寫出點C的坐標并求出此拋物線的解析式；(2)當原點O為線段AB的中點時，求k的值及A，B兩點的坐標；(3)是否存在實數k使得ABC的面積為eq f(3r(10),2)？假設存在，求出k的值；假設不存在，請說明理由第1題圖2. (2023攀枝花)如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB.(1)求該拋物線的解析式；(2)在(1)中位于第一象限內的拋物線

10、上是否存在點D，使得BCD的面積最大？假設存在，求出D點坐標及BCD面積的最大值；假設不存在，請說明理由；(3)在(1)中的拋物線上是否存在點Q，使得QMB與PMB的面積相等？假設存在，求出點Q的坐標；假設不存在，請說明理由第2題圖3. (2023桂林)如圖，拋物線yeq f(1,2)x2bxc與坐標軸分別交于點A(0，8)、B(8，0)和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動(1)直接寫出拋物線的解析式：_；(2)求CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式；當t為

11、何值時，CED的面積最大？最大面積是多少？(3)當CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P(點E除外)，使PCD的面積等于CED的最大面積，假設存在，求出P點的坐標；假設不存在，請說明理由第3題圖4. (2023常州10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數yx與二次函數yx2bx的圖象相交于O、A兩點，點A(3，3)，點M為拋物線的頂點(1)求二次函數的表達式；(2)長度為2eq r(2)的線段PQ在線段OA(不包括端點)上滑動，分別過點P、Q作x軸的垂線交拋物線于點P1、Q1，求四邊形PQQ1P1面積的最大值；(3)直線OA上是否存在點E，使得點E關于直線MA的對稱點F滿足SAOF

12、SAOM？假設存在，求出點E的坐標；假設不存在，請說明理由第4題圖【答案】1解：(1)令x0，得y3，C(0，3)，把(1，0)和(3，0)代入yax2bx3中，得，解得，拋物線的解析式為yx22x3；(3分)(2)聯(lián)立方程組，解得，O是AB的中點，x1x20，即解得k2， 或，A(eq r(3)，2eq r(3)，B(eq r(3)，2eq r(3)；(7分)；(3)不存在實數k使得ABC的面積為eq f(3r(10),2).理由如下：假設存在實數k使得ABC的面積為eq f(3r(10),2)，聯(lián)立方程組，解得，那么A()， B()， SABCeq f(1,2)OC(xBxA)eq f(3

13、r(10),2)，eq f(1,2)3eq f(3r(10),2)，k24k1610，即k24k60，b24ac16240，此方程無解，不存在實數k使得ABC的面積為eq f(3r(10),2).(12分)2解：(1)把點A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，得，解得，yx22x3；【一題多解】由題意可知點A(1，0)，點B(3，0)是拋物線與x軸的兩個交點，拋物線解析式為y(x1)(x3)x22x3. (2)存在點D，使得BCD的面積最大設D(t，t22t3)，如解圖，作DHx軸于點H，C點坐標為(0，3)，第2題解圖那么SBCDS四邊形DCOHSBDHSBOCeq f(1,2)t(t

14、22t33)eq f(1,2)(3t)(t22t3)eq f(1,2)33eq f(3,2)t2eq f(9,2)t，eq f(3,2)0，即拋物線開口向下，在對稱軸處取得最大值，當teq f(f(9,2),2f(3,2)eq f(3,2)時，SBCDeq f(3,2)(eq f(3,2)2eq f(9,2)eq f(3,2)eq f(27,8)，即點D的坐標為(eq f(3,2)，eq f(15,4)時，SBCD有最大值，且最大面積為eq f(27,8)； (3)存在點Q，使得QMB與PMB的面積相等如解圖，P(1，4)，過點P且與BC平行的直線與拋物線的交點即為所求Q點之一，第2題解圖直線

15、BC為yx3，過點P作BC的平行直線l1，設l1為yxb，將P(1，4)代入即可得到直線l1的解析式為yx5，聯(lián)立方程組，解得，Q1(2，3)；直線PM為x1，直線BC為yx3，M(1，2)，設PM與x軸交于點E，PMEM2，過點E作BC的平行直線l2，那么過點E且與BC平行的直線l2與拋物線的交點也為所求Q點之一，即將直線BC向下平移2個單位得到直線l2，解析式為yx1，聯(lián)立方程組，解得，Q2()，Q3()，滿足條件的Q點為Q1(2，3)，Q2()，Q3()3解：(1)yeq f(1,2)x23x8；【解法提示】把點A(0，8)、B(8，0)代入yeq f(1,2)x2bxc可得，解得，拋物

