廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)順德學(xué)校2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1將個(gè)不同的小球放入個(gè)盒子中，則不同放法種數(shù)有（ ）ABCD2設(shè)集合，若，則 ( )ABCD3

2、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）ABCD4一個(gè)盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個(gè)球，其中黃球5個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，綠球3個(gè).現(xiàn)從盒子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事件為“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事件為“取出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球”，則ABCD5如果把個(gè)位數(shù)是，且恰有個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“偽豹子數(shù)”那么在由，五個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“偽豹子數(shù)”共有（ ）個(gè)ABCD6已知函數(shù)， 與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()ABCD7已知函數(shù)，且，則=（ ）AB2C1D08已知函數(shù)在處取極值10，則（ ）A4或B4或C4D96本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語(yǔ)文書分給9個(gè)人，每人1本，共有不同分法（）AB

3、CD10從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為ABCD11在某項(xiàng)測(cè)量中測(cè)量結(jié)果，若X在內(nèi)取值的概率為0.3，則X在內(nèi)取值的概率為（ ）A0.2B0.4C0.8D0.912設(shè)集合U=x1x10,xZ，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A2,4,6,7B2,4,5,9C2,4,6,8D2,4,6,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則等于_14在平行六面體（即六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱）中，又，則的余弦值是_15中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)節(jié)目組決定把將進(jìn)酒、山居秋暝、望岳、送杜少府之任蜀州和另外確定的兩首詩(shī)詞排在后六

4、場(chǎng)，并要求將進(jìn)酒與望岳相鄰，且將進(jìn)酒排在望岳的前面，山居秋暝與送杜少府之任蜀州不相鄰，且均不排在最后，則后六場(chǎng)開場(chǎng)詩(shī)詞的排法有_種.（用數(shù)字作答）16正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，()當(dāng)時(shí)，證明：；()的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時(shí)與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請(qǐng)證明你的結(jié)論18（12分）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線1

5、9（12分）函數(shù)令，（1）求并猜想的表達(dá)式（不需要證明）； （2）與相切，求的值20（12分）直三棱柱中，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值.21（12分）一只口袋中裝有形狀、大小都相同的10個(gè)小球，其中有紅球2個(gè)，黑球3個(gè)，白球5個(gè)從中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求2個(gè)球顏色相同的概率；從中1次隨機(jī)摸出3個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取3次，求取到紅球的次數(shù)大于取到白球的次數(shù)的概率22（10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）滿足，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)

6、F（1,0）作直線交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，交軸于R點(diǎn)，若，證明：為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：采用分步計(jì)數(shù)原理來求解：分3步，每一步4種方法， 不同方法種數(shù)有種考點(diǎn)：分步計(jì)數(shù)原理2、C【解析】 集合， 是方程的解，即 ，故選C3、B【解析】函數(shù)，令，解得x利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性【詳解】函數(shù)，令，解得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

7、于中檔題求三角函數(shù)的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來解決.4、D【解析】分析：先求取出的兩個(gè)球顏色不同得概率，再求取出一個(gè)黃球，一個(gè)綠球得概率可，最后根據(jù)條件概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)樗?選D.點(diǎn)睛：本題考查條件概率計(jì)算公式，考查基本求解能力.5、A【解析】分相同數(shù)字為1，與不為1，再由分類計(jì)數(shù)原理求出答案?！驹斀狻肯嗤瑪?shù)不為1時(shí)，四位數(shù)的個(gè)位數(shù)是1，其他3個(gè)相同的數(shù)可能是2,3,4,5共4種相同數(shù)為1時(shí)， 四位數(shù)的個(gè)位數(shù)是1，在2,3,4,5中選一個(gè)數(shù)放在十位或百位或千位上，共有種則共有種故選A【點(diǎn)睛】本題考查排

8、列組合，分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】根據(jù)題意，可以將原問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析的最大最小值，可得的值域，進(jìn)而分析方程在區(qū)間上有解，必有，解之可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)，與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解化簡(jiǎn)可得設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)又由，在有唯一的極值點(diǎn)分析可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值又由，比較可得，故函數(shù)有最大值故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)槿舴匠淘趨^(qū)間有解，必有，則有則實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查在函數(shù)與方程思想下利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而表示參數(shù)取值范圍問題，屬于難題.7、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合條件，

9、可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和極值得到關(guān)于的方程組，解方程組并進(jìn)行驗(yàn)證可得所求詳解：，由題意得，即，解得或當(dāng)時(shí)，故函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值不符合題意故選C點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)（2）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值的必要不充分條件，因此在根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)或極值求得參數(shù)的值后需要進(jìn)行驗(yàn)證，舍掉不符合題意的值9、A【解析】先分語(yǔ)文

10、書有 種，再分?jǐn)?shù)學(xué)書有，故共有=，故選A.10、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.11、C【解析】由題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求解在(0,+)內(nèi)取

