函數(shù)的奇偶性及周期性 高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)要點(diǎn)及習(xí)題解答

1、函數(shù)的奇偶性及周期性1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期小題體驗(yàn)1(2015北京高考)下列函數(shù)

2、中為偶函數(shù)的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x答案：B2若函數(shù)f(x)是周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(8)f(14)_.答案：13(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則x0時(shí)，f(x)_.答案：x(1x)1判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件2判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，誤用函

3、數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性小題糾偏1已知f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) Deq f(1,2)解析：選Bf(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，a12a0，aeq f(1,3).又f(x)f(x)，b0，abeq f(1,3).2設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1,1)時(shí)， f(x)eq blcrc (avs4alco1(4x22，1x0，,x， 0 x0，,x2x，x0時(shí)，f(x)x2x，則當(dāng)x0，故f(x)x2xf(x)；當(dāng)x0時(shí)，x

4、0) 越變?cè)矫髯兪?若母題中條件變?yōu)椤癴(x2)eq f(1,fx)”，求函數(shù)f(x)的最小正周期解：對(duì)任意xR，都有f(x2)eq f(1,fx)，f(x4)f(x22)eq f(1,fx2)eq f(1,f(1,fx)f(x)，f(x)的最小正周期為4.變式2若母題條件改為：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)，當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x3時(shí)，f(x)x.求f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值解：f(x6)f(x)，T6.當(dāng)3x1時(shí)，f(x)(x2)2；當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x2x1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)_.解析：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0.由已知f(

5、x)(x)2(x)1x2x1f(x)，f(x)x2x1.答案：x2x12設(shè)函數(shù)f(x)eq f(x1xa,x)為奇函數(shù)，則a_.解析：f(x)eq f(x1xa,x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)0，即eq f(111a,1)eq f(111a,1)0，a1.答案：1角度二：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性結(jié)合3(2015昆明統(tǒng)考)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在(，0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()Af(x)x2Bf(x)2|x|Cf(x)log2eq f(1,|x|) Df(x)sin x解析：選C函數(shù)f(x)x2是偶函數(shù)，但在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，不合題意；函數(shù)f(x)2|x|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(，0)上單調(diào)

6、遞減，不合題意；函數(shù)f(x)log2eq f(1,|x|)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增，符合題意；函數(shù)f(x)sin x是奇函數(shù)，不合題意4(2015刑臺(tái)摸底考試)已知定義在(1,1)上的奇函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)1cos x，如果f(1a)f(1a2)0，則f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)、增函數(shù)不等式f(1a)f(1a2)0等價(jià)于f(1a2)f(1a)f(a1)，則11a2a11，由此解得1aeq r(2).角度三：周期性與奇偶性結(jié)合5已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(1,4) B(

7、2,0)C(1,0) D(1,2)解：選Af(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，eq f(2a3,a1)1，即eq f(a4,a1)0，解得1a4.角度四：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合6已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：選D因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(2

8、5)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0時(shí)，f(x)eq r(x)1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)eq r(x)1，當(dāng)x0，f(x)f(x)(eq r(x)1)，即x0時(shí)，f(x)(eq r(x)1)eq r(x)1.答案：eq r(x)1二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1下列函數(shù)中，與函數(shù)y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上單調(diào)性也相同的是()Ay

9、eq f(1,x)Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：選C函數(shù)y3|x|為偶函數(shù)，在(，0)上為增函數(shù)，選項(xiàng)A的函數(shù)為奇函數(shù)，不符合要求；選項(xiàng)B的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調(diào)性不符合；選項(xiàng)D的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求；只有選項(xiàng)C符合要求2已知f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)f(x)g(x)，則 “f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選B一方面，若f(x)，g(x)均為偶函數(shù)，則f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)

10、是偶函數(shù)；另一方面，若h(x)是偶函數(shù)，但f(x)，g(x)不一定均為偶函數(shù)，事實(shí)上，若f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，h(x)也是偶函數(shù)，因此，“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的充分不必要條件3(2016廣東省陽(yáng)東一中、廣雅中學(xué)高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在(，)上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x0，都有f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時(shí)f(x)log2(x1)，則f(2 013)f(2 014)的值為()A1 B2C2 D1解析：選A因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且周期為2，所以f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(1)f(0)又當(dāng)x0,2)時(shí)，

11、f(x)log2(x1)，所以f(2 013)f(2 014)101.4定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,1上是增函數(shù)，則有()Af eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Bf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Cf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4a

12、lco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)Df eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)解析：選B由題設(shè)知f(x)f(x2)f(2x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由于函數(shù)f(x)在0,1上是增函數(shù)，故f(x)在1,0上也是增函數(shù)，綜上函數(shù)f(x)在1,1上是增函數(shù)，在1,3上是減函數(shù)又f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(a

13、vs4alco1(2f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)0的x的集合為_(kāi)解析：由奇函數(shù)yf(x)在(0，)上遞增，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，得函數(shù)yf(x)在(，0)上遞增，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，f(x)0時(shí)，xeq f(1,2)或eq f(1,2)x0的x的集合為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xf(1,

14、2).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xf(1,2)7已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，則f(1)，g(0)，g(1)之間的大小關(guān)系是_解析：在f(x)g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x中，用x替換x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.聯(lián)立方程組解得f(x)eq f(2x2x,2)，g(x)eq

15、 f(2x2x,2)，于是f(1)eq f(3,4)，g(0)1，g(1)eq f(5,4)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)8設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下條件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)2x1，則f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)_.解析：依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)

16、(avs4alco1(f(3,2)f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f(0)2eq f(1,2)1211201eq r(2

17、).答案：eq r(2)9設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)從而可知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱又當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示設(shè)當(dāng)4x4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍

18、成的圖形面積為S，則S4SOAB4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)21)4.10已知函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,0，x0，,x2mx，x0)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x1，,a21，)所以1a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1(2016河南模擬)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0，)若f(2x2)f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：選D設(shè)x0，則x0.x0)，f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x0，,ln1x，x0.)其圖象如圖所示由圖象知，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)f(2x2)f(x)，2x2x，即2x1.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,1)2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿足對(duì)任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4