模擬試卷B答案

1、11數(shù)值分析模擬試卷(B)一、算法分析(20%)1、要使訂1的近似值的相對誤差不超過10-4，應取幾位有效數(shù)字？(5%)解：設取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于10-4，則X101-n10-4,2a1(_而3Ji!4，顯然a=3，此時，1X101-n=X101-n10-4,2a2X311即X101-n105所以，n=5。2、設近似值S=35.70具有四位有效數(shù)字，計算中無舍入誤差，試分析用遞推01式S=-S-142.8計算S所得結果是否可靠。(5%)i+15i20解：設計算S的絕對誤差為e(S)=S*S，其中計算S的誤差為8,那么i計算S的誤差為201e(S)=S*S=(-S*142.8)2020

2、2051911=-e(S)=一e(S)=5195218iie(S20)=151(-S142.8)5191=-e(S)5201=-(S*S)51919e(S)，誤差縮小，結果可靠。03、判定解方程組x+2x2x=13、判定解方程組x+x+x=1的高斯一賽德爾迭代法的收斂性？(10%)1232x+2x+x=123解：(111所以高斯賽德爾迭代法發(fā)散。二、基本計算(30)1、用合理途徑計算曙-。(5%)n(n+1)n=1解：由小到大依次相加。迥_=100(1-丄)=1-丄=型n(n+1)nn+1101101TOC o 1-5 h zn=1n=12、用秦九韶算法計算p(x)=2+x-x2+3x4的值p

3、。(5%)解：將所給多項式的系數(shù)按降冪排列，缺項系數(shù)為0。30-11226122246F6112348所以，p(2)=48。12123、作矩陣A=25313、2的LU分解。(5%)5丿(123(123、A=252，315丿設(123、/1252=l21315丿Vl31解：對矩陣00、/uuu、111213100uu2223l321丿V00u)33先計算U的第一行，由矩陣乘法，有r100rr100r1ruuur123、111213110=2150uu=1-42122231J3一512丄丿、00u丿-24s丿最后計算u33。然后計算U的第2行L的第2列,得/a=1=lxu+0 x0+0 x0111

4、1u=111/a=2=1xu+0 xu+0 x0121222.u=212/a=3=1xu+0 xu+0 xu13132333.u=313再計算L的第一列，由矩陣乘法,/a=2=lu+1x0+0 x0212111.l=a/u=2212111/a=3=lu+1x0+1x031311132.l=a/u=33131114、給定矩陣A=r1_2求|A|,|A,|A|。(10%)+a=3,a+a211222解：因為”=3,所以A=3；1+a=2,a+a122122因為a=4，所以|A|=4；因為ATA因為ATA=r1J-2Y12人-2所以ATA的特征多項式為:九-533九一15=0，解之得尢=&尢=2。1

5、2所以|A|2=2邁。5、已知x=l,2,3,4,5，對應的函數(shù)值為f（x）=l,4,7,8,6，求出插分表，寫出相應的等距節(jié)點插值多項式。（5%）解：作差分表如下：三、數(shù)值計算（50）x+2x2x二1TOC o 1-5 h z1231、用高斯一賽德爾迭代法解qx+x+x二3（取x（0）=（0,0,0）T）。（5%）1232x+2x+x=5123解：從三個方程中分離出未知變量x,x,x,將方程組改寫成便于迭代的形式得123x=2x+2x+1231所以，高斯賽德爾迭代法發(fā)散。2、試構造一個次數(shù)最低的插值多項式p(x),使其滿足p(1)二f(1)二一1,P(0)二f(0)二2,p(0)二f(0)二

6、0,p(3)二f二1,p(3)二f(3)二1(5%)解：設插值多項式為p(x)二a+ax+ax2+ax3+ax401234貝Up(x)二a+2ax+3ax2+4ax31234由插值條件得2=p(0)=a00=p(0)=a11=p(1)=aa+aa+aTOC o 1-5 h z012341=p(3)=a+3a+9a+27a+81a012341=p(3)=a+6a+27a+108a1234解之得a=20a=013a=241354所以p(xp(x)_108x4+x3一x2+25442x+4y=113、用最小二乘法求方程組3兀一5y=3的近似解。(10%)x+2y=6x+2y=14解：設方程組中各個方

7、程的一般形式為ax+by=c，則iiiL=(ax+by)-e2iiii=1對x、y分別求偏導，并令偏導數(shù)等于0，得=2(ax+by)-ea=0dxiiiii=1n工(ax+by)一ea=0TOC o 1-5 h ziiiii=1nx工a2+y為ab一ae=0iiiiii=1i=1i=1=乙2(ax+by)一eb=0Qyiiiii=1n工(ax+by)一eb=0iiiy為b2y為b2一be=0iiii=1i=1nxab+iii=1將數(shù)據(jù)代入得J15x-3y-51=0-3x+49y-69=0解之得x=3.727Iy=1.6364、五等分區(qū)間用梯形法求數(shù)值積分J1仝，計算數(shù)據(jù)取小數(shù)點后兩位數(shù)。(5%

8、)01+x2解：五等分區(qū)間時，梯形法積分公式為dx11152(y0+y5H人+y2+y3+y4)將區(qū)間5等分，6個分點上的函數(shù)值為：00.20.410.960.860.60.810.740.610.5dx所以，f0.2X0.5X(1+0.5)+0.96+0.86+0.74+0.61=0.78401+X25、確定數(shù)值微分公式f(x)uAf(x)+Af(x)+Af(x)的系數(shù)，使它具有盡0001021可能高的代數(shù)精度。(10%)解：為了計算方便，令x解：為了計算方便，令x=0,x=h，01得把f(x)=1,x,x2依次代入使其成為等式,A+AA+A=002A+Ah=012Ah2=222解之得A二-0h2,A,A2h2所以2f(x)u-f(x)-hf(x)+f(x)0h2001此公式對于f(x)=x3不成立，故其代數(shù)精度為2。6、用歐拉法求初值問題0.916、用歐拉法求初值問題0.91+2xy(0 x0,同理可以判斷出在其他幾個區(qū)間上導數(shù)的符號。進一步可以得導函數(shù)在每一個區(qū)間上的單調性。列表如下：x(-n)-1(-1,2)2(2,+兀)y+/00+y*325一y(-1)=320,y(2)=50,在區(qū)間(-1,2)上方程無根。又y(2)=50，函數(shù)在(2,+小上又是單調增的，函數(shù)值不可能再變號