11、值概率即可.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則,，即在(0,+)內(nèi)取值概率為0.8.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】關(guān)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.12、D【解析】先求出CUA,再求【詳解】由題得CU所以UAB故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這種知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令即可求解可得答案【詳解】根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)為，令，則 故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查二

12、項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意二項(xiàng)式的展開式的形式，區(qū)分某一項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)14、【解析】先由題意，畫出平行六面體，連接，用向量的方法，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出，再根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，畫出平行六面體，連接，則，因?yàn)?，所以，又，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的方法求夾角問題，熟記空間向量的運(yùn)算法則，以及余弦定理即可，屬于?？碱}型.15、1【解析】根據(jù)題意，分2步分析：將將進(jìn)酒與望岳捆綁在一起和另外確定的兩首詩(shī)詞進(jìn)行全排列，再將山居秋暝與送杜少府之任蜀州插排在3個(gè)空里（最后一個(gè)空不排），由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，分2步分析：將將進(jìn)酒與望岳捆綁在一起和另

13、外確定的兩首詩(shī)詞進(jìn)行全排列，共有種排法，再將山居秋暝與送杜少府之任蜀州插排在3個(gè)空里（最后一個(gè)空不排），有種排法，則后六場(chǎng)的排法有=1（種），故答案為：1【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.16、.【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以

14、點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，.由，即，得，令，則，.可知平面的一個(gè)法向量為，又.，因此，直線與平面所成角的正弦值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的正弦的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)系，將問題利用空間向量法進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）見解析（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2條，證明見解析【解析】（）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，設(shè)l（x）f（x）xexx，分別求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，即可得證；（

15、）先確定曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，先化簡(jiǎn)方程得lnm1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，通過圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程的解的個(gè)數(shù)，即可得到所求結(jié)論【詳解】（）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)h（x）g（x）xlnxx，h（x）1，當(dāng)x1時(shí)，h（x）0，h（x）遞減；0 x1時(shí)，h（x）0，h（x）遞增；可得h（x）在x1處取得最大值1，可得h（x）10；設(shè)l（x）f（x）xexx，l（x）ex1，當(dāng)x0時(shí)，l（x）0，l（x）遞增；可得l（x）l（0）10，綜上可得當(dāng)x0時(shí)，g（x）xf（x）；（）曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2

16、，證明如下：設(shè)公切線與g（x）lnx，f（x）ex的切點(diǎn)分別為（m，lnm），（n，en），mn，g（x），f（x）ex，可得，化簡(jiǎn)得（m1）lnmm+1，當(dāng)m1時(shí)，（m1）lnmm+1不成立；當(dāng)m1時(shí)，（m1）lnmm+1化為lnm，由lnx1，即lnx1分別作出ylnx1和y的函數(shù)圖象，由圖象可知：ylnx1和y的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得方程lnm有兩個(gè)實(shí)根，則曲線yf（x），yg（x）公切線的條數(shù)是2條【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程與構(gòu)造函數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于較難題18、 (1) (2)見解析【解析】分析：(1)根據(jù)橢經(jīng)過點(diǎn)，

17、且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、 ，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以點(diǎn)在直線上，又點(diǎn)也在直線上，進(jìn)而得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以，解得.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.證明：（2）因?yàn)榫€段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為-2.所以可設(shè)直線的方程為.據(jù)得.設(shè)點(diǎn)，.所以， .所以，.因?yàn)椋?所以點(diǎn)在直線上.又點(diǎn)，也在直線上，所以三點(diǎn)共線.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方

18、程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.19、（1）見解析；（2）4【解析】（1）分別求出和的解析式，結(jié)合函數(shù)的解析式歸納出函數(shù)的解析式；（2）設(shè)切點(diǎn)，由函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率等于直線，以及點(diǎn)為直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，利用這兩個(gè)條件列方程組求出的值。【詳解】（1）， .猜想 .（2）設(shè)切點(diǎn)為，, 切線斜率， 解得. 所以.所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在處理直線與函數(shù)相切的問題時(shí)，抓住以下兩個(gè)基本點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；（2）切點(diǎn)為切線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)。另外，在處理直線與二

19、次曲線或反比例型函數(shù)圖象相切的問題，也可以將直線與曲線方程聯(lián)立，利用判別式為零處理。20、（1）證明見解析 （2）【解析】（1）在矩形中由平面幾何知識(shí)證明，再證，然后由線面垂直證明線線垂直（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)M與F重合，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角【詳解】（1）連接，由直三棱柱和，易得面，面，所以，又，則，又，又，所以面，所以 （2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)M與F重合，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，易知，設(shè)，則，解得取，則記二面角的大小為，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查用線面垂直證明線線垂直，用空間向量法求二面角屬于常規(guī)題21、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】利用互斥事件的概率求和公式計(jì)算即可；由題意知X的可能取值，計(jì)算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數(shù)學(xué)期望值；由題意知事件包含一紅兩黑和兩紅一黑，兩紅一白，求出對(duì)應(yīng)的概率值【詳解】解：從袋中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，