2022屆廣東省三校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1組合數(shù)恒等于（ ）ABCD2變量與的回歸模型中，它們對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)的值如下，其中擬合效果最好的模型是（ ）模型12340.480.150.960.30A模型1B模型2C模型3D模型43已知向量，則與的夾角為（ ）A0BCD4由曲線(xiàn)和直線(xiàn)，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為( )ABCD5若，則“成等比數(shù)列”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件6在用反證法證明命題“三個(gè)正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，則a，b，c中至少有一個(gè)不大于2”時(shí)，下

3、列假設(shè)正確的是（ ）A假設(shè)a，b，c都大于2B假設(shè)a，b，c都不大于2C假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)不大于2D假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)大于27如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A，是的極大值點(diǎn)B，是的極小值點(diǎn)C，不是的極值點(diǎn)D，是是的極值點(diǎn)8是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則ABCD9若向區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)落在由直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成區(qū)域內(nèi)的概率為（ ）ABCD10的值是（）ABCD11在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（ ）附：若XN(,2)，則PA1193B1359C2718D34

4、1312若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)的離心率為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)集合，則_14如圖，正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則AE與所成角的余弦值為_(kāi)15棱長(zhǎng)為的正四面體的高為_(kāi).16將集合中所有的數(shù)按照上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成如下的三角形表:則該數(shù)表中，從小到大第50個(gè)數(shù)為_(kāi)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）某校在本校任選了一個(gè)班級(jí)，對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表，已知在這50人中隨機(jī)抽取2人，這2人都“認(rèn)為作業(yè)量大”的概率為.認(rèn)為作業(yè)量大認(rèn)為作業(yè)量不大合計(jì)男

5、生18女生17合計(jì)50（）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；（）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為“認(rèn)為作業(yè)量大”與“性別”有關(guān)？（）若視頻率為概率，在全校隨機(jī)抽取4人，其中“認(rèn)為作業(yè)量大”的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：18（12分）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，面， （）請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面，使得平面，并說(shuō)明理由；（）證明：平面.19（12分）如圖，在矩形ABC中，E在線(xiàn)段AD上，現(xiàn)沿BE將ABE折起，使A至位置，F(xiàn)在線(xiàn)段上，且. （1）求證：平面；（2）若在平面BCDE上的射影O在直線(xiàn)BC上，求

6、直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的一點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21（12分）已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22（10分）在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為（1）若是的等差中項(xiàng)，是的等比中項(xiàng)，求證：為等邊三角形；（2）若為銳角三角形，求證：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)組合數(shù)的公式得到和，再比較選項(xiàng)得到答案.【詳

7、解】，可知 故選：D【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的計(jì)算公式，意在考查基本公式，屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】分析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，最大，則其擬合效果最好，進(jìn)行判斷即可詳解：線(xiàn)性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；越小，相關(guān)程度越小，模型3的相關(guān)系數(shù)最大，模擬效果最好，故選：A點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)性回歸系數(shù)的性質(zhì)，在線(xiàn)性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大；越小，相關(guān)程度越小3、C【解析】由題設(shè)，故，應(yīng)選答案C4、C【解析】利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果【詳解】設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為，則，其中，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

8、所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分計(jì)算曲邊多邊形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時(shí)，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題5、B【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可判定得到結(jié)論詳解：由題意得，例如，此時(shí)構(gòu)成等比數(shù)列，而不成立，反之當(dāng)時(shí)，若，則，所以構(gòu)成等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列是構(gòu)成的等比數(shù)列的必要不充分條件，故選B點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)，其中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的定義的應(yīng)用是解答的

9、關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力6、A【解析】否定結(jié)論，同時(shí)“至少有一個(gè)”改為“全部”【詳解】因?yàn)椤癮，b，c至少有一個(gè)不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查反證法，在反證法中假設(shè)命題反面成立時(shí)，結(jié)論需要否定的同時(shí)，“至少”，“至多”，“都”等詞語(yǔ)需要改變7、B【解析】由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程，則有，由此可判斷極值情況.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.8、D【解析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則可以直接求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式.【詳解】，故

10、本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、B【解析】區(qū)域是正方形，面積為，根據(jù)定積分定理可得直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點(diǎn)落在由直線(xiàn)與曲線(xiàn)圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，故選B10、B【解析】試題分析：設(shè)，結(jié)合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點(diǎn)：定積分的幾何意義11、B【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積S=0.9545-0.6827則落入陰影部分（曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(-1,1)的密度曲線(xiàn)）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：關(guān)于正態(tài)曲線(xiàn)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充

