電磁場與電磁波基礎(chǔ)()

1、第7章 非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波1. 非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波方程 4. 復(fù)數(shù)折射率的相關(guān)結(jié)論 重點(diǎn)：3. 平面電磁波在非理想介質(zhì)中的傳播 2. 平面電磁波在理想介質(zhì)中的傳播 5. 相速度、色散、群速度難點(diǎn)：1. 平面電磁波在非理想介質(zhì)中的傳播 2. 相速度、色散、群速度7.非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波方程回顧一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組： 三個(gè)媒質(zhì)方程 設(shè)我們所討論的媒質(zhì)是無界、線性、均勻和各向同性的，并且我們所關(guān)心的空間中不存在電荷和電流，即自由空間情形。及此時(shí)滿足：一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組變?yōu)椋?或可得與波動(dòng)方程的一般形式比較可知在一般介質(zhì)中，電磁波的傳播速度 無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的磁

2、波方程 無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的電波方程 同理均勻平面電磁波分析 均勻平面波 在如圖所示的均勻平面電磁波中，電磁波向著Z方向傳播，根據(jù)均勻平面波的定義可直接得出：因?yàn)槠渲卸矫骐姴?的分量都與x ,y無關(guān) 所以因?yàn)槠渲卸矫娲挪?的分量都與x ,y無關(guān) 所以 可得 代入麥克斯韋方程從上式兩端比較可得各式表明: 與時(shí)間t無關(guān)故可取: 而與時(shí)間無關(guān)的恒定分量一定是與波動(dòng)無關(guān)的部分 于是 假設(shè)取電場與x軸方向一致，即 代入麥克斯韋方程由此可得 所以 因?yàn)?并且 和 均與時(shí)間無關(guān)，因此它們不是波動(dòng)的部分，故可取 從而有 同理可得定義7.2平面電磁波在理想介質(zhì)中的傳播平面波中的電場復(fù)數(shù)表

3、示形式 理解理想介質(zhì)是一種無損耗介質(zhì)，在這里指電導(dǎo)率 電場矢量的方向是 方向，電磁波則是沿 z 方向傳播波速為 這里的 k 稱為傳播常數(shù)或波數(shù) 這時(shí)，一維波動(dòng)方程的形式就變成對于無界、均勻、理想介質(zhì)中的電磁波 ，可取解的形式為 項(xiàng)表示了離開原點(diǎn)向正 z 方向傳播的波，反之， 則表示了沿負(fù)z方向傳播的波。 考慮到均勻平面波只存在 和 分量 式中 稱為媒質(zhì)的波阻抗、或本質(zhì)阻抗（本征阻抗），在自由空間 在自由空間中傳播的平面電磁波的電場為 試求磁場強(qiáng)度 解：因?yàn)轭}中所給電場 是沿+Z方向傳播的，電磁波能流密度矢量 也是沿+Z方向的，因此磁場應(yīng)取 方向。而 A/m例題故對比可知：相位常數(shù)（傳播系數(shù)）

4、傳播方向?yàn)?Z方向，電場方向?yàn)閤方向。由波數(shù)公式所以 波長 解：平面電磁波的一般表達(dá)式為 已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場為 試求此波的波長、頻率、相速度、磁場強(qiáng)度以及平均能流密度矢量例題 在自由空間，相速頻率因?yàn)?所以 為求平均坡印廷矢量，須先將場量寫成復(fù)數(shù)形式： 解： （1） 波沿+Z軸方向傳播;（rad/m） 試求（1） 及傳播方向；（2）E 的表達(dá)式；（3）S 的表達(dá)式；巳知自由空間中例題V/m（3） （2）定義7.3平面電磁波在非理想介質(zhì)中的傳播實(shí)際的介質(zhì)都是有損耗的，因此，研究波在非理想介質(zhì)中的傳播具有實(shí)際意義。非理想介質(zhì)是有損耗介質(zhì)也稱為耗散介質(zhì)，在這里是指電導(dǎo)率 ,但仍然保

