復(fù)變函數(shù)論鐘第七章

1、12022/9/67.1 解析變換的特性7.1.1 解析變換的保域性7.1.2 解析變換的保角性7.1.3 單葉解析變換的共形性第七章 共形映射22022/9/6定理7.1 (保域定理)設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域.證 首先證明G的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).設(shè)w0G,則有一點(diǎn)z0D,使w0=f(z0).要證w0是G的內(nèi)點(diǎn),只須證明w*與w0充分接近時(shí),w*亦屬于G.即當(dāng)w*與w0充分接近時(shí),方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.為此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性,必有以z0為心的某個(gè)圓C:|z-z0|=R,顯然 f

2、(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外)C及C的內(nèi)部全含于D,使得均不為零.因而在C上:7.1.1解析變換的保域性內(nèi)的點(diǎn)w*及在C上的點(diǎn)z有對(duì)在鄰域32022/9/6因此根據(jù)儒歇定理,在C的內(nèi)部與f(z)-w0有相同零點(diǎn)的個(gè)數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解. 由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結(jié)z1,z2的折線C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：就是聯(lián)結(jié)w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到 其次,要證明G中任意兩點(diǎn)w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結(jié)起來.（連

3、通性）一條連接w1,w2,內(nèi)接于 且完全含于G的折線1總結(jié)以上兩點(diǎn),即知G=f(D)是區(qū)域.42022/9/6證 因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).定理7.2 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域.注 定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴(kuò)充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點(diǎn)外處處解析（即為亞純函數(shù)）,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴(kuò)充z平面上的區(qū)域.注 滿足定理7.2和7.3的條件的解析變換w=f(z)將z0的一個(gè)充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個(gè)曲邊鄰域.定理7.3 設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0解析,且f (z0)0,則f(

4、z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析.52022/9/67.1.2 解析變換的保角性導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析,z0D,在點(diǎn)z0有導(dǎo)數(shù)通過z0任意引一條有向光滑曲線C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此C在z0有切線,就是切向量,經(jīng)變換w=f(z) 的參數(shù)方程應(yīng)為 則且必存在它的傾角為Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲線由定理7.3及第三章習(xí)題(一)13, 在點(diǎn)w0=w(t0)的鄰域內(nèi)是光滑的.又由于故 在w0=f(z0)也有切線，設(shè)其傾角為，則就是切向量,62022/9/6Cx0yzz0z0+z圖7.1w=f(z)uv0ww0w0+w且（7.1）（7.

5、2）如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理解為原曲線經(jīng)過變換后的旋轉(zhuǎn)角,則：(7.1)說明:象曲線 在點(diǎn) 的切線正向,可由原曲線C在點(diǎn) 的切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 得出。 僅與 有關(guān),而與經(jīng)過 的曲線C的選擇無關(guān),稱為變換 在點(diǎn) 的旋轉(zhuǎn)角。導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義.(7.2)說明:象點(diǎn)間無窮小距離與原象點(diǎn)間的無窮小距離之比的極限是 ,它僅與 有關(guān),而與過 的曲線C的72022/9/6方向無關(guān),稱為變換w=f(z)在點(diǎn) 的伸縮率.這也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義. 上面提到的旋轉(zhuǎn)角與C的選擇無關(guān)的這個(gè)性質(zhì),稱為旋轉(zhuǎn)角不變性;伸縮率與C的方向無關(guān),

6、這個(gè)性質(zhì),稱為伸縮率不變性. 從幾何意義上看:如果忽略高階無窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將 處無窮小的圓變成 處的無窮小的圓,其半徑之比為 . 上面的討論說明:解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角不變性與伸縮率不變性.上式可視為82022/9/6經(jīng)點(diǎn)z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構(gòu)成的角稱為兩曲線在該點(diǎn)的夾角.Ox(z)z0定義7.1 若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn) 具有:(1)伸縮率不變性;(2)過 的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0保持方向;則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn) 是保角的,或稱w=f(z)在點(diǎn) 是保角變換. 如果w=f(

