工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)課件5

1、工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)西安交通大學(xué)理學(xué)院hqlee第五章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用第一節(jié) n維Euclid空間點(diǎn)集的初步知識(shí)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性第三節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的taylor公式與極值問(wèn)題第五節(jié) 多元向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第七節(jié) 空間曲線的曲率和撓率2011-3-182/24第三節(jié)第一講偏導(dǎo)數(shù)與它的幾何意義全微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用習(xí)題.1（7）-（10），2，3，4，5，7，8，9，13（2），152011-3-183/24導(dǎo)數(shù)與它的幾何意義定義（偏導(dǎo)數(shù)）設(shè)zf ( x,在點(diǎn), y )的鄰域內(nèi)有定義，0時(shí) 如果z f ( x當(dāng)自變量固定在在的導(dǎo)數(shù)存

2、在，即如果極限 xy0 ) xxf(, y)0limx0存在， 那么這個(gè)極限值就稱為函數(shù)( xy 在點(diǎn)( xf處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)。 記作z 或f,( xy )z( xy ).x00 x00 x0 y0)00同樣，可定義 z f ( x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)。在點(diǎn)（一、偏2011-3-184/24xy 0問(wèn)f在0(,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) (y例1設(shè)0是否存在？ 0 x 0 0 x 0) xf（f (0,0)x 0 lim解limx00 xx0 f0(,0) f0(,0) f0(,0) 0,0) 0f0(同理xyxy(, y 在 0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)存在.xy但 limx0y0(, y 在 0,0)不連續(xù)不存在可見(jiàn)，例

3、2證明f ( xy 在0(,0)點(diǎn)連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在2011-3-185/24函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù) R2內(nèi)有定義如果f ( x在區(qū)域定義f對(duì)及對(duì)的偏導(dǎo)函數(shù)分別為f ( x yf ( x f ( xxyy limxxx0或z .f ,簡(jiǎn)記為f,z,xxxy y) yxf ( xyyfxfxy) limy0或z .f ,簡(jiǎn)記為f,z,yyyy2011-3-186/24例3求下列偏導(dǎo)數(shù)y(2)z ysin解z zyln yx y1 y(xx(2) z sinycosxz cosyy2011-3-187/24偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)xy, z)xy, z) 在如處f ( x y z)

4、xxf (xy z) ,(, y, z) limxx0 x y y, z) yffxy, z) ,(, y, z) limyy0y, z z) zfxfxy, z) .(, y, z) limzz0fffx（yx設(shè) (, y, z,.，1）求及例4zyz2011-3-188/24有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：、偏導(dǎo)數(shù)u是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;x、 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)沒(méi)有關(guān)系。2011-3-189/24偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 lim zx xy0 ) xxf(, y)f( xy lim0 x00 xx0 x

5、0 z f ( xy在點(diǎn) ,(y0 , z0 )處幾何意義是曲線 0軸的傾角 的正切。M10的切線對(duì)T1z即z同理zT2 tan); tan xyM0)00例5y 1o求y在點(diǎn)（ 2，）4y0 y 4x(x軸的傾角。的切線對(duì)2011-3-1810/24二、全微分及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用1. 全微分的概念回顧一元函數(shù)可微的概念定義（全微分） 設(shè)二元函數(shù)z f ( x, y)的在點(diǎn)x0 xy0 y) U ( x , y, y )可以表示為)某鄰域U (內(nèi)有定義如果z xy0 y) (0 )z Ax By (稱Ay為函數(shù)在點(diǎn)在(, y則稱函數(shù)可微x By處的全微分。記為dz) ,即z)0000若函數(shù)在

6、域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱此函數(shù)在D.2011-3-1811/24由全微分定義可知若函數(shù)z f ( x, y y)處可微，則 o ) 0在點(diǎn)lim z lim ( A x Bx0y0 0 x, y0 y) lim f ( x0f ( xy函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)得x0y0y x) Alim f ( x0 xy0 f ( xx lim A x y x,x0 x0即f在( x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f x ( x處對(duì)同理f在( x處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f y ( x,2011-3-1812/24定理（可微的必要條件）設(shè)函數(shù)z f ( x, y )處可微，則在點(diǎn)(1（）, y )連續(xù)在在點(diǎn), y) 處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在

