新高考一輪復(fù)習蘇教版 第10章 命題探秘6　高考中的概率與統(tǒng)計問題 學(xué)案

1、 12/12高考中的概率與統(tǒng)計問題 考點一決策型問題 eq 典例1(2021新高考卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計

2、得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由四字解題讀想算思(1)小明先回答A類問題，回答正確則回答B(yǎng)類問題；否則比賽結(jié)束.(2)求小明的累計得分X的分布列X的所有可能取值X每個取值所對應(yīng)的概率分類討論累計得分的期望最大小明先回答B(yǎng)類問題累計得分Y的分布列E(X)、E(Y)轉(zhuǎn)化化歸解(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100，P(X0)10.80.2，P(X20)0.8(10.6)0.32，P(X100)0.80.60.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)00.2200.321000.485

3、4.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0,80,100，P(Y0)10.60.4，P(Y80)0.6(10.8)0.12，P(Y100)0.60.80.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48則Y的期望為E(Y)00.4800.121000.4857.6.因為E(Y)E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題答題模板第一步審清題意，理清事件間的關(guān)系第二步依據(jù)事件間的關(guān)系，建立概率模型第三步計算相應(yīng)事件的概率第四步依據(jù)期望方差對實際問題作出判斷第五步反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范性eq o(跟進訓(xùn)練)1(2021

4、河南六市二模)面對新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一某社區(qū)對55位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進行咽拭子核酸檢測，檢測結(jié)果呈陽性者，再到醫(yī)院做進一步檢查，已知隨機一人其咽拭子核酸檢測結(jié)果呈陽性的概率為2%，且每個人的咽拭子核酸是否呈陽性相互獨立(1)假設(shè)該疾病患病的概率是0.3%，且患病者咽拭子核酸呈陽性的概率為98%，設(shè)這55位居民中有一位的咽拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；(2)根據(jù)經(jīng)驗，咽拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將55位居民分成若干組，先取每組居民的咽拭子核酸混在一起進行

5、檢測，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結(jié)果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個進行檢測，現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將55位居民分成11組，每組5人；方案二：將55位居民分成5組，每組11人；試分析哪一個方案的工作量更少？(參考數(shù)據(jù)：0.9850.904,0.98110.801)解(1)設(shè)事件A為 “核酸檢測呈陽性”，事件B為“患疾病”，由題意可得P(A)0.02，P(B)0.003，P(A|B)0.98，由條件概率公式P(A|B)eq f(PAB,PB)得：P(AB)0.980.003，即P(B|A)eq f(PAB,PA)eq f(0.980.003,0

6、.02)0.147，故該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率為14.7%.(2)設(shè)方案一中每組的檢測次數(shù)為X，則X的取值為1,6.P(X1)(10.02)50.9850.904，P(X6)10.9850.096.所以X的分布列為X16P0.9040.096所以E(X)10.90460.0961.48，即方案一檢測的總次數(shù)的期望為111.4816.28.設(shè)方案二中每組的檢測次數(shù)為Y，則Y的取值為1,12，P(Y1)(10.2)110.801；Peq (avs4alco1(Y12)10.8010.199.所以Y的分布列為Y112P0.8010.199所以E(Y)10.801120.1993.189，即

7、方案二檢測的總次數(shù)的期望為3.189515.945，由16.2815.945，則方案二的工作量更少 考點二數(shù)據(jù)分析型問題典例2(2021遼寧考前模擬)中國制造2025提出，堅持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人才為本”的基本方針，通過“三步走”實現(xiàn)制造強國的戰(zhàn)略目標：第一步，到2025年邁入制造強國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達到世界制造強國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，綜合實力進入世界制造強國前列質(zhì)檢部門對設(shè)計出口的甲、乙兩種“無人機”分別隨機抽取100架檢測某項質(zhì)量指標，由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：甲乙(1)寫出頻率分布直方圖(甲)中a的值；記甲