7、z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的，則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的，或稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換.z0z092022/9/6轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān). 所以這種映射具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性. 通過z0點(diǎn)的可能的曲線有無限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質(zhì), 即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度Arg f (z0).OxyOuv(z)(w)z0w0102022/9/6相交于點(diǎn)z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f (z)映射后C1與C2對(duì)應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性

8、。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2112022/9/6定理7.4 如w=f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處是保角的.推論7.5 如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.總結(jié)上述討論，我們有以下結(jié)論：例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 處的導(dǎo)數(shù)值,并說明幾何意義。解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。在z=i 處具有伸縮率不變和保角性。伸縮率為3，旋轉(zhuǎn)角為 。122022/9/6定義7.2 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)在D內(nèi)是共形的,也稱它為D內(nèi)的共形映射. 7.1.3 單葉解析

9、變換的共形性定理7.6 設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則 (1)w=f(z)將D共形映射成區(qū)域G=f(D). (2)反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且證 (1)由推論7.2,G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D共形映射成G. (2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當(dāng) 時(shí), ,即反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉.故132022/9/6由假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,即在D內(nèi)滿足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故 由數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在定理,存在兩個(gè)函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點(diǎn) 及其一個(gè)

10、鄰域 內(nèi)為連續(xù)，即在鄰域 中,當(dāng) 時(shí),必有故即142022/9/6在D內(nèi)作以z0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小三角形, 在映射下, 得到一個(gè)以w0為其一個(gè)頂點(diǎn)的小曲邊三角形, 這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比近似為|f (z0)|, 有一個(gè)角相等, 則這兩個(gè)三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理的幾何意義.152022/9/6OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2162022/9/6第二節(jié) 分式線性變換 7.2.1 分式線性變換及其分解 7.2.2 分式線性變換的映射性質(zhì)7.2.3 分式線性變換的應(yīng)用172022/9/6(7.3)為分式線性變換.簡(jiǎn)記為w=L(z).1

11、.定義7.2.1 分式線性變換及其分解稱變換注:條件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,則 約定：w=L(z)的定義域?yàn)镃：(7.4)結(jié)論w=L(z)將CCw=L(z)的逆變換為 w=L(z)在擴(kuò)充z平面上是保域的182022/9/62. 分式線性變換 w=L(z)的分解結(jié)論：分式線性變換 w=L(z)可以分解為如下簡(jiǎn)單變換的復(fù)合整線性變換旋轉(zhuǎn)變換伸縮變換平移變換反演變換關(guān)于單位圓周的對(duì)稱變換關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱變換192022/9/6O(z)(w)zwbi)w=z+b. 這是一個(gè)平移映射. 因?yàn)閺?fù)數(shù)相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離|b|后, 就得到w.O(z)=(w)zw

12、aii) w=az, a0. 這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)與伸長(zhǎng)(或縮短)的映射. 設(shè) 將 z 先轉(zhuǎn)一個(gè)角度a, 再將|z|伸長(zhǎng)(或縮短) 倍后, 就得到 w.202022/9/6zw1w1O圓周的對(duì)稱點(diǎn)CPPrTOP與P關(guān)于圓周C互為對(duì)稱點(diǎn)212022/9/67.2.2 分式線性變換的映射性質(zhì)1.保角性（或共形性）而i)與ii)是平移,旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,顯然是共形的,所構(gòu)成的復(fù)合映射w=az+b在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面上是共形的。定理一 分式線性變換在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的, 且具有保角性.而分式線性變換是上述三種映射復(fù)合而構(gòu)成的,因此有222022/9/6映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,

13、 （這里將直線看作是無窮大半徑的圓）這種性質(zhì)稱作保圓性。映射w=az+b顯然具有保圓性,下面說明w=1/z具有保圓性.2. 保圓性因此, 映射w=1/z將方程變?yōu)榉匠坍?dāng)a0,d0：圓周映射為圓周; 當(dāng)a0,d=0：圓周映射成直線;當(dāng)a=0,d0：直線映射成圓周；當(dāng)a=0,d=0：直線映射成直線.這就是說, 映射w=1/z把圓周映射成圓周. 或者說, 映射w=1/z具有保圓性.232022/9/6定理二 分式線性變換將擴(kuò)充 z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周, 即具有保圓性. 根據(jù)保圓性, 在分式線性變換下, 如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 則它就映射成半徑為有限的圓周; 如果

