經(jīng)濟數(shù)學復習第六章線性方程組市公開課獲獎課件

1、 一. 非齊次線性方程組消元解法 ESC 6.1 線性方程組消元解法 二. 線性方程組解鑒定 6.1 線性方程組消元解法 第1頁第1頁 一. 非齊次線性方程組消元解法 ESC 6.1 線性方程組消元解法 二. 線性方程組解鑒定 6.1 線性方程組消元解法 第2頁第2頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方程組 若常數(shù)項 , , , 不全為零,則稱此方程組為非齊次線性方程組.非齊次線 性方程組 第3頁第3頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方程組 若常數(shù)項 , , , 全為零,即則稱此方程組為齊次線性方程組.齊次線

2、性 方程組 第4頁第4頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 記系數(shù)矩陣未知量矩陣常數(shù)項矩陣A X b 若 bO , 則非齊次線性方程組用矩陣可表示為 AX=b . 若 bO, 則齊次線性方程組用矩陣可表示為AX=O.第5頁第5頁ESC增廣矩陣A A b 一. 非齊次線性方程組消元解法 第6頁第6頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 對于非齊次線性方程組AX=b ,bO. 和齊次線性方程組AX=O.要處理下列三個問題(1) 方程組是否有解?(2) 若有解, 是否是唯一解?(3) 如何求方程組解?第7頁第7頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 案 例用消元法解下列非齊次線性方程組: 消

3、元法基本思想是把方程組中部分方程變成未知量較少 從而求出解.也就是通過對方程組進行同解變形來實現(xiàn).項進行變換. 分析 方程,而對方程組進行同解變形事實上就是對方程組系數(shù)和常數(shù) 下面在用消元法解方程組時,對照觀測線性方程組增廣矩陣. 第8頁第8頁ESC 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) 方程組增廣矩陣 方程乘上數(shù)(-2)、(-1)加到方程和方程上, 得 A A A 分別將 第1行乘上數(shù)(-2)、(-1)加到第2行和第3行上,得A 第9頁第9頁 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) A 方程組增廣矩陣 A 把方程乘上 ,得ESC把上述矩陣第3行乘上 ,得第10頁第10頁 解案例(方程組與增廣矩陣對

4、照演示) ESC方程組增廣矩陣 A 互換方程和方程位置,得互換上述矩陣第2行和第3行,得第11頁第11頁 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) ESC方程組增廣矩陣 A 為消去方程未知量,將方程乘上數(shù)3加到方程上,得 將上述矩陣第2行乘上數(shù)3加到第3行上,得A 1 階梯形 方程組 階梯形矩陣 第12頁第12頁 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) ESC方程組增廣矩陣 A A 1為求方程組解,將方程乘上 ,得把上述矩陣第3行乘上 , 得第13頁第13頁 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) ESC方程組增廣矩陣 A 將上述矩陣第3行分別乘上數(shù)2、(-1),加到第2行和第1行上,得將 代入前兩個方程,

5、即將方程分別乘上數(shù)2、(-1)加到方程和方程上,得第14頁第14頁 解案例(方程組與增廣矩陣對照演示) ESC方程組增廣矩陣 A (完)將 代入前一個方程,即將方程乘上數(shù)(-3)加到方程上,得將上述矩陣第2行乘上數(shù)(-3)加到第1行上,得A 2 原方程 組解 簡化階梯形矩陣 唯一解 第15頁第15頁 用消元法求解線性方程組過程對照 ESC方程組增廣矩陣 (1) 消元過程: 通過對方程組系數(shù)和常數(shù)項進行算術運算,自上而下地將各個方程所含未知量個數(shù)依次減少,最后把方程組化為階梯形方程組；(2) 回代過程:由階梯形方程組逐次求出各未知量. 相應地A (1)用矩陣初等行變換將 化為階梯形矩陣: 階梯形

6、方程組相相應矩陣 是階梯形矩陣;A A 1(2)用矩陣初等行變換將矩陣 化為簡化階梯形矩: 簡化階梯形矩陣給出了原方程組解 . A 1第16頁第16頁ESC非齊次線性方程組求解過程與程序 一. 非齊次線性方程組消元解法 若r(A)=r( ) A r(A)r( ) A (1) 經(jīng)初等行變換將 化為階梯形矩陣 ; A A 1(2)繼續(xù)化 為簡化階梯 形矩陣 ;A 1A 2非齊次線性方程組無解,解題結(jié)束.(3)寫出簡化階 梯形矩陣 相應線性方程組.A 2由簡化階梯形矩陣 給出原方程組解 . A 2第17頁第17頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 解線性方程組: 例1(1)將線性方程組增廣 解