8、、乙兩種“無人機”100架樣本的質(zhì)量指標的方差分別為seq oal(2,1)，seq oal(2,2)，試比較seq oal(2,1)，seq oal(2,2)的大小(只需給出答案)；(2)若質(zhì)檢部門規(guī)定質(zhì)量指標高于20的無人機為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，根據(jù)上面抽取的200架無人機的質(zhì)量指標及小概率值0.05的獨立性檢驗，能否推斷甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質(zhì)率有差異質(zhì)量無人機合計甲乙優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品合計1001002002eq f(nadbc2,abcdacbd)，nabcd.0.0500.0100.001x3.8416.63510.828(3)由頻率分布直方圖可以認為，乙種“無人機”的質(zhì)量指標值Z服從正

9、態(tài)分布Neq (avs4alco1(，2).其中近似為樣本平均數(shù)eq o(x,sup8()，2近似為樣本方差seq oal(2,2)，設(shè)X表示從乙種無人機中隨機抽取10架，其質(zhì)量指標值位于11.6,35.4的架數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望注：同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，計算得s2eq r(142.75)11.9；若ZNeq (avs4alco1(，2)，則P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5.解(1)a0.010，且seq oal(2,1)seq oal(2,2).(2)甲種無人機中優(yōu)質(zhì)率為0.250.10.350.7，所以甲種無人機中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品有70架，不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的有30架；乙種無

10、人機中優(yōu)質(zhì)率為0.30.20.10.6，所以乙種無人機中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品有60架，不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的有40架列聯(lián)表如下：質(zhì)量無人機合計甲乙優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品7060130不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品304070合計100100200零假設(shè)H0: 甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質(zhì)率有差異，2eq f(2007040603022.203.841x0.05，故依據(jù)小概率值0.05的獨立性檢驗，不能推斷甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質(zhì)率有差異(3)計算得：eq o(x,sup8()50.15150.25250.3350.2450.123.5，由條件ZN(23.5,142.75)，從而P(11.6Z35.4)0.682 7，故

11、從乙種“無人機”中隨機抽取1架，其質(zhì)量指標值位于11.6,35.4的概率是0.682 7，根據(jù)題意得XB(10,0.682 7)，E(X)100.682 76.827.數(shù)據(jù)分析主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進行分析、推斷，獲得結(jié)論該類問題常以科技、生活中的熱點為載體，將收集到的數(shù)據(jù)信息通過圖表(頻率分布直方圖、餅形圖、條形圖等)展現(xiàn)在考生面前，重在考查數(shù)據(jù)提取能力和應(yīng)用統(tǒng)計概率的知識分析數(shù)據(jù)解決問題的能力eq o(跟進訓(xùn)練)2(2021蕪湖模擬)為更好地了解某地區(qū)的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)從2016年到2020年的經(jīng)濟收入變化以及2016年和2020年經(jīng)濟收入的構(gòu)

12、成比例，得到如下列表和餅圖：年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代號x12345經(jīng)濟收入y(單位：百萬元)8131725322016年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例2020年經(jīng)濟收入構(gòu)成比例(1)若該地區(qū)第三產(chǎn)業(yè)收入2020年是2016年的20倍，求2020年經(jīng)濟收入中第三產(chǎn)業(yè)收入和其他收入所占百分比m，n的值；(2)求經(jīng)濟收入y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2025年該地區(qū)的經(jīng)濟收入?yún)⒖脊剑簩τ谝唤M具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)eq (avs4alco1(xi，yi)(i1,2,3，n)，其回歸直線 eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()xeq o(a,sup8()的斜率和截距

13、的最小二乘估計分別為：eq o(b,sup8()eq f(eq isu(i1,n,x) (avs4alco1(xio(x,sup8()(avs4alco1(yio(y,sup8(),eq isu(i1,n,x) (avs4alco1(xio(x,sup8()eq sup12(2)， eq o(a,sup8()eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()eq o(x,sup8().解(1)由表格及餅圖可得：m322086%，解得m30%，n134%30%30%6%.(2)由表格數(shù)據(jù)可得：eq o(x,sup8()eq f(1,5)eq (avs4alco1(12345)3，eq o(y,

