2012年廣州一模理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、 注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用 2B 鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B 鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。5考生必須保

2、持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。1S3 1xx x222方差s2x x x x x xx1212nnn一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 1已知復(fù)數(shù)i i 1 i （其中a b aAB1y logB2 的定義域?yàn)榧?，則x 2已知全集U R ，函數(shù)2UA 2, 1 f x sin3如果函數(shù)0 的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為 ，則 的值為x612A3B6C12D2422224已知點(diǎn)，0 ）是圓 ：內(nèi)一點(diǎn)，直線 的方程為lax by r 0 ，那么直abO 線 與圓 的位置關(guān)系是lOB相切C相交21 ，對(duì)于任意正

3、數(shù) ，是成立的ax x a1212B必要非充分條件D既不充分也不必要條件abab3, 4 ，其 中 為 與 的夾角若則的值為C886，ABCBC 6D概率為11123C6328從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的是 3 的倍數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A252B216C72D42（一）必做題（913 題）22229如圖 1 是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為222kx 1 dx4正(主)視圖側(cè)(左)視圖12在區(qū)間 0,11已知冪函數(shù)y m2m2，12已知集合，213兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙

4、灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖2中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，1 ，第2個(gè)五角形數(shù)記作5 ，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作a 22 ，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則，若145 ，則n 4 2215BAB的中點(diǎn)，OCP1DPcm A3OlC參數(shù)方程分別為 ：ls2y t若l 與 相交于 、 兩點(diǎn)，則 ABCAB三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù) ( ) tan 3f x x 4f9（2）設(shè)，若2 ，求cos ,f234417（本小題滿分12分）5X18

5、（本小題滿分14分）如圖 5 所示，在三棱錐 P ABC 中，AB BC6 ，平面 PAC平面AC 于點(diǎn) ，D，CD 3 ， PDACDB （2）求直線與平面所成角的正弦值PBCAP等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，2 , , 4 成等差數(shù)列，且 2a aa aaa43532n a的通項(xiàng)公式；n，求數(shù)列abnnnn2A B C A B1的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 、 曲 線 是以 、 兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為 524與橢圓相交于另一點(diǎn) TPAP（1）求曲線 的方程；C（2）設(shè) 、 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 、 ，證明： 1 ；x x PTx212與，求OSS S221212的取值范圍x2x3xn設(shè)函數(shù) ( ) e (

6、e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))， ( ) 1L（x2! 3!n( ) ；f ( x) g x10 時(shí)，比較( ) 的大小，并說明理由；g xx n 1 222232n（3）證明：1e （L g 23 n 說明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3

7、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分12345678DBCABDCA二、填空題：本大題查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性共 7 小題，每小題 5 分，滿分 30 分其中 1415題是選做題，考生只能選做一題第 13 題僅填對(duì) 1 個(gè)，則給 3 分 1, 2910113121335，10146 2（本小題主要考查兩角和的正切、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的余弦等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）f93343 分3 4 分34tan f34

8、44 tan tan 2sin 所以2 ，即sin 2 cos cos 22 1由、解得cos 2 9 分552511 分444522522（本小題主要考查統(tǒng)計(jì)、方差、隨機(jī)變量的分布列、均值（數(shù)學(xué)期望）等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）11 a 93 95) ，1 分(87 89 96 96)(87 9044解得3 .2 分（2）解：根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分都為x 92 .3 分187 92293 92293 922224（3）解：分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4 4 16 種可能的結(jié)果6 分 這兩名同學(xué)成績(jī)之

9、差的絕對(duì)值 的所有情況如下表：X甲96987643364338611所以 的所有可能取值為 0，1，2，3，4，6，8，9.8 分X1214由表可得 (P X 0)，.16161616所以隨機(jī)變量 的分布列為：X901234681214231210 分16隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望為X12142312 18 9 11 分161668174.12 分16 （本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）證明 1：因?yàn)槠矫嫫矫?，?面平面，平面ABCABCACPAC所以平面記中，所以AC

10、ABC 2因?yàn)橐驗(yàn)? ，4 ，所以622 3 分AC222，所以為直角三角形PD ACPCDP因?yàn)樗赃B接2 CD32 3 4 分22E，在 Rt 中，因?yàn)? ，D E 1ACD2所以因?yàn)? DEB22平面，平面ABCABC中，因?yàn)? ，3 ，22所以336 6 分2 3 ， BD22在6 ， PB 6 ，PCPBC所以所以BC2 PB2 PC2為直角三角形7 分平面 ，平面 I 平面 平面 ，PAC PD ACPBC，ABC所以平面記中，因?yàn)锳CABCAB BC2因?yàn)檫B接所以在所以6 ，62 3 分AC22，在 Rt 中，因?yàn)?BED 90 ，2 ，oBE 2 DE23 4分226 ， 3