14、有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 它就映射成直線.242022/9/6定義7.5 關(guān)于圓周 對(duì)稱是指 都在過圓心a的同一條射線上,且滿足此外,還規(guī)定圓心a與點(diǎn)關(guān)于 為對(duì)稱的。3. 保對(duì)稱點(diǎn)性定理7.11 擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn) 關(guān)于圓周 對(duì)稱的充要條件是,通過 的任意圓周都與 正交.定理7.12 設(shè)擴(kuò)充z平面上兩點(diǎn) 關(guān)于圓周 對(duì)稱,w=L(z)為一線性變換,則 兩點(diǎn)關(guān)于圓周 對(duì)稱.證 設(shè) 是擴(kuò)充w平面上經(jīng)過 的任意圓周.此時(shí),必然存在一個(gè)圓周 ,它經(jīng)過 ,并使 ,因?yàn)?關(guān)于 對(duì)稱,故由定理7.11, 與 亦正交.這樣,再由定理7.11即知 關(guān)于 對(duì)稱.252022/9/6CRz0z1z2zG262022/9

15、/6當(dāng)四點(diǎn)中有一點(diǎn)為時(shí),應(yīng)將包含此點(diǎn)的項(xiàng)用1代替.例如z1= 時(shí),即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得.定義7.4 擴(kuò)充平面上順序的四個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3,z4構(gòu)成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4): 4. 保交比性272022/9/6定理7.8 在線性變換下,四點(diǎn)的交比不變.證 設(shè)則因此定理7.9 設(shè)線性變換將擴(kuò)充z平面上三個(gè)相異點(diǎn)z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此分式線性變換換就被唯一確定,并且可以寫成 (7.10)(即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定一個(gè)線性變換).282022/9/6例1 求將上半平面Im(z)0映射成單位圓|w|0映射成單位圓|w|0映射成單

16、位圓|w|0映射成|w|0映射成單位圓|w|1且滿足 的分式線性變換.342022/9/6352022/9/6x1y(z)OOuv(w)1a例4 求將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線性變換.362022/9/6解 設(shè)z平面上單位圓|z|1內(nèi)部的一點(diǎn)a映射成w平面上的單位圓|w|1的中心w=0. 這時(shí)與372022/9/6所以 |k|=1, 即k=eij. 這里j是任意實(shí)數(shù).由于z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成w平面上單位圓周上的點(diǎn), 所以當(dāng)|z|=1,|w|=1. 將圓周|z|=1上的點(diǎn)z=1代入上式, 得因此, 將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線性映射的一般表示式是38202

17、2/9/6 反之, 形如上式的映射必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1. 這是因?yàn)閳A周|z|=1上的點(diǎn)z=eiq (q為實(shí)數(shù))映射成圓周|w|=1上的點(diǎn):同時(shí)單位圓|z|1內(nèi)有一點(diǎn)z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|0 的分式線性變換.解 由條件w(1/2)=0知, 所求的映射要將z=1/2 映射成|w|1的中心. 所以由(6.3.5) 得402022/9/6解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2將|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|0映射成|w-2i|2且滿足條件 的分式線性變換.412022/9/62i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)4

18、22022/9/6 第三節(jié) 某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)7.3.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)7.3.3 由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射432022/9/6(7.15)其中 為大于1的自然數(shù)。除了 及 外，它處處具有不為零的導(dǎo)數(shù)，因而在這些點(diǎn)是保角的。7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)冪函數(shù) 因?yàn)?7.15)的單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)在原點(diǎn)張度不超過 的角形區(qū)域。于是冪函數(shù)(7.15)將角形區(qū)域 共形映射成角形區(qū)域 .特別地， 將角形區(qū)域 共形映射成w平面上除去原點(diǎn)及正實(shí)軸的區(qū)域。442022/9/6O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn452022/9/6

