中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理（基礎(chǔ)）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1. 圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會(huì)有下降趨勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1圓的有關(guān)概念 圓、圓心、半徑、等圓； 弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圓、三角形的

2、內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角要點(diǎn)詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧2圓的對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸； 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形； 圓具有旋轉(zhuǎn)不變性3圓的確定 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小4垂直于弦的直徑 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 推論 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧要點(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立因此，

3、垂徑定理也稱“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑 5圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等6圓周角 圓周角定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 推論1 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等推論2 半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 設(shè)O的半徑為r，

4、點(diǎn)P到圓心的距離OPd，則有：點(diǎn)P在圓外dr；點(diǎn)P在圓上dr； 點(diǎn)P在圓內(nèi)dr要點(diǎn)詮釋：圓的確定：過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓如圖所示2直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 (會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì) 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（3）切線長和切線長定理 切線長 經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線

5、平分兩條切線的夾角要點(diǎn)詮釋：直線是O的切線，必須符合兩個(gè)條件：直線經(jīng)過O上的一點(diǎn)A；OA3圓和圓的位置關(guān)系 (1)基本概念 兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義(2)請(qǐng)看下表：要點(diǎn)詮釋：相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含其中相切和相交是重點(diǎn) 同心圓是內(nèi)含的特殊情況 圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來理解 “R-r”時(shí)，要特別注意，Rr【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用1已知：如圖所示，在O中，弦AB的中點(diǎn)為C，過點(diǎn)C的半徑為OD(1)若AB，OC1，求CD的長； (2)若半徑ODR，AOB120，求CD的長. 【思路點(diǎn)撥】 如圖所示，一般的，若AOB2n，OD

6、AB于C，OAR，OCh，則AB2Rsin n2ntan n；CDRh；的長【答案與解析】解：半徑OD經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)C，半徑ODAB(1)AB，ACBCOC1，由勾股定理得OA2CDODOCOAOC1，即CD1.(2)ODAB，OAOB，AODBODAOB120，AOC60OCOAcosAOCOAcos60，【總結(jié)升華】 圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為弦所對(duì)圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問題舉一反三：【變式】在足球比賽場(chǎng)上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖到B點(diǎn)(如圖所示)，此時(shí)甲是自己直接

7、射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢?(不考慮其他因素)【答案】 解：過M、N、B三點(diǎn)作圓，顯然A點(diǎn)在圓外， 設(shè)MA交圓于C，則MANMCN 而MCNMBN，MANMBN 因此在B點(diǎn)射門較好 即甲應(yīng)迅速將球回傳給乙，讓乙射門2（2015大慶模擬）已知AB是O的直徑，C是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，P是弧AC的中點(diǎn)（1）如圖1，求證：OPBC；（2）如圖2，PC交AB于D，當(dāng)ODC是等腰三角形時(shí)，求A的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)AC，延長PO交AC于H，如圖1，由P是弧AC的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得PHAC，再根據(jù)圓周角定理，由AB是O的直徑得ACB=90，然后根據(jù)OPBC；（2）如圖2，根據(jù)圓心角、弧、弦的

8、關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和等推論證來求得A的度數(shù). 【答案與解析】（1）證明：連結(jié)AC，延長PO交AC于H，如圖1，P是弧AB的中點(diǎn)，PHAC，AB是O的直徑，ACB=90，BCAC，OPBC；（2）解：如圖2，P是弧AC的中點(diǎn)，PA=PC，PAC=PCA，OA=OC，OAC=OCA，PAO=PCO，當(dāng)DO=DC，設(shè)DCO=x，則DOC=x，PAO=x，OPC=OCP=x，PDO=2x，OPA=PAO=x，POD=2x，在POD中，x+2x+2x=180，解得x=36，即PAO=36，當(dāng)CO=CD，設(shè)DCO=x，則OPC=x，PAO=x，POD=2x，ODC=POD+OPC=3x，CD=CO，DO

