專題06：圓（老師版）

1、專題06：圓-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練一、單選題1已知等邊三角形ABC如圖，（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；（2）作直線MN交AB于點(diǎn)D；（2）分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于H，L兩點(diǎn)；（3）作直線HL交AC于點(diǎn)E；（4）直線MN與直線HL相交于點(diǎn)O；（5）連接OA，OB，OC根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論：OB2OE；AB2OA；OAOBOC；DOE120，正確的是（）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外心，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)一一判斷即可【詳解】解：由作圖可知，點(diǎn)O是ABC的外心，ABC

2、是等邊三角形，點(diǎn)O是ABC的外心也是內(nèi)心，OB2OE，OAOBOC，BAC60，ADOAEO90，DOE18060120，故正確，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型2如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC4，將ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到ADE，直線BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO則下列結(jié)論中：ABDACE；COD135；AOBD；AOC面積的最大值為8，其中正確的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】C【解析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明即可判斷；由的結(jié)論可得，進(jìn)而得到，即可判斷；證明為等腰三角形即可

3、判斷；由題意直線BD、CE相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，通過(guò)勾股定理計(jì)算求出最大值，進(jìn)而進(jìn)行判斷【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，即故正確設(shè)相交于點(diǎn),如圖：由，可得，又故正確，可知四點(diǎn)共圓，則即故正確設(shè)到的距離為， ，以為底邊，當(dāng)最大時(shí)候，AOC面積的才最大，由可知是等腰三角，,當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)即當(dāng)時(shí)，最大即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，過(guò)作于點(diǎn)，如圖，由可知由可知,由可知在中，在中，,在中， 故不正確綜上所述：正確，共計(jì)3個(gè)故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形相似的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，正確的作輔助線和熟練的幾何基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵3如圖，扇形AO

4、D中，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），于Q，點(diǎn)I為的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（）ABCD【答案】D【解析】連OI，PI，DI，由OPH的內(nèi)心為I，可得到PIO=180-IPO-IOP=180-（HOP+OPH）=135，并且易證OPIODI，得到DIO=PIO=135，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作O，如圖，連OD，OO，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P，連PD，PO，可得DPO=180-135=45，得DOO=90，OO=【詳解】解：如圖，連OI，PI，DI，OPH的內(nèi)心為I，IOP=IOD，IPO=

5、IPH，PIO=180-IPO-IOP=180-（HOP+OPH），而PHOD，即PHO=90，PIO=180-（HOP+OPH）=180-（180-90）=135，在OPI和ODI中，OPIODI（SAS），DIO=PIO=135，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作O，如圖，連OD，OO，在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P，連PD，PO，DIO=135，DPO=180-135=45，DOO=90，而OD=6，OO=DO=，r的值為，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵4如圖，已知矩形的周長(zhǎng)為，和分別為和

6、的內(nèi)切圓，連接，若，則的長(zhǎng)為（）ABCD【答案】B【解析】設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，由矩形的對(duì)稱性知，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與三角形面積間的關(guān)系得到x、y、r的關(guān)系式，再由推導(dǎo)出x、y、r的關(guān)系，從而分別求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【詳解】如圖，設(shè)AB=x，BC=y，內(nèi)切圓半徑為r，則AC=矩形的周長(zhǎng)為，x+y=8和分別為和的內(nèi)切圓，由矩形的對(duì)稱性知，即由、聯(lián)立方程組，解得：r=1，xy=14，作EHFH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，EF=，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)切圓半徑與

7、面積、周長(zhǎng)間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.5如圖，中，點(diǎn)在內(nèi)，且平分，平分，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)、，若與相似，則線段的長(zhǎng)為（）A5BC5或D6【答案】B【解析】分APQABC，APQACB兩種情況，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)切圓求解即可.【詳解】解：若APQABC，APQ=ABC，PQBC，PDB=DBC，BD平分ABC，PBD=CBD，PBD =PDB，PB=PD，同理，DQ=CQ，BC=，設(shè)AP=x，根據(jù)得,AQ=，PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，PQ=PD+QD=，即，解得：x=，PQ=；若APQACB，則，由題意知：D為ABC的內(nèi)心，設(shè)ABC的內(nèi)切圓交AB于M，交AC于N，可知四邊