5、持均勻、線性及各向同性等特性。非理想介質(zhì)是有損耗介質(zhì)，有損耗介質(zhì)中出現(xiàn)的傳導(dǎo)電流會(huì)使在其中傳播的電磁波發(fā)生能量損耗，從而導(dǎo)致波的幅值隨著傳播距離的增大而下降。研究表明，傳播過程中幅值下降的同時(shí)，波的相位也會(huì)發(fā)生變化，致使整個(gè)傳輸波的形狀發(fā)生畸變，如圖所示平面波在有耗介質(zhì)中的傳播 電磁波的傳播 電波磁波(波長)前進(jìn)方向觀看波形圖1. 等效復(fù)介電系數(shù) 對于隨時(shí)間按照正弦規(guī)規(guī)律變化的電磁場，其復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中有可改寫為式中 稱為復(fù)介電系數(shù)，即 復(fù)介電系數(shù)虛部與實(shí)部之比為 ,它代表了傳導(dǎo)電流和位移電流密度的比值。該比值是一個(gè)相角，工程上稱之為損耗正切，表示為 式中 稱為損耗角 有耗介質(zhì)的本征阻

6、抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其結(jié)果使均勻平面波中電場強(qiáng)度矢量與磁場強(qiáng)度矢量之間存在相位差。 總結(jié)除了用復(fù)介電系數(shù) 代替無耗介質(zhì)中的 以外，有耗介質(zhì)中的復(fù)數(shù)麥克斯韋方程在形式上與無耗介質(zhì)中的麥克斯韋方程完全相同。所以可直接寫出有耗媒質(zhì)中的本征阻抗為 式中 稱為相對復(fù)介電系數(shù) 2.波動(dòng)方程及其解有耗媒質(zhì)中均勻平面波的一維波動(dòng)方程為傳播系數(shù) 稱為復(fù)波數(shù)。我們引入另外一個(gè)變量 ，令 也可稱之為傳播系數(shù) 令 于是上面的一維波動(dòng)方程的解可寫為 （其中 為實(shí)數(shù)） 可以發(fā)現(xiàn)， 的存在會(huì)引起場量 和 呈指數(shù)型衰減，因此，我們將 稱為衰減常數(shù)(attenuation constant)，單位為奈貝/米（Np/m）；而 的存在則

7、會(huì)引起場量 和 的相位發(fā)生變化，因此，我們將 稱為相位常數(shù)，單位為弧度/米（rad/m） 由于有耗媒質(zhì)中均勻平面波的相速 ，即 v 與頻率有關(guān)于是同一媒質(zhì)中，不同頻率的波將以不同的速度傳播，該現(xiàn)象稱為波的色散，相應(yīng)媒質(zhì)被稱為色散媒質(zhì)。 從上面的式子，你會(huì)注意到式中出現(xiàn)了前面定義過的損耗正切。損耗正切的取值不同將會(huì)影響到介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生變化，通常，我們有如下一些對應(yīng)的分類： 1、理想介質(zhì)： 這時(shí) 2、良介質(zhì)： （一般取 ）這時(shí) 3、理想導(dǎo)體 ： ，這時(shí) 說明電磁波在理想介質(zhì)中立刻衰減到零， 說明波長為零，相速為零。這些特點(diǎn)表示電磁波不能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)部。 4、良導(dǎo)體： （一般取 ）這時(shí) 5、半導(dǎo)體

8、 ： 可與 相比擬， 的表示為一般形式。7.4低密度氣體中的電磁波假設(shè) 是一個(gè)關(guān)于空間和時(shí)間無關(guān)的函數(shù)，故而可交換微分次序 我們?nèi)匀患僭O(shè)場中不存在自由電荷和自由電流，于是由第三章可知，非導(dǎo)電介質(zhì)中的麥克斯韋方程可以寫成： 將上式中 的散度用 來表示，可以得到 這個(gè)方程看上去很有可能變?yōu)槿缦滦问降娜S波動(dòng)方程，即 顯然這要取決于 和 之間所存在的是何種關(guān)系 考慮單色平面極化波 介質(zhì)的折射率極化矢量 象 一樣僅有 x 方向上的分量,并且該分量也象 一樣僅與 z 和 t 有關(guān)。所以有這表明，在介質(zhì)內(nèi)部電荷的位移是沿著所施加的電場方向的，所以極化矢量 也就在 方向上，并且隨著角頻率變化，于是有 代入波