7、A 矩陣 化為階梯 形矩陣. A 第18頁第18頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 例1(1)將線性方程組增廣 續(xù)解 A 矩陣 化為階梯 形矩陣. A 階梯形矩陣A 1與 相應方程組為 A 10=0.第19頁第19頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 例1續(xù)解 (2)繼續(xù)將階梯形矩陣 化為簡化階梯形矩陣. A 1A 1A 2簡化階梯 形矩陣第20頁第20頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 例1續(xù)解 A 1A 2(3)寫出 與 相應方程組 A 2簡化階梯 形矩陣該方程組可寫成 第21頁第21頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 (完) 例1續(xù)解 該方程組可寫成 若取則原方程組

8、解是(3)寫出 與 相應方程組 A 2,求出原方程組解.其中 為任意常數(shù). 原方程組有 無窮多組解 線性方程組普通解第22頁第22頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 解線性方程組: 例2解 A 并對其施行初等行變換,化為階梯形矩陣.(1)寫出方程組增廣矩陣 , A 第23頁第23頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 (完) 例2續(xù)解 A 并對其施行初等行(1)寫出方程組增廣矩陣 , A 變換,化為階梯形矩陣.A 階梯形矩陣 A 1與 相應方程組為 A 1矛盾方程 原方程組 無解第24頁第24頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 以上我們利用消元法解了三個線性方程組.其求解過程可由

9、方程組增廣矩陣 進行初等行變換得到. A 觀測線性方程組系數(shù)矩陣A秩r(A)、增廣矩陣秩r( ): A 案例中: A A A r(A)=r( )=3=未知量個數(shù), A 原方程組 有唯一解 第25頁第25頁ESC 一. 非齊次線性方程組消元解法 A A A r(A)=r( )=2未知量個數(shù)4, A 例1中: 原方程組有 無窮多組解 A A A 例2中: r(A)=2r( )=3, A 原方程組 無解第26頁第26頁ESC 二. 線性方程組解鑒定 設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方程組 非齊次線 性方程組 或用矩陣表示AX=b . 有解r(A)=r( )=r. A 這時,自由未知量個數(shù)為n-r

10、. (1)當r=n(未知量個數(shù))時,有唯一解; (2)當rn時,有無窮多解, 定理 6.1第27頁第27頁ESC方程組: 例3解 A 并對其施行初等增廣矩陣 , A 寫出方程組 行變換.解線性 二. 線性方程組解鑒定 第28頁第28頁ESC(未完待續(xù)) 例3續(xù)解 A 并對其施行初等增廣矩陣 , A 寫出方程組行變換. 二. 線性方程組解鑒定 第29頁第29頁ESC例3續(xù)解 A 并對其施行初等增廣矩陣 , A 寫出方程組行變換.階梯形矩陣A 1由階梯形矩陣 知, A 1r(A)=r( )=3未知量個數(shù)5, A 原方程組有 無窮多組解 自由未知量個數(shù)為53=2. 二. 線性方程組解鑒定 第30頁第

11、30頁ESC例3續(xù)解 并對其施行初等增廣矩陣 , A 寫出方程組行變換.A 1簡化階梯形矩陣A 2 二. 線性方程組解鑒定 第31頁第31頁ESC(完) 例3續(xù)解 簡化階梯形矩陣A 2A 1A 2與 相應方程組 A 2若取則方程組普通解為 其中 為任意常數(shù). 二. 線性方程組解鑒定 原方程組有無窮多 組解 第32頁第32頁ESC方程組: 例4解 (1) A 已知線性 (2)當方程組有解時,求出它求(1) 為何值時方程組有解? 為何? 普通解. 施行初等行變換.增廣矩陣 對線性方程組 A 二. 線性方程組解鑒定 第33頁第33頁ESC例4A 二. 線性方程組解鑒定 續(xù)解 (1) 方程組有解. 當

12、即時,有 r(A)=r( ), A r(A)=2 , r( )=2 ,A 此時(2) 當時, A 簡化階梯形矩陣第34頁第34頁ESC(完) 例4A 二. 線性方程組解鑒定 續(xù)解 (2) r(A)=r( )=23, A 因此原線性方程組有無窮多解, 且含1個自由未知量. 由于 若取 則方程組普通解為: 其中 為任意常數(shù). 方程組有無窮多 組解 第35頁第35頁ESC 二. 線性方程組解鑒定 設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方程組 齊次線 性方程組 用矩陣表示AX=O . 一定有零解這時,自由未知量個數(shù)為n-r(A). (1)當r(A)=n(未知量個數(shù))時,僅有零解; (2)當r(A)n時,

13、有非零解, 定理 6.1推論由此可知,當方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n 時, 方程組一定有非零. 第36頁第36頁ESC 齊次線性方程組求解過程與程序若r(A)n r(A)=n齊次線性方程組僅有零解,解題結(jié)束. 二. 線性方程組解鑒定 (1) 經(jīng)初等行變換將 化為階梯形矩陣 ; A A 1(2)繼續(xù)化 為簡化階梯 形矩陣 ;A 1A 2(3)寫出簡化階 梯形矩陣 相應線性方程組.A 2由簡化階梯形矩陣 給出原方程組無窮多解 . A 2第37頁第37頁ESC方程組: 例5解 解線性 二. 線性方程組解鑒定 因此方程組一定有非零解.由于方程組中方程個數(shù)3小于未知量個數(shù)4,A 第38頁第38頁ESC(未