8、形AMDN為正方形，A=AMD=AND=MDN=90，AMDN，ANDM，MPD=NDQ，MDP=NQD，MPDNDQ，AB=8，AC=6，BC=10，DM=DN=2，AM=AN=2，設(shè)PM=x，則，NQ=，即，解得：x=或-2（舍），AP=+2=，PQ=APBCAC=106=.綜上：PQ的值為.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓，角平分線的定義，有一定難度，解題的關(guān)鍵是將三角形相似分兩種情況討論.二、填空題6如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為_【答案】2【解析】如圖，連接CE首先證明BEC=120，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)

9、E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E，此時(shí)AE的值最小【詳解】解：如圖，連接CEAPBC，PAC=ACB=60，CEP=CAP=60，BEC=120，,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作中優(yōu)弧度數(shù)為=240，則劣弧度數(shù)為120BMC是等腰三角形，BMC=120，BCM=30，BC=，MB=MC=8，連接MA交于E，此時(shí)AE的值最小ACB=60，BCO=30，ACM=90，MA=，AE的最小值為=故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，

10、構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題7在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且， ，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為_【答案】2或4#4或2【解析】分點(diǎn)D1在線段AE1上和點(diǎn)D1在線段AE1的延長(zhǎng)線上，兩種情況討論，由矩形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)即可可求解【詳解】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D1在線段AE1上，ACB90，ABC30，AC2，AB4，BC2，將BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至BD1E1，D1BDB 2，BD1E190，AD1，AD1BC，且ACBD1，四邊形ACBD1是平行四邊形，且ACB90，四邊形ACBD1是矩形，CD1AB4；如圖2，當(dāng)點(diǎn)D1在線段AE1的延長(zhǎng)線上，ACBAD1B90，點(diǎn)A，點(diǎn)B，

11、點(diǎn)D1，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，AD1CABC30，ACBD1，ABAB，RtABCRtBAD1（HL）D1ABABC30，且BAC60，CAD130AD1C，ACCD12綜上所述：CD12或4故答案為：2或4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，圓的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，利用分類討論解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵8在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上小紅利用兩張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，按要求剪出了一個(gè)面積最大的正三角形和一個(gè)面積最小的正三角形則這兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)分別是_【答案】，2【解析】設(shè)為正方

12、形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，從而得點(diǎn)K為一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)GF最大時(shí)，的面積最大，當(dāng)GF最小時(shí)，的面積最小，進(jìn)而即可求解【詳解】解：設(shè)為正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，如圖，作的高EK，EKG=EDG=90，點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，KDE=KGE=60，同理：KAE=KFE=60，是一個(gè)正三角形，點(diǎn)K為一個(gè)定點(diǎn)，正三角形的面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)GF最大時(shí)，的面積最大，當(dāng)GF最小時(shí)，的面積最小，當(dāng)KFAB時(shí)，F(xiàn)G最小，即FG最小，此時(shí)，F(xiàn)G=AD=2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B

13、重合時(shí)，KF最大，即FG最大，此時(shí)的面積最大，過(guò)點(diǎn)K作AB的平行線交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，MK 為的高，MK=DKsin60=ADsin60=，KN=AB-MK=，K為BG的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，CG=2KN=，F(xiàn)G=故答案是：，2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形和等邊三角形的性質(zhì)以及四邊形外接圓的性質(zhì)和判定，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，證明正方形的內(nèi)接正三角形的一邊中點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵9如圖，已知的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_【答案】【解析】連接OB，OA，過(guò)O作ODAB，根據(jù)垂徑定理可得AD=BD=AB=，根據(jù)余弦的定義、特殊角