16、線解析式為yeq f(1,2)x23x8.(2)在yeq f(1,2)x23x8中，當y0時，eq f(1,2)x23x80，解得x12，x28，E(2，0)，BE10，SCEDeq f(1,2)DEOC，Seq f(1,2)t(10t)eq f(1,2)t25t，S與t的函數關系式為：Seq f(1,2)t25t，Seq f(1,2)t25teq f(1,2)(t5)2eq f(25,2)，當t5時，CED的面積最大，最大面積為eq f(25,2)；(3)存在，當CED的面積最大時，t5，即BDDE5，此時，要使SPCDSCED，CD為公共邊，故只需求出過點B、E且平行于CD的直線即可，如解

17、圖第3題解圖設直線CD的解析式為ykxb，由(2)可知OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，把C(0，5)、D(3，0)代入ykxb，得，解得，直線CD的解析式為yeq f(5,3)x5，DEDB5，過點B且平行于CD的直線解析式為yeq f(5,3)(x5)5，過點E且平行于CD的直線解析式為yeq f(5,3)(x5)5，分別與拋物線解析式聯(lián)立得：方程：eq f(1,2)x23x8eq f(5,3)(x5)5，解得x18，x2eq f(4,3)，方程：eq f(1,2)x23x8eq f(5,3)(x5)5，解得x3eq f(34,3)，x42(舍去)，分別將x值代入拋物線解析式，得

18、y10，y2eq f(100,9)，y3eq f(200,9)，又P點不與E點重合，滿足題意的P點坐標有3個，分別是P1(8，0)，P2(eq f(4,3)，eq f(100,9)，P3(eq f(34,3)，eq f(200,9)4解：(1)由題意知，A(3，3)在二次函數yx2bx的圖象上，將x3，y3代入得93b3，解得b2，二次函數表達式為yx22x；(2分)(2)如解圖所示，過點P作PBQQ1于點B，第4題解圖PQ2eq r(2)，且在直線yx上，PBQB2 ，(3分)設P(a，a)，那么Q(a2，a2)，P1(a，a22a)，Q1(a2，(a2)22(a2)，即Q1(a2，a22a

19、)，四邊形PQQ1P1的面積為：2a22a22(aeq f(1,2)2eq f(5,2)，(4分)當Q運動到點A時，OPOQPQeq r(2)，a1，a的取值范圍為0a1，當aeq f(1,2)時，四邊形PQQ1P1的面積最大，最大值為eq f(5,2)；(5分)(3)存在，點E的坐標為E1(eq f(4,3)，eq f(4,3)，E2(eq f(14,3)，eq f(14,3)，如解圖所示，連接OM，第4題解圖點M為拋物線頂點，M(1，1)，又OA所在直線為yx，OMOA，即AOM90，在AOF和AOM中，以OA為底，當面積相等時，那么兩三角形OA邊上的高相等，又OMOA，且OMeq r(2

20、)，可作兩條與OA互相平行且距離為eq r(2)的直線，(6分)如解圖所示，在直線HD、MC上的點F均滿足SAOFSAOM，只需滿足E點的對稱點F在這兩條直線上即可如解圖，過點A作ACMC于點C，易得四邊形OACM為矩形，AM為該矩形的一條對角線，取AM中點O，過O作AM垂線，交OA于點E1，交MC于點F1，OA3eq r(2)，AOeq r(5)，AOE1AOM，(7分)， ，解得OE1eq f(4r(2),3)，點E1在yx上，E1(eq f(4,3)，eq f(4,3)，(8分)同理可得HF2GE2eq f(4r(2),3)，又OG2OA6eq r(2)，OE26eq r(2)eq f(

21、4r(2),3)eq f(14r(2),3)，E2(eq f(14,3)，eq f(14,3)綜上所述，符合條件的E點的坐標為：E1(eq f(4,3)，eq f(4,3)、 E2(eq f(14,3)，eq f(14,3)(10分)拓展三二次函數與特殊四邊形判定問題針對演練1. (2023茂名8分)如圖，拋物線yx2bxc經過A(1，0)，B(3，0)兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD.(1)求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；(2)點P是線段BD上一點，當PEPC時，求點P的坐標；(3)在(2)的條件下，過點P作PFx軸于點F，G為拋