7、， 且A 若z f ( x,f x)在x),f yxy )(yf x可微，則x ydz(f y ()00f x ( x , ydx dzf yx , y )dy或)00若 在點(diǎn)(y處不連續(xù)，或偏導(dǎo)不存在，則一定不可微.2011-3-1813/24xy 22例如函數(shù)( 0, 在（0，）不連續(xù)從而不可微。y 0,0y)在f ( x，）連續(xù) 但偏導(dǎo)不存在，不可微。點(diǎn)連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在,在（(又如如果z f ( x,y這時(shí)需要利用定義來(lái)判 定。即2011-3-1814/24z z x z y如果z f ( x,)在(, y )點(diǎn)limxy 000 0則f ( x,)在(y可微，否則不可微。xy 022

8、 明 y證( x例10 0在點(diǎn)0(,處偏導(dǎo)存在但不可微x 0 0f ( x,f (0, 證明f x (0,0) limx2 0limx0 xx0 xf y (0,0 但是z dx z dyxyz xyxy lim 0limlim 0 0 0(, y在 0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)存在但不可微2011-3-1815/24的偏導(dǎo)數(shù) z , z定理 (可微充分條件)若函數(shù) z f ( xy x y在點(diǎn)(,連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.z f ( x xy y f ( x, y)證： f ( x xy y f ( x f ( xy y y y f ( x, y)fxx 1 xy y) x f y ( xy 2 y y f

9、x ( x, y x f y ( x, y ylim 0 lim 0,注意到 0 x0 y0 x0 y0z x f y ( xy y of x ( xy證畢2011-3-1816/24( 0 )概念可以直接推廣到n元數(shù)量值函數(shù).1設(shè)u 例2(1,1,1).求及xz2解 u u y,y 3 ,x3z2z2u z除(0,0,0)點(diǎn)外處處連續(xù).z3z2x yy zdz uuux 所以 u x dy dz xy1z3z2du(,1,11) ddz)332011-3-1817/24二元函數(shù)全微分的2.全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù) z f ( x, y在點(diǎn) Px , y ) 的兩, 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x

10、(, f y,) 連續(xù)，且都較小時(shí)，有近似等式用于近似計(jì)算函數(shù)的改變量或用于近似計(jì)算 (x0, y0) 附近點(diǎn)的函數(shù)值2011-3-1818/24f0 y0 y) f ( f x (x f y (y.z dz f x (x f y (y.33 的近似值.例 3計(jì)算1 91 0yf ( x.設(shè)函數(shù)解取 x0 2, y0 1, x , y 0 00 0.f (,21) ,3x (3 y23 x233y (y,y ,22f2(,1) 1 ,f (,21) ,2xy2 3 2 (0.03) 1 1.973 1.023由公式得0 02 2.52011-3-1819/24例4柱形容器,容器的壁設(shè)有一無(wú)蓋與

11、底的厚度均為0.1cm，內(nèi)高為20cm,內(nèi)半徑為4cm,求容器外殼體積的近似值. (2h r )2h h解內(nèi)外V V外V內(nèi) V dV V r V h r h 2rh 2h 42 1.0 2 4 20 1.0 55.3 cm3hr2011-3-1820/24hr園內(nèi)容小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)的概念f ( xf ( x y f ( x yyx limxf ( xxy y) x0yfxfxy) limy全微分的概念如果z yy0 xy0 y) (, y )可以表示為0z Ax By ) x Byz數(shù) 在(, y則稱函可微)002011-3-1821/24可微的必要條件設(shè)函數(shù)z , y )連續(xù), y ) 處兩個(gè)偏導(dǎo)

12、數(shù)均存在.f ( x, y )處可微，則在點(diǎn)(1（）在在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) z , z若函數(shù) z f ( x可微的充分條件y x y在點(diǎn)(,連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.dz fx ( x y dx f y ( xy dy微分計(jì)算公式z dz x f y (y.f x (微分近似計(jì)算2011-3-1822/24函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，可微之間的關(guān)系2011-3-1823/24偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可微函數(shù)偏導(dǎo)存在函數(shù)連續(xù)！西安交通大學(xué)理學(xué)院hqlee2011-3-1824/24練習(xí)驗(yàn)證下列給定函數(shù)滿足的方程滿足x z y z zxyz (xyy arcsin x 滿足x z y z 0)z 2(xyxyx xy2y 解(zxx x22x2 x z y z xy z x xy2zy221yxyyxyxyy2()z arcsiny arcsin1 xx2x22x1xyx 1xyx 1xy2zarcsinarcsin