2023屆福建省龍巖市上杭縣高三上學期暑期考試數(shù)學試題（解析版）

1、上杭縣20222023學年高三月考數(shù)學試題上杭20222023學年高三月考數(shù)學試題PAGE 上杭縣20222023學年高三月考數(shù)學試題（第卷，選擇題部分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知集合A=x|，B=x|-1x1，則AB=（ ）A. -1，0B. 0，1C. -1，2D. 1，22. 函數(shù)的值域是（ ）A B. C. D. 3. 已知命題：，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 4. 函數(shù)的圖象可能是（ ）A. B. C. D. 5. 函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A. （-2，-1）B.

2、 （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）6. 已知，則，的大小關系是（ ）A. B. C. D. 7. “綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進出水量為立方米已知污染源以每天個單位污染河水，某一時段（單位：天）河水污染質量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數(shù)），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍若從現(xiàn)在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）A. 1個月B. 3個月C. 半年D. 1年8. 蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林(Colin Mac

3、laurin)研究出了著名的Maclaurin級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：，試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）A. B. C. D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調遞增的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列說法中正確的有（ ）A. 若，則B 若，則C. ，“恒成立”是“”的充分不必要條件D. 若，則的最小值為11. 對于函數(shù)和，則下列結論中正確為（ ）A. 設的定義域為，的

4、定義域為，則B. 函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0C. 函數(shù)的單調減區(qū)間是，D. 函數(shù)的圖像關于點對稱12. 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），若且有四個零點，則實數(shù)m的取值可以為A. 1B. eC. 2eD. 3e（第卷，非選擇題部分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 若函數(shù)偶函數(shù)，則_14. 已知函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是_15. 定義在上的函數(shù)滿足以下兩個性質：，滿足的一個函數(shù)是_16. 定義在上函數(shù)滿足，且當時，若對任意，都有，則的取值范圍是_四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 如圖，直棱柱的底面中，棱，如圖，以為原

5、點，分別以，為軸建立空間直角坐標系（1）求平面的法向量；（2）求直線與平面夾角的正弦值.18. 已知（1）當時，討論的單調區(qū)間；（2）若在定義域內單調遞增，求的取值范圍19. 今年年初，我市某醫(yī)院計劃從3名醫(yī)生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫情狙擊戰(zhàn).（1）求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；（2）設選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學期望.20. 如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值21. 最新研發(fā)的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為.現(xiàn)對該產品進行

6、獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗10次.記X為試驗結束時所進行的試驗次數(shù)，且每次試驗的成本為元.（1）寫出的分布列；證明：；（2）某公司意向投資該產品.若，且試驗成功則獲利元，則該公司如何決策投資，并說明理由.22. 已知函數(shù)，（1）求函數(shù)最值；（2）令，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，并說明理由上杭一中20222023學年高三月考數(shù)學試題（第卷，選擇題部分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知集合A=x|，B=x|-1x1，則AB=（ ）A. -1，0B. 0，1C. -1，2D. 1，2

7、【答案】C【解析】【分析】解出集合A，進而根據(jù)交集定義解得答案即可.【詳解】由題意，則.故選：C.2. 函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題首先可令，然后將函數(shù)轉化為，最后利用反比例函數(shù)性質得出當時函數(shù)的值域，即可得出結果.【詳解】令，則，因為函數(shù)在上單調遞減，所以當時函數(shù)的值域為，則函數(shù)值域為，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)值域的求法，考查通過換元法求函數(shù)值域，考查反比例函數(shù)的性質，考查推理能力，是簡單題.3. 已知命題：，若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出命題為真命題時的取值范圍，則可求出命題為假

8、命題的范圍，即可選出答案.【詳解】若命題為真命題則，即.又是真命題，即命題為假命題，即.故選：D.4. 函數(shù)的圖象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意，去掉絕對值，變函數(shù)為分段函數(shù)，結合導數(shù)研究其單調性，可得答案.【詳解】由函數(shù)，當時，易知單調遞增，且，可得下表：極小值則，當時，令，令，解得，可得下表：極小值則，即，則單調遞增.故選：A.5. 函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=

9、1+0=10,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用點評：解決該試題的關鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點的區(qū)間6. 已知，則，的大小關系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三個數(shù)的形式，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，最后根據(jù)單調性進行比較大小即可.【詳解】構造函數(shù)，當時，單調遞增，所以，.故選：A7. “綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進出水量為立方米已知污染源以每天個單位污染

10、河水，某一時段（單位：天）河水污染質量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質量指數(shù)），經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍若從現(xiàn)在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）A. 1個月B. 3個月C. 半年D. 1年【答案】C【解析】【分析】由題可知：，化簡得出結論.【詳解】由題可知：（天）要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是半年.故選：C.8. 蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林(Colin Maclaurin)研究出了著名Maclaurin級數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式

11、：，試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由麥克勞林公式得，進而可得答案.【詳解】解：根據(jù)麥克勞林公式得：，所以由于.故的近似值為.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)學知識遷移與應用能力，解題的關鍵是將所求近似代替，是中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調遞增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】結合函數(shù)的奇偶性、單調性確定正確選項.【詳解】A選項，的定義域為，為偶函數(shù)

12、.當時，為增函數(shù)，符合題意.B選項，的定義域為，當時，為減函數(shù)，不符合題意.C選項，的定義域為，為奇函數(shù)，不符合題意.D選項， 的定義域為，為偶函數(shù).當時，根據(jù)復合函數(shù)單調性同增異減可知：為增函數(shù)，符合題意.故選：AD10. 下列說法中正確的有（ ）A. 若，則B. 若，則C. ，“恒成立”是“”的充分不必要條件D. 若，則的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對于A,B，利用不等式的性質可以判斷；對于C，利用基本不等式及不等式恒成立與最值的關系，再結合充要條件即可判斷；對于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判斷.【詳解】對于A，因為，所以，所以，即，故A正確；對于B，因為，所以，所以，即.