19、7.3.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)(7.16)作為 的逆變換將w平面上的角形區(qū)域 共形映射成z平面上的角形區(qū)域 .于是 和 的映射特點(diǎn)是擴(kuò)大與縮小角形域。例1 求把角形域0arg zp/4映射成單位圓|w|1 的一個(gè)映射.解 z=z4將所給角形域0arg z0. 又從上節(jié)的例2知, 映射將上半平面映射成單位圓|w|1,因此所求映射為462022/9/6(z)OO(z )1(w)z = z4472022/9/6例2 求一個(gè)將映射為單位圓|w|1的映射。解482022/9/6例3 求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一個(gè)映射.aj0(w)O1C1C2a(

20、z)O-iiaO(z)1492022/9/6解 令C1,C2的交點(diǎn)z=i與z=-i分別映射成z平面中的z=0與z=, 將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):其中k為待定的復(fù)常數(shù)。502022/9/6在任意有限點(diǎn)均有 ，因而它在z平面上是保角的。7.3.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(7.17) 因?yàn)椋?.17）的單葉性區(qū)域是平行于實(shí)軸寬不超過 的帶形區(qū)域。于是指數(shù)函數(shù)（7.17）將帶形區(qū)域 共形映射成角形區(qū)域 .特別地， 將帶形區(qū)域 共形映射成w平面上除去原點(diǎn)及正實(shí)軸的區(qū)域。作為 的逆變換將w平面上的角形區(qū)域 共形映射成z平面上的帶形區(qū)域 .512022/9/6

21、aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw522022/9/6由指數(shù)函數(shù)w = e z 所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是: 把水平的帶形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa. 例4 求把帶形域0Im(z)p映射成單位圓|w|1的 一個(gè)映射.z=e z532022/9/6例5 求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-1542022/9/6O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-aO(t)(b-a)i例6 求把帶形域aRe(z)0的一個(gè) 映射.552022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBC

22、D例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個(gè)映射.562022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a572022/9/6解 不難看出, 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平. 由于映射w=z2能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍, 所以利用這個(gè)映射可以達(dá)到將割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一個(gè)距離a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12,

23、得到具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距離為h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正實(shí)軸的z3平面.582022/9/6 由于分式線性變換的保圓性，它把已給兩角形區(qū)域共形映射成同樣形狀的區(qū)域、或弓形區(qū)域、或角形區(qū)域。只要已給圓周（或直線）上有一個(gè)點(diǎn)變?yōu)閣=，則此圓周（或直線）就變成直線。如果它上面沒有點(diǎn)變成w=，則它就變?yōu)橛邢薨霃降膱A周。所以，若二圓弧的一個(gè)公共點(diǎn)變?yōu)閣=，則此二圓弧所圍成的兩角形區(qū)域就共形映射成角形區(qū)域。 借助于分式線性函數(shù)，以及冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的復(fù)合，可以將二圓弧或直線段所構(gòu)成的兩角形區(qū)域，共形映射成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域

24、，比如上半平面。7.3.3 由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射592022/9/6x1-ii-1C1C2y(z)O解 所設(shè)的兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)為-i與i, 且相互正交. 交點(diǎn)-i映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn), i映射成原點(diǎn). 因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形區(qū)域, 張角等于 .602022/9/6此點(diǎn)在第三象限的分角線C1上. 由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)映射的角形區(qū)如圖所示612022/9/6 第四節(jié) 關(guān)于共形映射的黎曼存在定理和邊界對(duì)應(yīng)定理 7.4.1 黎曼存在定理7.4.2 邊界對(duì)應(yīng)定理622022/9/67.4.1 黎曼存在定理注(1)唯一性條件(7.19)的幾何意義是:指定aD變成單位圓的圓心,而在點(diǎn)a的旋轉(zhuǎn)角 .它依賴于三個(gè)實(shí)參數(shù).定理7.13 (黎曼存在與唯一性定理) 擴(kuò)充z平面上的單連通區(qū)域D,其邊界點(diǎn)不止一點(diǎn),則有一個(gè)在D內(nèi)的單葉解析函數(shù)w=f(z),它將D保形變換成單位圓|w|1;且當(dāng)滿足條件時(shí),這種函數(shù)f(z)就只有一個(gè).(2