14、的三角函數(shù)值及圓周角定理可得P=AOB=60，連接IA，IB，根據(jù)角平分線的定義得到IAB=PAB，IBA=PBA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到AIB=180(PAB+PBA)=120，設(shè)A，B，I三點(diǎn)所在的圓的圓心為O，連接，得到=120，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，連接，可得，解直角三角形可求出的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論【詳解】連接，過(guò)作，sinAOD=，連接，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，始終等于，點(diǎn)在以為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，三點(diǎn)所在的圓的圓心為，連接，則，連接，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形及弧長(zhǎng)公式，垂直于弦點(diǎn)直徑平分弦，

15、且平分這條弦所對(duì)點(diǎn)兩條?。辉谕瑘A或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)點(diǎn)圓心角點(diǎn)一半；熟練掌握相關(guān)定理并熟記特殊角的三角函數(shù)值及弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵10如圖，正方形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，則的最小值為_【答案】【解析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，由勾股定理得BE=，由，M為PF中點(diǎn)，可知M為四邊形BFEP外接圓的圓心，BE為圓M的弦，故圓心M在線段BE的垂直平分線上，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G，交CD于H，過(guò)點(diǎn)D作于M，此時(shí)的線段DM即為所求最小值，過(guò)點(diǎn)E作于N，則四邊形EGMN為矩形，可得，GE

16、=MN，可證，可得，代入數(shù)據(jù)得：DN=，又MN=EG=，可得DM的長(zhǎng)度【詳解】，AD=AB=9，AE=3，DE=6，又AB=9，BE=，B、F、E、P四點(diǎn)共圓，且PF為直徑，M為PF中點(diǎn)，M為四邊形BFEP外接圓的圓心，E、B為定點(diǎn)，BE為圓M的弦，圓心M在線段BE的垂直平分線上，如下圖，作線段BE的垂直平分線GH交BE于G，交CD于H，過(guò)點(diǎn)D作于M，此時(shí)的線段DM即為所求最小值，過(guò)點(diǎn)E作于N，則四邊形EGMN為矩形，GE=MN,，又，即，解得：DN=，BE=，EG= ，MN=，DM=DN+MN=+=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓的對(duì)稱性，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理及其逆定

17、理確定四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵三、解答題11如圖，直線AB經(jīng)過(guò)O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD（1）試判斷直線AB與O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)【答案】（1）相切，見解析；（2）見解析；（3）5【解析】（1）連接OC，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明OCAB，據(jù)此解題；（2）連接OC，90圓周角所對(duì)的弦是直徑，證明DE為O的直徑，再證明BCDBEC，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題；（3）根據(jù)正切定義得到，解得OC=OE=3，再由BCDBEC，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，及勾股定理得到9+x

18、2=（2x-3）2，解此一元二次方程，驗(yàn)根即可解題【詳解】解：（1）AB與O相切，連接OC，OA=OB，CA=CB，OCAB，點(diǎn)C在O上，AB與O相切； （2）連接OC，OCAB，OCB=90即1+3=90，又DE為O的直徑，ECD=90即2+3=90，1=2，OE=OC，E=2，1=E，B=B，BCDBEC，BC2=BDBE；（3），ECD=90，O的半徑為3，OC=OE=3，BCDBEC，設(shè)BC=x，OB=2x-3，OCB=90，OC2+BC2=OB2，9+x2=（2x-3）2，x1=0（舍去），x2=4，OA=OB=5【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，切線

19、的證明方法有兩種：1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；2、無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利用方程思想解題是關(guān)鍵12如圖，在Rt中，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)（1）求證：是的切線；（2）求證：（3）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）如圖所示，連接，則，根據(jù)等邊對(duì)等角可知，由是的平分線，可得，等量代換得，從而可得，進(jìn)而得即可得證；（2）連接，由（1）及已知條件證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（3）連接，設(shè)的半徑為，由（1）知，根據(jù)已知條件，求得半徑,連接，由（2）知，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)（2）的結(jié)論求得【詳解】解：（1）如圖所示