11、分利用正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和曲線(xiàn)與x軸之間面積為1.12、D【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-4），故選D.考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，需結(jié)合漸近線(xiàn)從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線(xiàn)有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)的可設(shè)為；（2）若漸近線(xiàn)方程為，則可設(shè)為；（3） 雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于虛半軸長(zhǎng)；（4）的一條漸近線(xiàn)的斜率為.可以看出，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線(xiàn)張口的大小另外解決不等式恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求，再

12、求.【詳解】, 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題型.14、；【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與CD1所成角的余弦值【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，2，2），設(shè)AE與CD1所成角為，則cos，AE與CD1所成角的余弦值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成角的余弦值的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

13、求解能力，是中檔題15、【解析】利用正弦定理計(jì)算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【詳解】設(shè)正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，因此，正四面體的高為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正四面體高的計(jì)算，解題時(shí)要充分分析幾何體的結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中等題.16、1040【解析】用表示，下表的規(guī)律為：，則第行的第個(gè)數(shù)，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題歸納推理以及等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的

14、歸納和形的歸納兩類(lèi)：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（）見(jiàn)解析（）有的把握認(rèn)為“認(rèn)為作業(yè)量大”與“性別”有關(guān)（）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）先設(shè)認(rèn)為作業(yè)量大的共有個(gè)人，再求出x的值，完成列聯(lián)表.(2)先求出，再判斷是否有的把握認(rèn)為“認(rèn)為作業(yè)量大”與“性別”有關(guān).（3）利用二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.詳解：（）設(shè)認(rèn)為作業(yè)量大的共有個(gè)人，則 ，解得或（舍

15、去）；認(rèn)為作業(yè)量大認(rèn)為作業(yè)量不大合計(jì)男生18826女生71724合計(jì)252550（）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得.因此有的把握認(rèn)為“認(rèn)為作業(yè)量大”與“性別”有關(guān).（）的可能取值為0，1，2，3，4.由（）可知，在全校隨機(jī)抽取1人，“認(rèn)為作業(yè)量大”的概率為.由題意可知.所以 .所以的分布列為01234 （或）.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二乘二列聯(lián)表，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)18、（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析【解析】（）取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面；根據(jù)長(zhǎng)

16、度關(guān)系和平行關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，得；又，利用線(xiàn)面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論；（）易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，從而根據(jù)角度關(guān)系可求得，結(jié)合，可利用線(xiàn)面垂直判定定理證得結(jié)論.【詳解】（）如圖，取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面理由如下：， 且四邊形是平行四邊形 平面，平面 平面，平面，平面 平面平面，平面，且 平面平面平面 平面（）由（）四邊形是平行四邊形，則， 是邊長(zhǎng)為的正三角形， ，即平面，平面 平面，平面，平面【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行和面面平行判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用、線(xiàn)面垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)定理的掌握情況，屬于?？碱}型.19、

17、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取,再根據(jù)平幾知識(shí)證,最后根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性質(zhì)得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求出平面法向量，根據(jù)向量夾角公式求夾角，最后根據(jù)向量夾角與線(xiàn)面角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）取,因?yàn)?，所以平面，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，即平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)，因?yàn)樵O(shè)平面法向量為，則即即令因?yàn)?所以因此直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行判定定理以及利用空間向量求線(xiàn)面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.20、（1

18、）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由得平面PAE，進(jìn)而可得證；（2）先證得平面，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量為和，設(shè)與平面所成角為，則，代入計(jì)算即可得解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)椋瑸榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，所以.又，所以為等邊三角形，.因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：設(shè)，則，因?yàn)椋?，同理可證，所以平面.如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，知，.設(shè)平面的法向量為，由，得，不妨設(shè)，得.又，所以.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】用向量法求解空間

19、線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.21、 (1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)由題意，當(dāng)時(shí)，然后求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性求得極值；(2)先將原方程化簡(jiǎn)，然后換元轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)零點(diǎn)，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理求得a的取值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令解得 遞減極小值遞增 （2）設(shè)，令，設(shè)，由得，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞增,又，此時(shí)在當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 當(dāng)，即時(shí)，又故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，在