14、完待續(xù)) 例5續(xù)解 二. 線性方程組解鑒定 A 簡化階梯形矩陣第39頁第39頁ESC例5續(xù)解 二. 線性方程組解鑒定 A 由上述簡化階梯形矩陣知, 簡化階梯形矩陣若取則方程組普通解為 其中 為任意常數(shù). 原方程組有無窮多 組解 第40頁第40頁ESC 內(nèi)容小結(jié) 一、齊次線性方程組與非齊次線性方程組設含有個未知量、有個方程式構成方程組（6.1.1)第41頁第41頁ESC 內(nèi)容小結(jié) 其中系數(shù)，常數(shù) 都是已知數(shù)，是未知量(也稱為未知數(shù))當右端常數(shù)項， ， ，不全為0時，稱方程組（6.1.1)為非齊次線性方程組；當 時（6.1.2)稱方程組（6.1.2)為齊次線性方程組；第42頁第42頁ESC 內(nèi)容小

15、結(jié) 二、消元法(高斯消元法)用消元法解線性方程組（或）詳細環(huán)節(jié)為：首先寫出增廣矩陣 （或 ）(或系 數(shù)矩陣 )，并用初等行變換將其化成階梯形矩陣；然后判斷方程組是否有解；在有解情況下，繼續(xù)用初等行變換將階梯形矩陣化成行簡化階梯形矩陣，再寫出方程組普通解A 第43頁第43頁ESC 內(nèi)容小結(jié) 三、線性方程組解鑒定設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方程組 第44頁第44頁ESC 內(nèi)容小結(jié) 有解r(A)=r( )=r. A (1)當r=n(未知量個數(shù))時,有唯一解; (2)當rn時,有無窮多解, 這時,自由未知量個數(shù)為n-r. 第45頁第45頁ESC 內(nèi)容小結(jié) 設含有 n 個未知數(shù) m 個方程線性方

16、程組 一定有零解第46頁第46頁ESC 內(nèi)容小結(jié) (1)當r(A)=n(未知量個數(shù))時,僅有零解; (2)當r(A)n時,有非零解, 這時,自由未知量個數(shù)為n-r(A). 由此可知,當方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n 時, 方程組一定有非零. 第47頁第47頁ESC課堂練習1、解線性方程組，(6.1.3)，第48頁第48頁ESC課堂練習解先寫出增廣矩陣 ，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即第49頁第49頁ESC課堂練習(-1)2(-3)(-1)第50頁第50頁ESC課堂練習最后一個增廣矩陣表示線性方程組為，第51頁第51頁ESC課堂練習將最后一個方程乘，再將項移至等號右端，得，將其代入第二個方

17、程，解得，再將，代入第一個方程，解得第52頁第52頁ESC課堂練習因此，方程組(6.1.4)解為，其中能夠任意取值(6.1.5)假如將表示式(6.1.5)中自由未知量 取一任意常數(shù)，即令 ，那么方程組(6.1.4)普通解為第53頁第53頁ESC課堂練習，其中為任意常數(shù)比如，對1題中階梯形矩陣進一步化簡，即2第54頁第54頁ESC課堂練習(-1)上述矩陣相應方程組為，第55頁第55頁ESC課堂練習將此方程組中含項移到等號右端，就得到原方程組(6.1.4)普通解，即，其中是自由未知量第56頁第56頁ESC課堂練習2、解線性方程組，第57頁第57頁ESC課堂練習解第58頁第58頁ESC課堂練習因此，

18、方程組普通解為，第59頁第59頁ESC課堂練習2、解線性方程組，解由于第60頁第60頁ESC課堂練習階梯形矩陣第三行“，”所表示方程為：，由該方程可知，無論，取何值，都不能滿足這個方程因此，原方程組無解第61頁第61頁ESC課堂練習4、解線性方程組，第62頁第62頁ESC課堂練習第63頁第63頁ESC課堂練習，因此，方程組普通解為其中，是自由未知量第64頁第64頁ESC課堂練習5、判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？(1)，；第65頁第65頁ESC課堂練習(2)，；(3)，第66頁第66頁ESC課堂練習解(1)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即第67頁第67頁ESC課堂練習.由于，兩者不等，因此方程組無解第68頁第68頁ESC課堂練習(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即第69頁第69頁ESC課堂練習由于 ，因此方程組有無窮多解(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即第70頁第70頁ESC課堂練習由于，因此方程組有唯一解第71頁第71頁ESC課堂練習6、判別下列齊次方程組是否有非零解？，第72頁第72頁ESC課堂練習解用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即第73頁第73頁ESC課堂練習由于 ，因此齊次方程組只有零解第74頁第74頁ESC課堂練習7、問，取何值時，下列方程組無解？有唯一解？