20、，連接，則，是的平分線，點(diǎn)在上，是的切線；（2）如圖所示，連接，是的直徑，由（1）知，；（3）如圖所示，連接，由（1）知，設(shè)的半徑為，則，在中，設(shè)則，連接，由（2）知，在中，由（2）知，.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，添加輔助線，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵13已知：如圖1，AB是O的直徑，DB是O的切線，C是O上的點(diǎn)，連接OD，ACOD（1）求證：DC是O的切線；（2）求證：AB22ACOD；（3）如圖2，AB，tanABC，連接AD交O于點(diǎn)E，連接BC交OD于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）

21、先判斷出CODBOD，再判斷出OBD90，進(jìn)而得出CODBOD（SAS），即可得出結(jié)論；（2）先判斷出ABCODB，得出ACODABOB，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出BD2DEDA，再判斷出BDFOBFODB，得出BF2OFDF，BD2DFDO，進(jìn)而求出AC1，BC3，進(jìn)而判斷出DFDODEDA，即可判斷出DEFDOA，即可得出結(jié)論【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，OAOC，AOCA，ACOD，ABOD，ACOCOD，CODBOD，DB是O的切線，AB是O的直徑，OBD90，CODBOD（SAS），OCDOBD90，DC是O的切線；（2）連接BC，如圖1，AB是O的直徑，ACB90，ABO

22、D，ACBOBD，ABCODB，ACODABOB，ACODABAB，AB22ACDO；（3）如圖2，連接BE，AB是O的直徑，AEBACB90，ABD90，BDEADB，BD2DEDA，ACOD，ODBC，BDFOBFODB，BF2OFDF，BD2DFDO，AB，tanABC，BC3AC，BC2+AC2AB2，9AC2+AC210，AC1，BC3，OBAB，BFBC，OFAC，DB，DA，OD5，DF，DFDODEDA，EDFODA，DEFDOA，EF【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵14如圖，

23、以線段為直徑的交邊于點(diǎn)D，連接，作平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接，作于點(diǎn)G，連接，（1）求證：為切線；（2）求證：；（3）若，的面積為S，求的面積（用S的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）18S【解析】（1）根據(jù)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到E=B，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角的直角、利用等角的余角相等推出CAB=90，即可得到結(jié)論（2）連接OD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，利用等角對(duì)等邊得GD=GA，結(jié)合全等得到AOG=DOG，推出OG是AOD的平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）由題意根據(jù)相等的角的正切值相等推出邊之間的關(guān)系，不妨設(shè)AD=2a，由直角三角形中的勾股定

24、理推出線段OG=a，DE=，再根據(jù)圓周角定理和角之間的互余關(guān)系得到FGOADE，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】（1）證明：由題意可知在O中，E=B，CAD=E，CAD=B，B+DAB=90，CAD+DAB=90，即CAB=90，CAAB，AC為O切線（2）如圖，連接OD，ADB=90，DE平分ADB，ADF=BDF=45，又AGDE，AGD是等腰直角三角形，在OGA和OGD中，OGAOGD（SSS），AOG=DOG，OG是AOD的平分線，OGAD（3）如圖，連接OD，由（2）可知OGAD，令其垂足為M，BAD=C，tanC=tanBAD=2，不妨設(shè)AD=2a，則BD=4a，AB=，O

25、A=OB=OD=，AGD是等腰直角三角形，且OMAD，AM=DM=MG=AD=a，AG=DG=AD=，MO=，OG=MOMG=a，由（1）可知在RtAGE和RtCAD中，E=CAD，GAE=C，tanGAE=tanC=2，EG=2AG=，DE=DG+EG=，由（2）可知OMAD，BDAD，OMBD，F(xiàn)OG=B，OGF=BDF又由（1）可知E=B，ADF=BDF=45FOG=E，OGF=EAD，F(xiàn)GOADE，SOFG=S，SDAE=18S【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理及解直角三角形，需要善于觀察結(jié)合圖形找到相等的角，根據(jù)