9、C=ODC=3x，在POC中，x+x+5x=180，解得x=（），即PAO=（）綜上所述，A的度數(shù)為36或（）【總結(jié)升華】本題考查了圓周角定理及其推論同時(shí)考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理舉一反三：【變式】（2015溫州模擬）如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE（1）求BE的長；（2）求ACD外接圓的半徑【答案】解：（1）ACB=90，且ACB為圓O的圓周角（已知），AD為圓O的直徑（90的圓周角所對(duì)的弦為圓的直徑），AED=90（直徑所對(duì)的圓周角為直角），又AD是ABC的角平分線（已

10、知），CAD=EAD（角平分線定義），CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弦相等），在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），AC=AE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，根據(jù)勾股定理得：AB=13，BE=13AC=135=8；（2）由（1）得到AED=90，則有BED=90，設(shè)CD=DE=x，則DB=BCCD=12x，EB=ABAE=ABAC=135=8，在RtBED中，根據(jù)勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12x）2=x2+82，解得：x=，CD=，又AC=5，ACD為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：AD=，根據(jù)AD是ACD外

11、接圓直徑，ACD外接圓的半徑為：=類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用3如圖所示，ABAC，O是BC的中點(diǎn)，O與AB相切于點(diǎn)D，求證：AC與O相切【思路點(diǎn)撥】AC與O有無公共點(diǎn)在已知條件中沒有說明，因此只能過點(diǎn)O向AC作垂線段OE，長等于O的半徑，則垂足E必在O上，從而AC與O相切【答案與解析】證明：連接OD，作OEAC，垂足為E，連結(jié)OAAB與O相切于點(diǎn)D，ODABABAC，OBOC，12，OEODOD為O半徑，AC與O相切 【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點(diǎn)在條件中并沒有給出，那么作垂直，證半徑舉一反三：【變式】如圖所示，在RtABC中，C9

12、0，BCa，ACb，ABc求ABC的內(nèi)切圓的半徑【答案】 解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，根據(jù)切線長定理可得： AEAF，BFBD，CDCE， 而AE+CEb，CD+BDa，AF+BFc， 可求 連接OE、OD，易證OECE即直角三角形的內(nèi)切圓半徑 4如圖所示，已知：ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)D在OC的延長線上，D30(1)求證：AD是O的切線；(2)若AC6，求AD的長 【思路點(diǎn)撥】 （1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出O的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出OAD，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據(jù)勾股定理求出AD的長即可【答案與解析】(1)證明：連接O

13、A，B30AOC2B，AOC60D30，OAD180DAOD90AD是O的切線 (2)解：OAOC，AOC60，AOC是等邊三角形，OAAC6OAD90，D30，ADAO【總結(jié)升華】證明直線是圓的切線的方法：有半徑，證垂直；有垂直，證半徑舉一反三：【變式】如圖所示，半徑OAOB，P是OB延長線上一點(diǎn)，PA交O于D，過D作O的切線交PO于C點(diǎn)，求證：PCCD【答案】證明：連接ODCE切O于D，ODCE2+390OAOB，P+A90ODOA，3AP2又12，P1PCCD 類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用5已知AB是O的直徑，點(diǎn)P是AB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作O的切線，切點(diǎn)為C，A

14、PC的平分線交AC于點(diǎn)D，求CDP的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】連接OC，根據(jù)題意，可知OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，可推出DPA+A=45，即CDP=45【答案與解析】解：連接OC，OC=OA，PD平分APC，CPD=DPA，A=ACO，PC為O的切線，OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，DPA+A=45，即CDP=45ABCDPOE【總結(jié)升華】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于做好輔助線構(gòu)建直角三角形，求證CPD+DPA+A+ACO=90，即可求出CDP=456如圖所示，AB是O的直徑，AF是O的弦，AE平分BAF，交O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線EDAF于點(diǎn)D，交AB的延長線于點(diǎn)C (1)求證：CD是O的切線；(2)若DE4，sinC，求AE的長 【思路點(diǎn)撥】 構(gòu)造半徑、半弦、弦心距的直角三角形【答案與解析】解：(1)證明：連接OE，BF，交于點(diǎn)G，則BFAF，BFCDOAOE，OAEOEAOAEFAE，OEAFAEOEAF，AFDE，OECDCD為O的切線