14、sup8()eq f(1,5)eq (avs4alco1(813172532)19，eq isu(i1,5,x)eq oal(2,i )1222324252 55，eq isu(i1,5,x)iyi18213317425532345，則eq o(b,sup8() eq f(isu(i1,5, )(avs4alco1(xi o(x,sup8()(avs4alco1(yi o(y,sup8(),isu(i1,5, )(avs4alco1(xi o(x,sup8()eq sup12(2) eq f(isu(i1,5,x)i yi 5o(xto(x) o(xto(y),isu(i1,5,x)oal(2

15、,i )5xto(x)2) eq f(3455319,55532) 6，eq o(a,sup8()eq o(y,sup8()eq o(b,sup8()eq o(x,sup8()1，則經(jīng)濟收入y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq o(y,sup8()6x1，當x10時，eq o(y,sup8()61，則2025年時該地區(qū)的經(jīng)濟收入大約為61百萬元 考點三知識交匯型問題 eq 典例3(2019全國卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一

16、輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i0,1，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)

17、，cP(X1)假設(shè)0.5，0.8.(i)證明：pi1pi(i0,1,2，7)為等比數(shù)列；(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性解(1)由題意可知X所有可能的取值為：1,0,1.Peq (avs4alco1(X1)eq (avs4alco1(1)；Peq (avs4alco1(X0)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)；Peq (avs4alco1(X1)eq (avs4alco1(1).則X的分布列如下：X101Peq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)eq (avs4alco1(1)(2)0.

18、5，0.8，a0.50.80.4，b0.50.80.50.20.5，c0.50.20.1.(i)piapi1bpicpi1eq (avs4alco1(i1，2，7)，即pi0.4pi10.5pi0.1pi1eq (avs4alco1(i1，2，7)，整理可得：5pi4pi1pi1eq (avs4alco1(i1，2，7) , pi1pi4eq (avs4alco1(pipi1)eq (avs4alco1(i1，2，7)，p1p0p10，pi1pieq (avs4alco1(i0，1，2，7)是以p1p0為首項，4為公比的等比數(shù)列(ii)由(i)知：pi1pieq (avs4alco1(p1p0

19、)4ip14i，p8p7p147，p7p6p146，p1p0p140.作和可得：p8p0p1eq (avs4alco1(404147)eq f(148,14)p1eq f(481,3)p11，p1eq f(3,481)，p4p4p0p1eq (avs4alco1(40414243)eq f(144,14)p1eq f(441,3)eq f(3,481)eq f(1,441)eq f(1,257)，p4表示最終認為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4eq f(1,257)0.003 9，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實

20、驗方案合理真題衍生現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個人，依此類推(1)通過三次傳球，球經(jīng)過乙的次數(shù)為X，求X的分布列與期望(2)設(shè)經(jīng)過n次傳球后，球落在甲手上的概率為an，求a1，a2；求an，并簡要解釋隨著傳球次數(shù)的增多，球落在甲、乙、丙、丁每個人手上的概率相等解(1)由題意可知，X的可能取值為0,1,2，所以P(X0)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(8,27)，P(X1)eq f(1,3)1eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)1eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,3)e

21、q f(16,27)，P(X2)eq f(1,3)1eq f(1,3)eq f(1,9)，所以X的分布列為X012Peq f(8,27)eq f(16,27)eq f(1,9)X的數(shù)學(xué)期望是E(X)0eq f(8,27)1eq f(16,27)2eq f(1,9)eq f(22,27).(2)由題意可知，a10，a2eq f(1,3).由題意可知，aneq f(1,3)(1an1)(n2)，則aneq f(1,4)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(an1f(1,4)(n2)，所以aneq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(1,4)eq bl

22、c(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(n1)，則aneq f(1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(n1)，當n時，aneq f(1,4)，所以當傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù)eq f(1,4).又因為第一次從甲開始傳球，而且每一次都是等可能地把球傳給任何一個人，所以球落在每個人手上的概率都相等，所以球落在乙、丙、丁手上的概率為eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)3eq f(1,4)，故傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲、乙、丙、丁每個人手上的概率都是eq f(1,4).1.本例以藥效對比試驗為載體，巧妙地將離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題融入一體，較好的考查了概率統(tǒng)計及數(shù)列的相關(guān)知識，對學(xué)生分析和解決問題能力要求較高2由于隨機變量對應(yīng)的概率P0,1，故該類問題