26、角的關(guān)系推導(dǎo)出邊的關(guān)系、三角形的形狀及相似三角形等，進(jìn)而求解15如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)A、B、D三個(gè)點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)F，連結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E恰好是的中點(diǎn)（1）求證：是的切線（2）若，求的長(zhǎng)求陰影部分的面積【答案】（1）見解析；（2），【解析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)推出，即可得證；（2）由平行四邊形的性質(zhì)以及垂徑定理可推出，然后在中分別求出，從而得出結(jié)論；連接，然后根據(jù)求解即可【詳解】（1）由題意，根據(jù)垂徑定理，四邊形平行四邊形，為半徑，是的切線；（2）如圖，連接，在中，；如圖，連接，由題意，由可知，,為等腰直角三角形，由可知，陰影部分的面積【點(diǎn)評(píng)】本題考查證明圓

27、的切線，垂徑定理，以及與扇形相關(guān)的陰影部分面積計(jì)算問(wèn)題，掌握證明切線的方法，熟記扇形的面積計(jì)算是解題關(guān)鍵16在等邊中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到，連接（1）如圖1，當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接，猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、交于點(diǎn)若，請(qǐng)直接寫出的值【答案】（1）；（2）；證明見解析；（3）【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與等腰的性質(zhì)以及勾股定理求得，進(jìn)而求得，在中，勾股定理即可求解；（2）延長(zhǎng)至，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，證明是等邊三角形，進(jìn)而證明，即

28、可證明是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)三線合一以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明，結(jié)合中位線定理可得，進(jìn)而可得，設(shè)，分別勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)求得，即可求得的值【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到，是等邊三角形，在中，（2）如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)又四邊形是平行四邊形，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到，是等邊三角形，是等邊三角形設(shè)，則,，,是等邊三角形，即（3） 如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四點(diǎn)共圓由（2）可知，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到

29、，是的中點(diǎn)，是的中位線是等腰直角三角形四邊形是矩形，設(shè)在中，,在中,在中【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，四點(diǎn)共圓，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵17在平行四邊形ABCD中，已知A45，ADBD，點(diǎn)E為線段BC上的一點(diǎn)，連接DE，以線段DE為直角邊構(gòu)造等腰RtDEF，EF交線段AB于點(diǎn)G，連接AF、DG（1）如圖1，若AB12，BE5，則DE的長(zhǎng)為多少？（2）如圖2，若點(diǎn)H，K分別為線段BG，DE的中點(diǎn)，連接HK，求證：AG2HK；（3）如圖3，

30、在（2）的條件下，若BE2，BG2，以點(diǎn)G為圓心，AG為半徑作G，點(diǎn)M為G上一點(diǎn)，連接MK，取MK的中點(diǎn)P，連接AP，請(qǐng)直接寫出線段AP的取值范圍【答案】（1）DE13；（2）見解析；（3）2AP+2【解析】（1）借助三角形全等，求線段的長(zhǎng)度（2）借助模型“對(duì)邊平行+中點(diǎn)”構(gòu)造全等三角形將AG轉(zhuǎn)化為GM；（3）主動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)P也在圓上運(yùn)動(dòng)，利用中位線找到P的運(yùn)動(dòng)軌跡【詳解】解：（1）A45，且ADBD，ADB90，ABD為等腰直角三角形，又,BD12，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DBEADB90，在RtBED中，BD12，BE5，DBE90，DE 13；（2）如圖2，連接

31、GK，BK，延長(zhǎng)BK 交AD于M，連接GM，ADBC，EBKDMK，KEBMDK，又DKKE，BEKMDK（AAS），DKKE，又BHGH，KHGM，DEF是等腰直角三角形，EDFADB90，DEDF，DFEDEF45，EDB+BDFFDA+BDF，EDBFDA，ADB90，BAD45，ABD90BAD45，ABDBAD，DBDA，ADFBDE（SAS），DAFDBE90，AFBEDAGDFG45，A、F、G、D四點(diǎn)共圓，DGEDAF90，在RtDGE中，K是DE的中點(diǎn)，GKDE，在RtDKE 中，同理可得：KBDE，GKKB，又BHGH，KHBG，KHMG，MGAB，AGM90，BAD45，AMGBAD45，AG