年龍門高三數(shù)學 第四篇 第四節(jié) 數(shù)列求和自主復習課件（理） 北師大

1、第四節(jié)數(shù)列求和2021/8/8 星期日1考綱點擊1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.熱點提示1.以考查等差、等比數(shù)列的求和公式為主，同時考查轉化的思想.2.對非等差、等比數(shù)列的求和，主要考查學生的觀察能力、分析問題與解決問題的能力以及計算能力.3.數(shù)列求和常與函數(shù)、方程、不等式等諸多知識聯(lián)系在一起，以它復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征而成為高考的中檔題或壓軸題.2021/8/8 星期日2數(shù)列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和一些常見的數(shù)列的前n項和a1234n ；b122232n2 ；c2462nn(n1)；d

2、1352n1n2；e1323n3 .2021/8/8 星期日3(2)倒序相加法如果一個數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的(4)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和2021/8/8 星期日4(5)分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和

3、而后相加減(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5_050.2021/8/8 星期日52021/8/8 星期日6【答案】B2已知數(shù)列an的通項公式是an ，其前n項和Sn ，則項數(shù)n等于()A13 B10C9 D62021/8/8 星期日7【答案】D3數(shù)列(1)nn的前2 010項的和S2 010為()A2 010 B1 005C2 010 D1 005【解析】方法一：S2 01012342 0072 0082 0092 010(1352

4、009)(2462 010) 1 005.2021/8/8 星期日8方法二：S2 0101234562 0092 010(12)(34)(56)(2 0092 010)1111111 005. 1 005個1【答案】D4已知等比數(shù)列an中，a1a2a34，a2a3a42，則a3a4a5a6a7a8_.2021/8/8 星期日9【解析】由已知得q ，所以a3a4a5(a2a3a4)q2( )1，a6a7a8(a3a4a5)q31( )3 ，a3a4a5a6a7a81 .【答案】2021/8/8 星期日105等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a12 009， 2，則S2 009_.【答案】2 009

5、2021/8/8 星期日11 已知數(shù)列an的前n項是321,6221,9231,12241，寫出數(shù)列an的通項并求其前n項和Sn.2021/8/8 星期日12【自主探究】由已知得，數(shù)列an的通項公式為an3n2n13n12n，Sna1a2an(253n1)(2222n) n(3n1)2n12.2021/8/8 星期日13【方法點評】1.數(shù)列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差或等比或可求數(shù)列前n項和的數(shù)列來求之2常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解；(3)anbncn，數(shù)列bn，

6、cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項和【特別提醒】應用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q的取值2021/8/8 星期日141已知數(shù)列an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且b10，數(shù)列cn滿足cnanbn，它的前4項依次是1，a,2a,2，求數(shù)列cn的前n項和【解析】設數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1；設數(shù)列bn的公差是d，則bn(n1)d.由已知，得2021/8/8 星期日15解得a11，q2，d2.Sn(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)2nn2n1. 已知數(shù)列an滿足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首項為1，公比為a的

7、等比數(shù)列2021/8/8 星期日16(1)求an；(2)如果a2，bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.【思路點撥】(1)根據(jù)題意得到表達式，再用累加法求通項；(2)利用錯位相減法求和【自主探究】(1)由a11，當n2時，anan1an1，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1aa2an1.當a1時，ann；2021/8/8 星期日17當a1時，an ，an .(2)a2，an 2n1.bn(2n1)an(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)，Snb1b2bn2322523(2n1)2n135(2n1)2021/8/8 星期日18令Tn2322523(2n1)2n則2T

8、n22323524(2n3)2n(2n1)2n1，得Tn222222322n(2n1)2n122(22232n)(2n1)2n122 (2n1)2n122n28(2n1)2n16(32n)2n1，Tn(2n3)2n16，Sn(2n3)2n16(2n3)2n1n26.2021/8/8 星期日19【方法點評】1.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法2用乘公比錯位相減法求和時，應注意(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表

9、達式【特別提醒】利用錯位相減法求和時，轉化為等比數(shù)列求和若公比是個參數(shù)(字母)，則應先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期日22 已知數(shù)列an的通項公式為anlog2 (nN*)，設其前n項和為Sn，bnSnSn1,2bn的前n項和為Tn，(1)求Sn；(2)求Tn.【思路點撥】利用對數(shù)運算法則即可求Sn，通過變形運算利用裂項相消法可求Tn.【自主探究】(1)方法一：anlog2log2(n1)log2(n2)，2021/8/8 星期日23Snlog22log23log23log24log2(

10、n1)log2(n2)1log2(n2)，Sn1log2(n2)log2 ，2021/8/8 星期日24【方法點評】1.利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等2021/8/8 星期日252一般情況如下，若an是等差數(shù)列，則 此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和3常見的拆項公式有：2021/8/8 星期日263在數(shù)列an中，an ，又bn ，求數(shù)列bn的前n項和Sn.2021/8/8 星期日272021/8/8 星期日281(2009

11、年重慶高考)設an是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn()【解析】由題意知設等差數(shù)列公差為d，則a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比數(shù)列，a32a1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d ，Snna1 d .故選A.2021/8/8 星期日29【答案】A2(2009年江西高考)數(shù)列an的通項ann2(cos2 sin2 )其前n項和為Sn，則S30為()A470B490C495 D510【解析】注意到ann2cos ，且函數(shù)ycos 的最小正周期是3，因此當n是正整數(shù)時，anan1an2 n2 (n1)2(n

12、2)23n ，其中n1,4,7，2021/8/8 星期日30S30(a1a2a3)(a4a5a6)(a28a29a30)(31 )(34 )(328 )3 10470，選A【答案】A3(2009年山東高考)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；2021/8/8 星期日31(2)當b2時，記bn (nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】(1)由題意，Snbnr，當n2時，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(

13、b1)， b，即 b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn 2021/8/8 星期日322021/8/8 星期日334(2009年全國)在數(shù)列an中，a11，an1 .(1)設bn ，求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.【解析】(1)由已知得b1a11，且 ，即bn1bn ，從而b2b1 ，b3b2 ，bnbn1 (n2)，2021/8/8 星期日342021/8/8 星期日351求數(shù)列an的前n項和Sn，通常要掌握以下方法：(1)若數(shù)列可判定是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可直接由公式求和，但要注意公比q1和q1的討論(2)分組轉化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，或把數(shù)列的項重新組合，或把整個數(shù)列分成兩部分，使其轉化成等差或等比數(shù)列，這一求和的方法稱為分組轉化法(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法2021/8/8 星期日36(4)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，則數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法(5)倒序相加法：如果一個數(shù)