重慶市南岸區(qū)2022年數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2設(shè)滿足

2、約束條件，若，且的最大值為，則（ ）ABCD3已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4已知平面向量，則（ ）AB3C D55函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）ABCD6七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）ABCD7若x（0，1），alnx，b，celnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）AbcaBcbaCabcDbac8復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，其中m為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A（，1）B（1，1）

3、C（1，2）D（，1）（2，+）9已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列一定成立的為ABCD10如下圖，在同一直角坐標(biāo)系中表示直線yax與yxa，正確的是( )ABCD11設(shè)，是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，已知弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，記直線和的斜率分別為和，則的最小值為（ ）AB2CD1122018年5月1日，某電視臺(tái)的節(jié)目主持人手里提著一個(gè)不透明的袋子，若袋中共有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中有7個(gè)白球，3個(gè)紅球，若從袋中任取2個(gè)球，則“取得2個(gè)球中恰有1個(gè)白球1個(gè)紅球”的概率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則_144 名學(xué)生被

4、中大、華工、華師錄取，若每所大學(xué)至少要錄取1名，則共有不同的錄取方法_15已知一個(gè)總體為：、，且總體平均數(shù)是，則這個(gè)總體的方差是_16某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，記該同學(xué)的成績?yōu)槭录浽撏瑢W(xué)的成績?yōu)槭录?，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率_（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，令，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由18（12

5、分）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求的范圍；19（12分）已知直線l的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，曲線C的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.20（12分）已經(jīng)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21（12分）觀察下列等式:； (1)猜想第n(nN*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.22（10分）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)的和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)

6、和為，求使時(shí)的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的表示，即可判定，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的表示，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】分析：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)得答案.詳解：由約束條件作出可行域如圖：化目標(biāo)函數(shù)為，由

7、圖可知，當(dāng)直線過B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，即z最大，聯(lián)立，解得，解得.故選：B.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題及其求解思路(1)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，就是已知目標(biāo)函數(shù)的最值或其他限制條件，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中所含參數(shù)的值或取值范圍的問題(2)求解策略：解決這類問題時(shí)，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值3、D【解析】畫出函數(shù)的圖像，將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)交點(diǎn)問題來解決，畫出圖像，根據(jù)圖像確定的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以.令，易知，所以，將函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，

8、與直線有個(gè)交點(diǎn)來求解.畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，而，故.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4、A【解析】先由的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的模.【詳解】因?yàn)椋?，因?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模，熟記向量的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.5、D【解析】先求出函數(shù)的定義域，確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出答案【詳解】由題可得，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和

9、應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題6、C【解析】分析：由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和詳解：設(shè)小正方形的邊長為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長為2，所以，故選C點(diǎn)睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構(gòu)造，設(shè)小正方形的邊長為1，通過分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進(jìn)而計(jì)算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型7、A【解析】利用指數(shù)函數(shù)、

10、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解【詳解】x（0，1），alnx0，b（）lnx（）01，0celnxe01，a，b，c的大小關(guān)系為bca故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8、B【解析】整理復(fù)數(shù)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】i對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，因此有，即，故選B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】易知在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中

11、.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.10、A【解析】由題意逐一考查所給的函數(shù)圖像是否符合題意即可.【詳解】逐一考查所給的函數(shù)圖像：對(duì)于選項(xiàng)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，直線在軸的截距應(yīng)該小于零，題中圖像符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，直線在軸的截距應(yīng)該大于零，

12、題中圖像不合題意；過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的傾斜角為銳角，題中BD選項(xiàng)中圖像不合題意；本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解析】設(shè)，運(yùn)用點(diǎn)差法和直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得，再由基本不等式可得所求最小值【詳解】設(shè)，可得，相減可得，可得，又由，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式和點(diǎn)差法的運(yùn)用，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】由組合數(shù)公式求出從10個(gè)球中任取2個(gè)球的取法個(gè)數(shù)，再求出有1個(gè)紅球1個(gè)白球的

13、取法個(gè)數(shù)，即可求出結(jié)論.【詳解】從10個(gè)球中任取2個(gè)球共有種取法，其中“有1個(gè)紅球1個(gè)白球”的情況有（種），所以所求概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用組合數(shù)公式求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.22.【解析】正態(tài)曲線關(guān)于x對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性以及概率和為1求解即可。【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題14、36種【解析】先從名學(xué)生中任意選個(gè)人作為一組，方法 種；再把這一組和其它個(gè)人分配到所大學(xué)，方法有種，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得不同的錄取方法 種，故答案為種.故答案為15、【解析】利用總體平均數(shù)為求出實(shí)數(shù)的

14、值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【詳解】由于該總體的平均數(shù)為，則，解得.因此，這個(gè)總體的方差為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算，利用平均數(shù)和方差公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】計(jì)算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【詳解】由題意可知，事件為，所以，由條件概率公式得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了正態(tài)分布原則計(jì)算概率，解題時(shí)要將相應(yīng)的事件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極小值為，無極大值（2）

15、【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，由得列表分析得的極小值為，無極大值（2）恒成立問題及存在問題，一般利用最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化：在上恒成立由于不易求，因此再進(jìn)行轉(zhuǎn)化：當(dāng)時(shí)，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立；同理當(dāng)時(shí)，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立；以下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況進(jìn)行討論即可.試題解析：（1），令，得 列表：x0+極小值所以的極小值為，無極大值 （2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，則在上恒成立 1）當(dāng)時(shí)，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意恒成立；（*）則，令，則時(shí)，因?yàn)?，故，所以函?shù)在時(shí)單調(diào)遞減，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，故，所以（*）成立，滿足題意； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，記，則當(dāng)時(shí)，故

16、，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立；所以當(dāng)，恒成立時(shí)，； 2）當(dāng)時(shí)，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的恒成立；（*）則，令，則時(shí)，故，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，此時(shí)（*）成立； 當(dāng)時(shí)，）若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立； ）若，則，所以當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，此時(shí)（*）不成立；所以當(dāng)，恒成立時(shí)，； 綜上所述，當(dāng)，恒成立時(shí)，從而實(shí)數(shù)的取值集合為 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性18、（I）見解析；（）【解析】() 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，解得

17、或，根據(jù)根的大小三種情況分類討論，即可求解（II ）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解【詳解】() 由題意，函數(shù)，則 令，解得或，當(dāng)時(shí)，有，有，故在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，有，隨的變化情況如下表： 極大極小由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 同當(dāng)時(shí)，有，有在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II ）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒成立，設(shè)，則有（*）易得，令，有，隨的變化情況如下表： 極大由上表可知，又由（*）式可知，故的范圍為【

18、點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題19、 (1) ,(2) 0.【解析】(1) 展開兩角和的正弦,結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的普通方程,把（是參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2) 設(shè)曲線上的點(diǎn)寫出點(diǎn)到直線的距離公式,利用三角函數(shù)求最值.【詳解】由得直線的普通方程為由（是參數(shù)）,消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2) 設(shè)曲線上的點(diǎn),則到直線的距離,當(dāng)時(shí),即時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程和普通方程的互化,考查參數(shù)方程在解決點(diǎn)與直線距離最值中的應(yīng)用,難度一般.20、 (1) 當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.(2) .【解析】分析：（）求出導(dǎo)函數(shù)，由于定義域是，可按和分類討論的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間（）由函數(shù)在處取極值得且可得的具體數(shù)值，而不等式可轉(zhuǎn)化為，這樣