22、物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標第1題圖備用圖2. (2023安順14分)如圖，拋物線經過A(1，0)，B(5，0)，C(0，eq f(5,2)三點(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PAPC的值最小，求點P的坐標；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A、C、M、N四點構成的四邊形為平行四邊形？假設存在，求點N的坐標；假設不存在，請說明理由第2題圖3. (2023南充10分)如圖，拋物線與x軸交于點A(5，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C(0，5)有一寬度為1，長度

23、足夠的矩形(陰影局部)沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和Q，交直線AC于點M和N，交x軸于點E和F.(1)求拋物線解析式；(2)當點M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sinAMFeq f(r(10),10)，求點Q的坐標；(3)在矩形的平移過程中，當以點P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標第3題圖4. (2023成都12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線ya(x1)23與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C(0，eq f(8,3)，頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P、Q兩點，點Q在y軸的右側(1)求a的

24、值及點A、B的坐標；(2)當直線l將四邊形ABCD分為面積比為37的兩局部時，求直線l的函數表達式；(3)當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，那么以DP為對角線的四邊形DMPN能否成為菱形？假設能，求出點N的坐標；假設不能，請說明理由第4題圖備用圖【答案】1解：(1)拋物線yx2bxc經過A(1，0)，B(3，0)兩點，解得，經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式為yx22x3；(2分)(2)如解圖，連接PC、PE，第1題解圖，當x1時，y1234，點D坐標為(1，4)，設直線BD為：ymxn，將點B、D坐標分別代入表達式，得，解得，y2x6，設點P坐標為(x，2x6)，由

25、勾股定理可得PC2x2(32x6)2，PE2(x1)2(2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2(2x6)2，解得x2，那么y2262，P(2，2)；(5分)(3)依題意可設點M坐標為(a，0)，那么G坐標為(a，a22a3)如解圖，以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，必有FMMG，第1題解圖即|2a|a22a3|， 2a(a22a3)，解得aeq f(1r(21),2)， 2aa22a3，解得aeq f(3r(13),2)，綜上所述，M點的坐標為(eq f(1r(21),2)，0)，(eq f(1r(21),2)，0)，(eq f(3r(13),2)，0)，(eq f(3r(

26、13),2)，0)(8分)2解：(1)設拋物線的解析式為yax2bxc(a0)，將點A(1，0)，B(5，0)，C(0，eq f(5,2)代入得，解得，拋物線的解析式為yeq f(1,2)x22xeq f(5,2)；(4分)(2)由題意知，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，如解圖，連接BC交拋物線的對稱軸于點P，那么P點即為所求，第2題解圖設直線BC的解析式為ykxb1(k0)，由題意得，解得，直線BC的解析式為yeq f(1,2)xeq f(5,2)，拋物線yeq f(1,2)x22xeq f(5,2)的對稱軸是x2，當x2時，yeq f(1,2)xeq f(5,2)eq f(1,2)2e

27、q f(5,2)eq f(3,2)，點P的坐標是(2，eq f(3,2)；(9分)(3)存在(10分)(i)當存在的點N在x軸的下方時，如解圖所示，第2題解圖四邊形ACNM是平行四邊形，CNx軸，點C與點N關于對稱軸x2對稱，C點的坐標為(0，eq f(5,2)，點N的坐標為(4，eq f(5,2)；(11分)(ii)當存在的點N在x軸上方時，如解圖所示，作NHx軸于點H，四邊形ACMN是平行四邊形，ACMN，NMHCAO，AOCMHN，RtCAORtNMH (AAS)，NHOC，點C的坐標為(0，eq f(5,2)，NHeq f(5,2)，即N點的縱坐標為eq f(5,2)，eq f(1,2

28、)x22xeq f(5,2)eq f(5,2)，解得x12eq r(14)，x22eq r(14).點N的坐標為(2eq r(14)，eq f(5,2)或(2eq r(14)，eq f(5,2)(13分)綜上所述，滿足題目條件的點N共有三個，分別為(4，eq f(5,2)，(2eq r(14)，eq f(5,2)，(2eq r(14)，eq f(5,2)(14分)3解：(1)根據題意得，A(5，0)，B(3，0)是拋物線與x軸的交點，設拋物線的解析式為ya(x5)(x3)，(1分)拋物線過點C(0，5)，aeq f(1,3)，拋物線的解析式為yeq f(1,3)(x5)(x3)eq f(1,3

