彈性力學(xué)答案清晰修改

1、2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻 壓力q試證x y q及xy 0能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。證明:(1)將應(yīng)力分量 xfy 0分別代入平衡微分方程、相容方程yxfx0(a)xyfy022()(x y)(1x y顯然(a)、(b)是滿足的)(工工)0 x y(b)l cos(n,x),m cos(n, y),(2)對于微小的三角板 A, dx,dy都為正值，斜邊上的方向余弦將x y q, xy 0代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達式(l x m yx)sfx(s)-(c)(m y l x

2、y)s fy (s)則有 xcos(n, x) qcos(n,x) y cos(n, y) qcos(n, y)所以x q, y q。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。(3)對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量q及xy0代入物理方程，得形變分量 x (E 1)q y( E1)q x 然后，將(d)的變形分量代入幾何方程，得u (1) v (1) v u 八(e)-q ，-q ，0 x E y E x y前而式的積分得到u ( e 1)qx f(y)，v ( e 1)qy f2(x)其中的f1和f2分別是y和x的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三

3、式求出，將式(f)代入(e)的第三式得df(y) df2(x)dydx等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)3,于是有dMyldydf2(x)dx,積分以后得3(y)y u0 , f2(x) x v0代入(f)得位移分量(1)E(1)Eqx yqy x其中從式Uou0,Vo，為表示剛體位移量的常數(shù)，須由約束條件求得。(g)可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分量是正確的解答。2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F ,體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力x和切應(yīng)力 xy的表達式，并取擠壓應(yīng)力y 0,然后證明，這

4、些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達式是否就表示正確的解答。解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為M(x) Fx ,橫截面對z軸(中性軸)的慣性矩為I zh312根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力M (x)y12FIz該截面上的剪力為Fs(x)3Fs(x) xy 2 h2h36F ( y2)；并取擠壓應(yīng)力4(2)經(jīng)驗證，上述表達式能滿足平衡微分方程xyxfx0 xyfy0 TOC o 1-5 h z 22也能滿足相容方程()( x22 xx yy)(1)(工工)0 x y再考察邊界條件：在 yh / 2的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件:(y) y h/2。，(yx )

5、y h/2 0；y ) y h/20,(yx) y h/20 在次要邊界能滿足x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2h/2x)x dyh/2h/2x)x ydyh/2xy )x 0 dy滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界x l上,列出三個積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2 ( x)xldyh/2h/2 ( x)xiydyh/2h/2 ( xy ) x 0 dyh/2 12Fh/2 m 1ydy 0h/2h/2h/2h/212Fh3iy2h3 ( 4Fly2)滿足應(yīng)力邊界條件因此，他們是該問題的解答。q的作用。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為 h,寬度為b, h?b,在兩側(cè)面上受到均布剪力

6、試用應(yīng)力函數(shù)Axy Bx2y求解應(yīng)力分量。解(1)相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代人相容方程 40中，其中444r 0，r 0，xy(2)應(yīng)力分量表達式2x2-0， yy26Bxy, x(3)考察邊界條件：在主要邊界x很明顯滿足相容方程。xy A 3Bx2 x yb/2 上,各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即(x) x b/20,(xy)x b/2在次要邊界 y0 上，(y ) y 00,而(yx/。0的條件不可能精確滿足(否則只有b/2A=B = 0),可用積分的應(yīng)力邊界條件代替b/2 ( yX)y 0dx 0(4)把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得A q, B 空。2 b2應(yīng)力分量為X 0 ,12qy /x

7、yxyq x22(1 12/,試用純?nèi)问降膽?yīng)力3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為 函數(shù)求解。解(1)相容條件:、一.3_ 2_2_3設(shè)AxBx yCxyDy(a)不論上述中的系數(shù)取何值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。(2)體力分量fx 0, fy g由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達式2x - fxx 2Cx 6Dy (b) y 2y -T fyy 6Ax 2By gy (c) y2xy 2Bx 2Cy(d)x y(3)考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù)先考察主要邊界上 y 0的邊界條件：(y)y0 0,( yx)y 0 0將應(yīng)力分量式(b)和式(c)代入，這些邊

