中值定理證明方法總結(jié)詳解

1、（優(yōu)選）中值定理證明方法總結(jié)第一頁，共四十四頁。一、羅爾( Rolle )定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第二頁，共四十四頁。一、羅爾( Rolle )定理滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b )使證:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則因此在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三頁，共四十四頁。若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) 則至少存

2、在一點(diǎn)使注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,則由費(fèi)馬引理得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四頁，共四十四頁。使2) 定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五頁，共四十四頁。二、拉格朗日中值定理(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在 a , b 上連續(xù) ,在 ( a ,

3、b ) 內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立 .拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢第六頁，共四十四頁。三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足 :要證柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七頁，共四十四頁。證: 作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn)思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)!機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 第八頁，共四十四頁。羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒

4、中值定理幾個(gè)中值定理的關(guān)系第九頁，共四十四頁。證明中值定理的方法輔助函數(shù)法直觀分析逆向分析例如, 證明拉格朗日定理 :要構(gòu)造滿足羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù) .方法1. 直觀分析由圖可知 , 設(shè)輔助函數(shù)(C 為任意常數(shù) )第十頁，共四十四頁。方法2. 逆向分析要證即證原函數(shù)法輔助函數(shù)第十一頁，共四十四頁。同樣, 柯西中值定理要證即證原函數(shù)法設(shè)第十二頁，共四十四頁。* 中值定理的條件是充分的, 但非必要.可適當(dāng)減弱. 因此例如, 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)使證: 設(shè)輔助函數(shù)顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知 , 存在一點(diǎn)使即第十三頁，共四十四頁。* 中值定理的統(tǒng)一表達(dá)式設(shè)都在上連續(xù) , 且在內(nèi)可

5、導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn)使證: 按三階行列式展開法有第十四頁，共四十四頁。利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)顯然 F(x) 在a , b 上連續(xù) , 在 (a , b)內(nèi)可導(dǎo), 且因此,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使即第十五頁，共四十四頁。說明設(shè)都在上連續(xù) , 且在內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn)使若取即為羅爾定理;若取即為拉格朗日中值定理;若取即為柯西中值定理;( 自己驗(yàn)證 )第十六頁，共四十四頁。中值定理的主要應(yīng)用與解題方法 中值定理原函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì) 反映反映中值定理的主要應(yīng)用(1) 利用中值定理求極限(2) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性質(zhì)(3) 證明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 證明有關(guān)中值問題

6、的結(jié)論(6) 證明不等式第十七頁，共四十四頁。解題方法:從結(jié)論入手, 利用逆向分析法, 選擇有關(guān)中值定理及適當(dāng)設(shè)輔助函數(shù) .(1) 證明含一個(gè)中值的等式或證根的存在 , 常用羅爾定理 ,此時(shí)可用原函數(shù)法設(shè)輔助函數(shù).(2) 若結(jié)論中涉及到含一個(gè)中值的兩個(gè)不同函數(shù),可考慮用柯西中值定理 .注：（1） 幾個(gè)中值定理中最重要、最常用的是: 羅爾中值定理。 （2） 應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為： 如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點(diǎn)、 重點(diǎn)）第十八頁，共四十四頁。(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上中值 ,必須多次使用中值定理 .(4) 若已知條件或結(jié)論中含高階導(dǎo)數(shù) ,多考慮用泰勒公式 ,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .

7、(5) 若結(jié)論為恒等式 ,先證變式導(dǎo)數(shù)為 0 , 再利用特殊點(diǎn)定常數(shù) .(6) 若結(jié)論為不等式 ,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.第十九頁，共四十四頁。構(gòu)造輔助函數(shù)的方法 (1)不定積分求積分常數(shù)法.第二十頁，共四十四頁。第二十一頁，共四十四頁。第二十二頁，共四十四頁。第二十三頁，共四十四頁。第二十四頁，共四十四頁。第二十五頁，共四十四頁。例1. 證明方程有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證: 1) 存在性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

8、束 5.2 .例題選講第二十六頁，共四十四頁。例2.求證存在使設(shè) 可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,即設(shè)輔助函數(shù)使得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 輔助函數(shù)如何想出來的？第二十七頁，共四十四頁。例3. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo), 且證明在證: 取點(diǎn)再取異于的點(diǎn)對(duì)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理得( 界于 與 之間)令則對(duì)任意即在內(nèi)有界.內(nèi)有界.第二十八頁，共四十四頁。例4. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在但當(dāng)時(shí)內(nèi)可導(dǎo),且求證對(duì)任意自然數(shù) n , 必有使分析: 在結(jié)論中換 為得積分因所以證: 設(shè)輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,因此必有使即 不定積分求積分常數(shù)法!第二十九頁，共四十四頁

9、。例5. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo), 且證明至少存在一點(diǎn)使分析: 在結(jié)論中將換為得積分證: 設(shè)輔助函數(shù)因在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在使因此在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故必存在使即有 不定積分求積分常數(shù)法!第三十頁，共四十四頁。例6. 設(shè)在上連續(xù), 在證明存在內(nèi)可導(dǎo),且使證: 方法1 .因?yàn)樗C結(jié)論左邊為設(shè)輔助函數(shù)由于上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,且易推出所證結(jié)論成立 .在第三十一頁，共四十四頁。方法2 . 令因此可考慮設(shè)輔助函數(shù)由于在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故存在使由此可推得故所證結(jié)論成立.常數(shù)變易法第三十二頁，共四十四頁。*例7. 設(shè)在上連續(xù), 在證明存在內(nèi)可導(dǎo),且使證:轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)由于它在滿足拉氏中值定

10、理?xiàng)l件,即證因此存在使第三十三頁，共四十四頁。再對(duì)轉(zhuǎn)化為證在上用拉氏中值定理 ,則存在使因此第三十四頁，共四十四頁。*例8. 設(shè)在上連續(xù), 在試證對(duì)任意給定的正數(shù)內(nèi)可導(dǎo),且存在證:轉(zhuǎn)化為證因即由連續(xù)函數(shù)定理可知, 存在使使因此第三十五頁，共四十四頁。對(duì)分別在上用拉氏中值定理 , 得即第三十六頁，共四十四頁。例10. 設(shè)至少存在一點(diǎn)使證: 結(jié)論可變形為設(shè)則在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使即證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十七頁，共四十四頁。例11. 試證至少存在一點(diǎn)使證: 法1 用柯西中值定理 .則 f (x) , F(x) 在

11、 1 , e 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 即分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十八頁，共四十四頁。例11. 試證至少存在一點(diǎn)使法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三十九頁，共四十四頁。例12. 當(dāng) 時(shí), 試證證: 設(shè)當(dāng) 時(shí),在上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 因此有解出, 則時(shí)第四十頁，共四十四頁。又因及在單調(diào)遞增 , 于是 說明: 中值定理只告訴位于區(qū)間內(nèi)的中值存在 , 一般不能確定其值 , 此例也只給出一個(gè)最好的上下界 .第四十一頁，共四十四頁。構(gòu)造的輔助函數(shù)方法舉例. 迫切問題： 上面例子中構(gòu)造的輔助函數(shù)如何想出來的？ 作業(yè)：將上面例子中所構(gòu)造的輔助函數(shù)自己全部練習(xí)構(gòu)造一遍！第四十二頁，共