29、)x2eq f(2,3)x5；(2分)(2)如解圖，過點F作FDAC于點D，第3題解圖OA5，OC5，CAO45.(3分)設AF的長為m，那么DFeq f(r(2),2)m，MEAEm1，sinAMFeq f(DF,MF)，(4分)在RtMEF中，FM2ME2EF2，(eq r(5)m)2(m1)212，解得m11，m2eq f(1,2)(不符合題意，舍去)，(5分)AF1，點Q的橫坐標為4.又點Q在拋物線yeq f(1,3)x2eq f(2,3)x5上，Q(4，eq f(7,3)；(6分)(3)設直線AC的解析式為ykxn(k0)，由題意得，解得，直線AC的解析式為yx5.(7分)由題知，點

30、Q，N，F及點P，M，E的橫坐標分別相同，設F(t，0)，E(t1，0)，點M，N均在直線yx5上，N(t，t5)，M(t1，t6)，點P，Q在拋物線yeq f(1,3)x2eq f(2,3)x5上，Q(t，eq f(1,3)t2eq f(2,3)t5)，P(t1，eq f(1,3)t2eq f(4,3)t4)，(8分)在矩形平移過程中，以P、Q、N、M為頂點的平行四邊形有兩種情況：點Q、P在直線AC的同側時，QNPM，(eq f(1,3)t2eq f(2,3)t5)(t5)(eq f(1,3)t2eq f(4,3)t4)(t6)，解得t3，M(2，3)；(9分)點Q，P在直線AC的異側時，Q

31、NMP，(eq f(1,3)t2eq f(2,3)t5)(t5)(t6)(eq f(1,3)t2eq f(4,3)t4)，解得t13eq r(6)，t23eq r(6)，M(2eq r(6)，3eq r(6)或(2eq r(6)，3eq r(6)，符合條件的點M是(2，3)，(2eq r(6)，3eq r(6)或(2eq r(6)，3eq r(6)(10分)4解：(1)拋物線與y軸交于點C(0，eq f(8,3)，a3eq f(8,3)，解得aeq f(1,3)，yeq f(1,3)(x1)23，當y0時，有eq f(1,3)(x1)230，解得x12，x24，A(4，0)，B(2，0)；(3

32、分)(2)由(1)可知，A(4，0)，B(2，0)，C(0，eq f(8,3)，D(1，3)，S四邊形ABCDSAHDS梯形OCDHSBOCeq f(1,2)33eq f(1,2)(eq f(8,3)3)1eq f(1,2)2eq f(8,3)10，從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：如解圖，當直線l與邊AD相交于點M1時，第4題解圖那么， eq f(1,2)3()3，2，A(4，0)，D(1，3)，直線AD的解析式為yx4，M1(2，2)，(5分)過點H(1，0)和M1(2，2)的直線l的解析式為y2x2；如解圖，當直線l與邊BC相交與點M2時，同理可得點M2(eq

33、f(1,2)，2)，第4題解圖過點H(1，0)和M2(eq f(1,2)，2)的直線l的解析式為yeq f(4,3)xeq f(4,3)，綜上所述：直線l的函數表達式為y2x2或yeq f(4,3)xeq f(4,3)；(7分)(3)以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且過點H(1，0)的直線PQ的解析式為ykxb，第4題解圖kb0，bk，ykxk.由，eq f(1,3)x2(eq f(2,3)k)xkeq f(8,3)0，x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2，點M是線段PQ的中點，由中點坐標公式得點M(eq f(3,2)k1，eq f(3,

34、2)k2)假設存在這樣的N點如解圖，直線DNPQ，設直線DN的解析式為ykxk3，由，解得x11(舍去)，x23k1，N(3k1，3k23)，四邊形DMPN是菱形，DNDM，DN2DM2，即(3k)2(3k2)2，整理得3k4k240，k210，3k240，解得keq f(2r(3),3)，k0，keq f(2r(3),3)，N(2eq r(3)1，1)，以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為(2eq r(3)1，1)(12分)拓展四二次函數與特殊三角形判定問題針對演練1. (2023棗莊10分)如圖，拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經過A(1，0)，C(