11、，BCBCD，所以5分 BD C D BDBC222BC平面，平面，ABC6分，所以平面BD PD D平面BC為直角三角形7分 的垂線，垂足為 ，連HAPBC則為直線與平面所成的角8 分APPBC1的面積2 2 9 分ABCS2ABC112 6因?yàn)? 23 10 分 PD 333ABC6 ，6 ，3 11 分BC11所以的面積66 SPBC22PBC因?yàn)槿忮F與三棱錐，12 6即3，所 以33中，因?yàn)? ，2所以312 2 13 分 AD222 6326因?yàn)閟in（資料來源：中國(guó)高考吧 ）36與平面PBC3解法 2：過點(diǎn) 作D，則與平面所成的角8 分PBCPBC，且，P PB P所以因?yàn)槠矫嫫?/p>

12、面，平面則平面ADNCD所以為直線與平面 DMNPBC3 ，2312 2 11 分 AD22DM3，所以，即223 ，3 ，3 36所以13 分62PB 626因?yàn)閟in，3326所以直線與平面14 分AP3解法 3：延長(zhǎng)CB 至點(diǎn) ，使得，連接GAGP在所以在所以PCG C PG 90oK中，因?yàn)? 3 ，PACPCP A 2EACD，PA222B所以CP PA因?yàn)镮，GPA PG PAK PG因?yàn)槠矫?，AK PAG因?yàn)樗运訧平面PCG，BC PB所以2 3 EB所以在所以22 2 12 分中，2 2 ，P A 2PG13 分PA2222 26因?yàn)閟in2 336與平面所成角的正弦值為P

13、BC3解法 4：以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，E，8 分 則0, 1, 3 PzABCP于是3 ，0, 3, 3 設(shè)平面的法向量為PBCnEAyDCn則Bx2 x y 3z 0,即取3 y 3z 0.，則3 ，2 （資料來源：中國(guó)高考吧 ）z x 2 ,1, 3 12分PBC與平面APAP n4636與平面3，EECxy，1 分E xyz zP則2 , 0, 0 ，BC 于是因?yàn)锽P BC EAyDC 所以Bx所以所以BP BC為直角三角形7分0, 2, 0 （2）由（1）可得，A于是2 ,1,3 ，0, 3,設(shè)平面的法向量為PBCn n則取即，則2 y 1z 所以平面設(shè)直線PBC與平面PBCAP n

14、46則sin cos AP ,n 3AP n6所以直線與平面3（本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)、裂項(xiàng)求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）n,45即23453a 2a .223232,234所以由于11222111a ,1,0 ，q 0或15 分a 1. 1. q21又0,，6 分a 1211n *）7 分n N（ann1（2）解：由（1），得b a nnn2112nn11n 1n 所以S b b n12n11111122n 1 211故數(shù)列bnnn（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化

15、、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力），A(1, 0)y設(shè)雙曲線 的方程為Cx2b2，所以51y21 3 分x24（2）證法 1：設(shè)點(diǎn) ( , ) 、 ( , ) （0 ，0 ，i 1, 2 ），直線P x yT x yAP1122y k ( x 1)y2 1.4 整理，得 4240 ， k x k x k 22222所以6 分x 2227 分x 14 k所以1 8 分12證法 2：設(shè)點(diǎn) ( , ) 、 ( , ) （P x y T x y0 ，y 0 ，i 1, 2 ），i1122 yy則，k1k2APxAT1yyy2y2因?yàn)?，所以，即k1212x 2APATx 12

16、1x1212y2y21 ，Tx21x224412 即，y22 1y21122 22x 所以所以，即121212x x 1 8 分12y證法 3：設(shè)點(diǎn) ( , ) ，直線P x y的方程為x 1) ，4 分y 1(111x 1yy x 1 ,1x 11y2x2 1.4整理，得 4(2x2222221112x 121112將4，得y22x 1x 112xxxy111所以1 8 分x x 12（3）解：設(shè)點(diǎn) ( , ) 、 ( , ) （0 ，y 0 ，i 1, 2 ），iP x yT x y1122，1則1,1111122215 ，即16 9 分x11111y2因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線上，則P44 16

17、，即 x21x22x241111因?yàn)辄c(diǎn) 是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以12 10 分P1 因?yàn)樗詜 | ，|222111S22 y2y22242412212112112x1設(shè)4 ，t x t 14 5 t S212t 2 t 2 t44 設(shè)5，則 1，f t t f ttt2t24 時(shí)， f tf t 在 1, 2 上單調(diào)遞增，在 2, 4 上單調(diào)遞減所以函數(shù)f t因?yàn)? ，140 ，ffx 4 0 12 分所以當(dāng)t 4 ，即2112minx S22 2 113 分112max 的取值范圍為 0,1 14 分所以S221說明：由54S222S212121212max21（本小題滿分 14

18、分）（本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）（1）證明：設(shè) ( )1 ，x f x g x e x x111 1 分x1當(dāng)x xxx111, 0) 上單調(diào)遞減，在(0,) 上單調(diào)遞增，在x 0 處取得唯一極小值，2 分x1因?yàn)?(0) 0 ，所以對(duì)任意實(shí)數(shù) 均有 ( ) (0) 0 x x111f x g x 1( ) 3 分f x g x1數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第 10 頁（共 12 頁） 0 時(shí)，( ) 4 分f ( x) g xx n當(dāng)( ) n f ( x) g x1假設(shè)當(dāng)（*）時(shí)，對(duì)任意f ( x) g x( ) ，5 分n k Nkk( )( ) ，xxx