13、故B 不正確；對于C，恒成立等價于，因為，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當時，取得最小值為，即.所以，“恒成立”是“”的充要條件，故C不正確.對于D,因為，=，當且僅當即時，等號成立，所以當時，取得最小值為，故D正確.故選：AD11. 對于函數(shù)和，則下列結論中正確為（ ）A. 設的定義域為，的定義域為，則B. 函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0C. 函數(shù)的單調減區(qū)間是，D. 函數(shù)的圖像關于點對稱【答案】ACD【解析】【分析】利用導數(shù)來研究函數(shù)的切線斜率以及單調性問題，利用函數(shù)的概念以及性質來研究定義域與對稱性問題.【詳解】因為，所以，即，解得，因為，所以，解得.所以.故A正確；因為，所以，

14、所以，所以的圖像在處的切線斜率為-1，故B錯誤；因為，定義域為：，所以，由有：，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是，故C正確；當時，.所以函數(shù)的圖像關于點對稱，故D正確.故選：ACD.12. 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），若且有四個零點，則實數(shù)m的取值可以為A. 1B. eC. 2eD. 3e【答案】CD【解析】【分析】首先判斷為偶函數(shù)，考慮時，的解析式和零點個數(shù)，運用導數(shù)的幾何意義和數(shù)形結合思想，即可得到所求的范圍.【詳解】解：因為，可得，即為偶函數(shù)，由題意可得時，有兩個零點，當時，即時，由，可得，由相切，設切點為，的導數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經過點，可得，解得：或（舍去），即

15、有切線的斜率為，故，故選：CD.【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，關鍵是轉化為函數(shù)圖像的交點問題，考查數(shù)形結合的思想及計算能力，難度較大.（第卷，非選擇題部分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則_【答案】1【解析】【詳解】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，考點：函數(shù)的奇偶性【方法點晴】本題考查導函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結合思想與轉化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型首先利用轉化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉化為 函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，取14. 已知函數(shù)若存在，使得成立，則實數(shù)的取值

16、范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以，因為存在，使得成立，所以，即，所以，即（舍去），或，得，所以的取值范圍為，故答案為：15. 定義在上的函數(shù)滿足以下兩個性質：，滿足的一個函數(shù)是_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)性質可知，為奇函數(shù)且函數(shù)圖像關于對稱，即可得到結果.【詳解】因為，即滿足性質又因為，且所以，即滿足性質故答案為:16. 定義在上函數(shù)滿足，且當時，若對任意，都有，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)，即，依此類推，作出函數(shù)的圖象求解【詳解】因為當，時，所

17、以，因為，當，時，即時，所以，即，當，即，時，當，即，時，所以，依此類推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：，,當時，當時,因為對任意，都有，則，解得：，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 如圖，直棱柱的底面中，棱，如圖，以為原點，分別以，為軸建立空間直角坐標系（1）求平面的法向量；（2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】分析：（1）設處平面的法向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為，即可求解平面的一個法向量；（2）取出向量，利用向量的夾角公式，即可求解直線與平面所成角的正弦值. 詳解：（1）由題意可知故設為平面的

18、法向量，則， 令，則 （2）設直線與平面夾角為， 點睛：本題考查了平面法向量的求解，以及直線與平面所成的角，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，在高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；求直線與平面所成的角，關鍵是轉化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.18. 已知（1）當時，討論的單調區(qū)間；（2）若在定義域內單調遞增，求的取值范圍【答案】（1）單調增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間為. （2）【解析】【分析】（1）對求導，利用導函數(shù)

19、的正負討論單調區(qū)間；（2）在定義域內單調遞增，即導函數(shù)恒成立，解的取值范圍即可.【小問1詳解】當時，定義域.令，即解得：；令，即解得：； 當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.【小問2詳解】，在上單調遞增，即恒成立， 時，即a的取值范圍為19. 今年年初，我市某醫(yī)院計劃從3名醫(yī)生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫情狙擊戰(zhàn).（1）求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；（2）設選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為.【解析】分析】（1）分別對“4人中有2名醫(yī)生2名護士”、“4人中有3名醫(yī)生1名護士”記事件，然后根據(jù)互斥事件以及組合知識，

20、進行求解可得結果.（2）列出的所有可能結果，并計算相應概率，然后列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式，可得結果.【詳解】（1）記選派的4人中至少有2名醫(yī)生為事件A，記4人中有2名醫(yī)生2名護士為事件，記4人中有3名醫(yī)生1名護士為事件，且與互斥.則當事件A發(fā)生時，有或發(fā)生，所以有.又；所以.故選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率為.（2）由題意選派的醫(yī)生人數(shù)可以是0，1，2，3.所以；.所以，隨機變量的概率分布表為0123故隨機變量的數(shù)學期望為=.故的數(shù)學期望為.【點睛】本題考查互斥事件的概率以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，考查分析能力以及運算能力，屬中檔題.20. 如圖，邊長為2的正方形所在的平

21、面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值【詳解】解：（1）由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.當三棱錐MABC體積最大時，M為的中點.由題設得，設是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結合，將幾何問題轉化為代數(shù)問題進行求解，考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題21. 最新研發(fā)的某產品每次試驗結果為成功或不成功，且試驗成功的概率為.現(xiàn)對該產品進行獨立重復試驗，若試驗成功，試驗結束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