9、動(dòng)方程類似地可得 并且 對于其間分子呈均勻分布的介質(zhì)（如本節(jié)的低密度氣體）來說，極化矢量與電場矢量的關(guān)系為 若僅含x方向的分量，故有這就是平面電磁波在上述模型所表示的一般介質(zhì)（如低密度氣體）中傳播時(shí)所必須滿足的條件，它建立了折射率n與分子模型參數(shù) 的聯(lián)系。 對于低密度氣體，n 的值會(huì)接近于1，即有 其中如果我們所關(guān)心的只是電磁波穿過大量的介質(zhì)(分子級)時(shí)所發(fā)生的情況（通常都是如此），我們就可以假設(shè)介質(zhì)的任何影響都只是對分子結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的平均影響。因此,在計(jì)算介質(zhì)極化問題時(shí)也就可以使用介質(zhì)中的平均值。 于是從 可得 7.5高密度氣體中的電磁波前面得出的關(guān)于折射率的表達(dá)式只適用于低密度氣體，這是因?yàn)?/p>

10、高密度介質(zhì)中的分子內(nèi)，電荷分離所產(chǎn)生的場的作用使得電極化場更為復(fù)雜。就單個(gè)分子而言,它們在任何時(shí)刻都與其相鄰分子所受到的場的作用基本相同。 高密度介質(zhì)中的電磁波 利用洛侖茲方程所給出的局部場式中正是由于局部場才使介質(zhì)中產(chǎn)生極化，于是有 即克勞休斯-莫索提方程（Clausius-Mosotti equation） 介質(zhì)的極化與場之間雖仍然是線性關(guān)系，但是比例系數(shù)卻已經(jīng)變了。 在平面波中有 因?yàn)?用相對介電系數(shù)可將克勞休斯-莫索提方程寫成另外一種形式 所以 7.6復(fù)數(shù)折射率的相關(guān)結(jié)論上面得出了兩個(gè)等式 它們都描述了分子極化率與折射率之間的關(guān)系，具體使用哪個(gè)等式則將取決于介質(zhì)的密度。 由于因此，折射

11、率中就可能因?yàn)楹凶枘犴?xiàng) 而成為復(fù)數(shù)。 已知，單色（monochromatic）、線性(linear)極化(polarization)平面電磁波的電場為 3. 波的頻率等于分子的諧振頻率時(shí)，分子極化率就變成了純虛數(shù)。在這種情況下，波的能量被介質(zhì)耗散的程度最大。實(shí)際介質(zhì)中存在著幾個(gè)這樣的諧振頻率點(diǎn),在這些點(diǎn)上波的輻射達(dá)到最小。 由上式可得結(jié)論復(fù)數(shù)折射率的實(shí)部決定了波的速度，而且很容易得 出折射率實(shí)部的定義為兩個(gè)速度之比，即2. 當(dāng)波在介質(zhì)中傳播時(shí)，復(fù)數(shù)折射率的虛部使波的 幅值按指數(shù)規(guī)律衰減，虛部值越大，波的衰減就 越快。顯然,這是由分子模型中衰減因子所決定的。低密度氣體中波的傳播速度問題7.7相

12、速與能流速度在低密度氣體中，折射率的近似表示式為 實(shí)部 虛部 假如當(dāng)頻率 時(shí)發(fā)生諧振，上述兩式都可以化為最簡形式我們知道,折射率的實(shí)部被定義為自由空間中的電磁波速（光速）與介質(zhì)中的波速之比，即 從前面的式子可知，雖然 在任何頻率下均為正值，但當(dāng)頻率 大于諧振頻率 時(shí), 為負(fù)，這時(shí)折射率的實(shí)部 如果 ,則意味著電磁波速 v 將超過光速 c ，這不就與愛因斯坦的狹義相對論發(fā)生矛盾了嗎？ 我們將速度 v 稱為相速，即正弦波的最大速度。一般情況下，速度 v 是恒定相位面在波中向前推進(jìn)的速度，所以我們也可以根據(jù)電場極小值通過空間一固定點(diǎn)的速度來定義這個(gè)速度。具體來看，如果平面波中的電場表示為相速則當(dāng)經(jīng)過