8、界條件要求(y)y 0 6Ax 0, ( xy)y 0 2Bx 0 得 A=0, B = 0o式(b)、(c)、(d)成為xy2Cx 6Dy(e)gy2Cy(g)根據(jù)斜邊界的邊界條件，它的邊界線方程是y xtan ，在斜面上沒有任何面力，即fx fy0,按照一般的應(yīng)力邊界條件，有l(wèi)(m(x ) y xtany )y xtanm(l(xy ) y x tanxy )y xtan將（e）、（g）代入得l (2Cx 6 Dx tan ) m( 2Cx tan(h)m( gx tan)l( 2Cxtan ) 0由圖可見,l cos(n,x)cos() sinm cos(n, y) cos代入式（h）、

9、（i）求解C和D,即得C將這些系數(shù)代入式（b）、（c）、（d）得應(yīng)力分量的表達式2x gxcot 2 gycotgyy圖所示.試求其應(yīng)力分量。4-12由應(yīng)力函數(shù) 得應(yīng)力分量C D）,進行求解xy gy cot2(Acos2 Bsin2 C D)22(Acos2Bsin2 C D)1-()2Asin2 2Bcos2 C（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark124 o Current Document ()/20(a)()/2q(b)(c)()/20()/2 q(d)柏 ( a)彳導(dǎo)2Acos2BsinC2D0由式（b）得2Asin

10、2BcosCq由式（c）彳導(dǎo)2Acos2BsinC2D0(e)(f)(g)由式(d)得 2Asin 2Bcos C q(h)式(e)、(f )、(g)、(h)聯(lián)立求解，得 A ,B C 0, Dqcot2sin2將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2q(- cot ) sincos2q( cot ) sinsin 2 q - sin4 一 13設(shè)有內(nèi)半徑為r,外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力 q,試求內(nèi)半徑和外半徑的改變，并求 圓筒厚度的改變。解本題為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力 q的情況下，取應(yīng)力分量表達式（B=0）,內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求()r 0, () R 0()r q,

11、 () R 0由表達式可見，前兩個關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個條件要求AR22C 0由上式解得A(a)qR2r2 C qr2(R2 r2) 2(R2 r2)把A,B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量,2(1)E(R2 r2)()(1R2) I cos K sin(b)H I sin K cos(c)H=I=K=0 。式（c）中白,取任何值等式都成立，所以個自由項的系數(shù)為零 所以，軸對稱問題的徑向位移式（b）為 TOC o 1-5 h z 22qrR HYPERLINK l bookmark206 o Current Document u2(1)(1) HYPERLINK l bookma

12、rk182 o Current Document E(R2r2)而圓簡是屬于平面應(yīng)變問題，故上式中E代替，則有u(1u q 一22-)R (1 LJ (耳 1)r_2)R (1此時內(nèi)徑改變?yōu)閁rL2qr(1外徑改變?yōu)閡R(1 q-圓環(huán)厚度的改變?yōu)椴?耳1)1 r2、_2)(工E(R22r _P2 1),、2一、 2)R(1-)R 2四(與1)rqr(1E22) 2Rr7722R rUr urqr(1 2)(R rE R r如該處有4-15在薄板內(nèi)距邊界較遠的某一點處，應(yīng).力分最為 x一小圓孔.試求孔邊的最大正應(yīng)力。I”解4-1甘圖解求出兩個主應(yīng)力，即X y / X y 22-2. .;(2)

13、xy q原來的間題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布壓力 q,如圖所示。應(yīng)力分量xxy0代入坐標(biāo)變換式，得到外邊界上的邊界條件在孔邊，邊界條件是由邊界條件式a)、qcos2qsin 2(b)、(c)、(c)(d)（d）可見，用辦逆解法是,可假設(shè)為的某一函數(shù)乘以cos2 ,而的另一函數(shù)乘以sin 212（工一）因此可假設(shè)f ( )cos 2 。(e)將式（e）帶入相容方程1)222 /0,得cosdf d 4)2 d3f( )9 d2f()刪去因子cos2以后，求解這個常微分方程，得 f A其中A,B,C,D為待定常數(shù)，代入式（e）,得應(yīng)力函數(shù)cos2 (A 4 B 2 C -