35、0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.(1)假設直線ymxn經過B，C兩點，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；(3)設點P為拋物線的對稱軸x1上的一個動點，求使BPC為直角三角形的點P的坐標第1題圖2. (2023新疆13分)如圖，拋物線yax2bx3(a0)的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BOOC3AO，直線yeq f(1,3)x1與y軸交于點D.(1)求拋物線的解析式；(2)求證：DBOEBC；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PBC是等腰三角形？假設存在，請直接寫出符

36、合條件的P點坐標，假設不存在，請說明理由第2題圖3. (2023襄陽13分)如圖，點A的坐標為(2，0)，直線與x軸，y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線yax2bxc過A，B，C三點(1)請直接寫出B，C兩點的坐標，拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P為第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F.假設四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標；(3)設點M是線段BC上的一動點，過點M作MNAB，交AC于點N.點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t(秒)當t(秒)為何值時，存在QMN為等腰

37、直角三角形？第3題圖【答案】1解：(1)依題意得，解得，拋物線解析式為yx22x3，對稱軸為x1，拋物線經過A(1，0)，B(3，0)，把B(3，0)，C(0，3)分別代入ymxn得，解得，直線BC的解析式為yx3；(3分)(2)設直線BC與對稱軸x1的交點為M，如解圖，連接AM，第1題解圖MAMB，MAMCMBMCBC，使MAMC最小的點M應為直線BC與對稱軸x1的交點，把x1代入直線yx3，得y2，M(1，2)；(6分)(3)設P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，假設B為直角頂點，那么BC2PB2PC2，即

38、184t2t26t10，解得t12；假設C為直角頂點，那么BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t24；假設P為直角頂點，那么PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t3eq f(3r(17),2)，t4eq f(3r(17),2).綜上所述，滿足條件的點P共有四個，分別為：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，eq f(3r(17),2)，P4(1，eq f(3r(17),2)(10分)2(1)解：當x0時，yax2bx33，C(0，3)，即OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A(1，0)，B(3，0)，將A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx3得：，解得，

39、拋物線的解析式為yx22x3；(4分)(2)證明：由拋物線解析式y(tǒng)x22x3(x1)24可得：E(1，4)，當x0時，yeq f(1,3)x11，D(0，1)，即OD1，同理可得CEeq r(2)，BE2eq r(5)，BC3eq r(2)，在DBO和EBC中， ，DBOEBC；(9分)(3)解：存在，點P的坐標為(1，1)，(1，3eq r(17)，(1，3eq r(17)，(1，eq r(14)或(1，eq r(14)(13分)【解法提示】如解圖，過點P作PGy軸于點G，連接PC，PB，設拋物線對稱軸與x軸的交點為M，設點P(1，a)，第2題解圖那么PG1，GC|a3|，PM|a|，PC2

40、1(a3)2，PB2a24，BC218，當P是等腰三角形頂點時，PC2PB2，即1(a3)24a2，解得a1，P1(1，1)；當C是等腰三角形頂點時，PC2CB2，即1(a3)218，解得a13eq r(17)，a23eq r(17)，P2(1，3eq r(17)，P3(1，3eq r(17)；當B是等腰三角形頂點時，PB2CB2，即4a218，解得a1eq r(14)，a2eq r(14)，P4(1，eq r(14)，P5(1，eq r(14)綜上所述，存在點P，使得PBC是等腰三角形，點P的坐標分別為：P1(1，1)，P2(1，3eq r(17)，P3(1，3eq r(17)，P4(1，eq r(14)，P5(1，eq r(14)3解：(1)B(4，0)，C(0，3)，拋物線的解析式為yeq f(3,8)x2eq f(3,4)x3，D(1，eq f(27,8)；(4分)【解法提示】令x0，代入yeq f(3,4)x3，得y3，C(0，3)，令y0，代入yeq f(3,4)x3，得eq f(3,4)x30，解得x4，B(4，0)，設拋物線的解析式為ya(x2)(x4)，把C(0，3)代入ya(x2)(x4)，aeq f(3,8)，拋物線的解析式為yeq f(3,8)(x2)(x4)eq f(3,8)x2eq f(3,4)x3eq f(3,8)(x1)2eq f