13、時(shí)間 后，各點(diǎn)電場發(fā)生的相位變化為 ，因此電場沿z軸的分布也發(fā)生了變化，所以，在波的傳播過程中，每一等相位面沿z軸向前移動(dòng)的距離均為 ，等相位面移動(dòng)的速度就是相速。 能流速度 自由空間中的能流速度和相速均為c，但是介質(zhì)中的復(fù)數(shù)折射率告訴我們，這兩種速度在介質(zhì)中不再相等了，換言之，我們不可能以大于光速的相速v發(fā)射信號(能量)，即，超越物理速度的極限c是不可能的。 注能流速度為坡印廷矢量的時(shí)間平均值 除以能量密度的時(shí)間平均值在自由空間， ， ，此時(shí) 。所以，上式中當(dāng)折射率接近真空中的折射率值時(shí)，能流速度接近于光速C。7.8色散媒質(zhì)：1.有色散媒質(zhì)；2.無色散媒質(zhì)。有色散媒質(zhì)（1）正常色散媒質(zhì)；（2

14、）非正常色散媒質(zhì)。在正常色散媒質(zhì)中， 波長大的波，相速較大，即du/ d 0 在非正常色散媒質(zhì)中，波長小的波，相速較大，即du/ d 0； 在無色散媒質(zhì)中，不同波長的波相速相等，即du/ d = 0。定義不同頻率的波將以不同的速率在介質(zhì)中傳播的現(xiàn)象稱為色散波的相速與介質(zhì)折射率有關(guān),而介質(zhì)折射率又與頻率有關(guān)，所以波的相速將隨頻率而變，顯然波的色散是由媒質(zhì)特性所決定的。非正常色散區(qū) 3.在非正常色散區(qū)折射率的虛部存在著極大值，因而波的能量損失嚴(yán)重。 2.如果用一個(gè)三棱鏡將一束陽光進(jìn)行分譜,那么在非正常色散區(qū)各種頻譜的排列順序就會(huì)被顛倒。 1.由于折射率隨著頻率的“規(guī)則”變化而與之相反變化, 是負(fù)的

15、，因而在諧振頻率附近的頻域就是“非正常色散區(qū)”。 7.8相速與群速是指其折射率的虛部為非零值的媒質(zhì),這時(shí)波在傳播的過程中會(huì)逐漸衰減。 群速設(shè)兩個(gè)略有差別的波 一個(gè)角頻率為的正弦波被另一個(gè)正弦波調(diào)制的情形色散介質(zhì)指波的傳播速度即相速取決于介質(zhì)折射率的實(shí)部,因而隨頻率而變，不同頻率的波將以不同的速率在其中傳播。耗散介質(zhì)兩個(gè)波迭加并經(jīng)整理得 一個(gè)角頻率為的正弦波被另一個(gè)正弦波調(diào)制的情形定義群速 圖中，波包絡(luò)的傳播速度為 基波的相速仍為 群速 定義為 群速的定義是基于無損耗介質(zhì)得出的。對于有損耗介質(zhì)，群速的概念僅適用于非常窄的頻帶，這是因?yàn)椴煌l率分量的衰減不同，將使波包產(chǎn)生畸變失真的現(xiàn)象。 一般情況

16、下，相速與群速不相等，它是由于波包通過有色散的媒質(zhì)，不同單色波分量以不同相速向前傳播引起的。 注意已知相速為 由于所以顯然，存在以下三種可能的情況： ，即相速與頻率無關(guān)，這時(shí)群速等于相速，即 ，這表明不同波長的波相速相等，對應(yīng)于這種波所傳播的媒質(zhì)應(yīng)為無色散媒質(zhì)。 2. ，即頻率越高相速越小，這時(shí)群速小于相速，即 。這表明波長大的波，相速較大，對應(yīng)于這種波所傳播的媒質(zhì)應(yīng)為正常色散媒質(zhì)。 3. ，即頻率越高相速越大，這時(shí)群速大于相速，即 。這表明波長小的波，相速較大，對應(yīng)于這種波所傳播的媒質(zhì)應(yīng)為非正常色散媒質(zhì)。 1. 在正常色散媒質(zhì)中，波長大的波，相速較大，群速小于相速；2. 在非正常色散媒質(zhì)中，波長小的波，相速較大，群速大于相速； 3. 在無色散媒質(zhì)中，不同波長的波相速相等，群速等于相速。 一般情況下，群速度代表信號速度；非正常色散時(shí)，介質(zhì)中光波相速度可