14、D2)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達式cos2 (2B 42cos2 (12A 2 2B6D-4)sin2 (6A3 2B2C-26D將上式代入應(yīng)力邊界條件由式（a）得 2B 4cR2由式（b）得 6AR2 2B由式（c）4C得2B 百 r由式（d）得 6Ar2 2B6D菽2CR26D4r2c-2r6DRC6D-4r(g)(h)(j)關(guān) qr2,D4qr2q sin 2 (12。(13、)r聯(lián)立求解式（g） （j）,并令 工 0得A 0,BR將各系數(shù)值代入應(yīng)力分量的去達式，得22r rqcos2 （1 f1 3 ）2r 、qcos2 (1 3-)沿著孔邊 r ,環(huán)向正應(yīng)力是4q cos 2最大環(huán)向

15、正應(yīng)力為（）max 4q4-17在距表面為h的彈性地基中，挖一直徑為d的水平圓形孔道，設(shè) h d,彈性地基的密度為 ，彈性模量為E,泊松比為，試求小圓孔附近的最大、最小應(yīng)力。1山川1山川UI出L =I 1不回解417圖解距地表為h處，無孔時的鉛直應(yīng)力gh ,由水平條件 x y 0 ,可得gh, 2-一 ghgh，在上下x向為水平回形孔道的軸向，在橫向y, z平面的主應(yīng)力為1（2）原來的問題變?yōu)楣艿涝谧笥覂蛇吺芫級毫υ谏舷聝蛇吺芫級毫蛇吺芫級毫h ,如圖（a）所示。可以將荷載分解為兩部分：第一部分是四邊的均布壓力一皿如圖（b）所示，第二部分是左右兩邊的均布拉力22（1）12（1一2）g

16、h和上下兩邊的均布壓力22（1）二.昔丁圖（對于第一部分荷載，可應(yīng)用解答2q(1 J),對于第二部分解答，可應(yīng)用解答，教材中式（4-18）。將兩部分解答疊加,下的應(yīng)力分量（基爾斯的解答 ）。即得原荷載作用-(1 2(1)_gh 2(12二)(1 2 ) gh2)(1 二)2(1)cos 2 (12J )(1231)沿著孔邊r ,環(huán)向正應(yīng)力是最大環(huán)向正應(yīng)力為（）max8-1設(shè)有任意形狀的等截面桿(1 2 ) ghcos22(12 r (1 3-y)2(1)gh)2(1gh ,()min，密度為,上端懸掛,(12 (12二)(123二)gh cos2 )3 4 gh1下端自由。如題 8-1圖所示，

17、試考察應(yīng)力分量x 0，y 0，zgz, yz 0, zx 0, xy0是否能滿足所有一切條件。解按應(yīng)力求解空間問題時，須要使得六個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡徽分方程，滿足相容方程;并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件(l) fxfy 0, fzg很顯然應(yīng)力分量滿足如下平衡徽分方程yxzxfxyzyxyfyxzyzfzx yxgz,應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程2(1) 2 x 0 x2(1) 2 y 0y 2 2_(1) 2z 0z2 2(1) xy 0 x y2(1) 2 yz 0y z22(1) xz 0 x z（3）考察應(yīng)力邊界條件：柱體的側(cè)面和下端面,fx fy fz 0。.在（x, y）

18、平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（側(cè)面方向余弦分別為n 0, l, m為任意的；在下端面方向余弦分別為n 1,l m 0）。應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力分量、方向余弦分別代入下(l(m (nx m yx y n zy x l xzzxxyyz ) sfxfy fz直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足，因此，所給應(yīng)力分是是本問題的解力分量 x y z q,8-2設(shè)有任意形狀的空間彈性體，在全部邊界上（包括在孔洞邊界上）受有均布壓力q,試證應(yīng)yz zx xy 0能滿足一切條件，因而就是正確的解答。解：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程， 相容方程及應(yīng)力邊界條件（在S上），多連體還應(yīng)滿足位移單值條件。平衡條件fx fy fz 0,很顯然，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程相容條件：x y z 3q ,應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程。（3）應(yīng)力邊界條件?？紤]一般的應(yīng)力邊界條件：法線的方向余弦為l,m,n邊界面為任意斜面，受到法向壓力 q的作用。同樣，滿足應(yīng)力的邊界條件